Chủ đề 7 · Học kỳ 1

Cấp số nhân

Nhận ra cấp số nhân qua thương không đổi, tìm công bội, viết số hạng tổng quát uₙ = u₁·qⁿ⁻¹, tính tổng n số hạng đầu (nhớ tách riêng q = 1) và dùng vào lãi kép, tăng trưởng, phân rã.

Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 7

⚡ Nhớ nhanh

1Cấp số nhân: mỗi số hạng bằng số hạng đứng trước nhân với một hằng số q (công bội): uₙ₊₁ = uₙ · q. Nhận ra bằng thương không đổi, không phải hiệu.
2Số hạng tổng quát: uₙ = u₁ · qⁿ⁻¹. Mũ là n − 1, vì đi từ u₁ đến uₙ chỉ nhân q đúng n − 1 lần. Mẹo kiểm: thay n = 1 phải ra u₁.
3Tổng n số hạng đầu (q ≠ 1): $S_{n} = u_{1} \cdot \frac{1 - q ^{n}}{1 - q}$ . Khi q = 1 mọi số hạng bằng nhau nên Sₙ = n · u₁.
4Ba số liên tiếp: uₖ² = uₖ₋₁ · uₖ₊₁. Số giữa có thể mang dấu ±, đừng bỏ mất nghiệm âm.
5Chiều đi của dãy phụ thuộc q: q > 1 tăng nhanh dần, 0 < q < 1 giảm dần về gần 0, q < 0 đổi dấu xen kẽ. Cấp số nhân không phải lúc nào cũng tăng.
6Phần trăm là phép nhân: tăng 6% mỗi năm nghĩa là nhân 1,06. Đó là lí do lãi kép, tăng dân số, phân rã đều là cấp số nhân.

👀 Nhìn là hiểu

Đổi u₁, q, n để thấy cột uₙ nhân q mỗi bước, cạnh đường cấp số cộng cùng u₁ để so. Bấm q = ½ (cột tiến về 0), q = −2 (đổi dấu), q = 1 (Sₙ = n · u₁) rồi lãi kép q = 1,06 để gặp các cái bẫy trước khi đọc lý thuyết.

Cột: cấp số nhân. Chấm xám: cấp số cộng cùng u₁, u₂ (d = 5).

q =

n 6 u₁ = 5

So với cấp số cộng cùng u₁, u₂

uₙ = u₁·qⁿ⁻¹ ⇒ u₆ = 5·2⁵ = 160

Sₙ = u₁(1 − qⁿ)/(1 − q) = 315

Cộng đều thì tăng thẳng, nhân đều thì tăng vọt: hai dãy chung u₁, u₂ mà u₆ cách nhau 130.

1 ✖️ Nhận ra cấp số nhân và công bội

Cần nhớ

✦Dãy là cấp số nhân khi thương $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ bằng một hằng số q. Ví dụ: 5; 10; 20; 40; 80; 160 có mọi thương bằng 2 ⇒ q = 2.
✦q có thể âm hoặc phân số. Ví dụ: 3; −6; 12; −24 có q = −2; 16; 8; 4; 2 có q = ½.
✦q = 1 cho dãy hằng 5; 5; 5; 5. Dãy hằng vẫn là cấp số nhân (và cũng là cấp số cộng với d = 0).
✦Nhìn nhanh dấu và chiều đi của dãy (u₁ > 0): q > 1 tăng; 0 < q < 1 giảm; q < 0 đổi dấu xen kẽ.

Dạng bài

Kiểm tra một dãy có là cấp số nhân không

1 Tính thương của từng cặp số hạng liền nhau: u₂ : u₁, u₃ : u₂, …
2 Mọi thương bằng nhau ⇒ cấp số nhân, thương đó là q. Có một thương khác ⇒ không phải.
3 Thử lại bằng cách nhân u₁ với q liên tiếp xem có ra đúng dãy không.

⚠️ Bẫy hay gặp: Lấy hiệu 10 − 5 = 5 rồi cho q = 5 là nhầm sang công sai. Dãy 3; 6; 9; 12 có hiệu luôn là 3 nhưng thương 2; 1,5; 1,33 không đều ⇒ đó là cấp số cộng.

✖️

Làm mẫu

Dãy 5; 10; 20; 40; 80; 160 có là cấp số nhân không? Công bội là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Cộng hay nhân? Đọc đề là biết

Đề nói	Là gì	Vì sao
Mỗi tháng nhiều hơn 50 nghìn	Cấp số cộng	Cộng thêm một lượng cố định
Mỗi tháng gấp rưỡi tháng trước	Cấp số nhân	Nhân với 1,5
Mỗi năm tăng 7%	Cấp số nhân	Nhân với 1,07: phần trăm là phép nhân
Cứ sau 5 giờ còn một nửa	Cấp số nhân	Nhân với 0,5; q < 1 nên dãy giảm
Mỗi hàng hơn hàng trước 2 ghế	Cấp số cộng	Cộng thêm 2

2 🧮 Số hạng tổng quát

Cần nhớ

✦uₙ = u₁ · qⁿ⁻¹. Ví dụ: u₁ = 5, q = 2 ⇒ u₆ = 5 · 2⁵ = 160.
✦Từ số hạng thứ k sang thứ m: uₘ = uₖ · qᵐ⁻ᵏ. Ví dụ: u₅ = u₂ · q³.
✦Mẹo kiểm: thay n = 1 vào u₁ · qⁿ⁻¹ phải ra u₁. Nếu viết u₁ · qⁿ thì n = 1 ra u₁q ≠ u₁ ⇒ sai.
✦Mũ chẵn làm mất dấu: q⁴ = 16 cho q = 2 hoặc q = −2; còn mũ lẻ thì q³ = 27 chỉ có q = 3.

Dạng bài

Tìm u₁ và q từ hai số hạng cho trước

1 Viết hai số hạng bằng u₁ và q, rồi chia vế cho vế để khử u₁: uₘ : uₖ = qᵐ⁻ᵏ.
2 Giải qᵐ⁻ᵏ: mũ lẻ có một q, mũ chẵn có hai q (±).
3 Thay q vào một số hạng để tìm u₁.
4 Thử lại bằng cách tính cả hai số hạng đề cho.

⚠️ Bẫy hay gặp: Gặp q² = 9 hay q⁴ = 16 mà chỉ lấy q dương là mất một nửa đáp án. Hai cấp số nhân 2; 6; 18 và 2; −6; 18 cùng có u₃ = 18.

🧮

Làm mẫu

Cấp số nhân có u₂ = 6 và u₅ = 162. Tìm u₁ và q.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Dạng bài

Một số cho trước là số hạng thứ mấy?

1 Viết u₁ · qⁿ⁻¹ = số đề cho.
2 Chia hai vế cho u₁ để còn qⁿ⁻¹ = một số.
3 Viết số đó thành luỹ thừa của q (thử q, q², q³, … ) để suy ra n − 1.
4 Cộng 1 để được n, rồi thay lại kiểm.

⚠️ Bẫy hay gặp: Giải ra n − 1 = 7 rồi trả lời "số hạng thứ 7" là quên cộng 1. Kiểm bằng cách thay lại: u₇ = 5 · 2⁶ = 320 ≠ 640.

🔎

Làm mẫu

Dãy 5; 10; 20; … (u₁ = 5, q = 2). Số 640 là số hạng thứ mấy?

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

3 ➕ Tổng n số hạng đầu

Cần nhớ

✦Khi q ≠ 1: $S_{n} = u_{1} \cdot \frac{1 - q ^{n}}{1 - q}$ .
✦Khi q = 1: mọi số hạng bằng u₁ nên Sₙ = n · u₁. Công thức trên chia cho 0 nên không dùng được.
✦Ví dụ: u₁ = 5, q = 2, n = 6 ⇒ S₆ = 5 · (1 − 2⁶) : (1 − 2) = 5 · 63 = 315. Cộng tay: 5 + 10 + 20 + 40 + 80 + 160 = 315 ✓.
✦q > 1 thì dùng dạng $u_{1} \cdot \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}$ cho đỡ phải xử lí hai dấu âm.

Dạng bài

Tính Sₙ của cấp số nhân

1 Xác định u₁, q và đếm đúng số số hạng n.
2 Nếu q = 1 thì Sₙ = n · u₁. Nếu không, thay vào công thức.
3 Tính qⁿ trước, rồi mới tính tử và mẫu.
4 Thử lại bằng cách cộng tay vài số hạng đầu (n nhỏ) hoặc so với Sₙ₋₁ + uₙ.

⚠️ Bẫy hay gặp: Đáp án 1024 là 2¹⁰, tức chính số hạng kế tiếp, không phải tổng. Tổng luôn kém số hạng kế tiếp đúng 1 trong dãy 1; 2; 4; 8; …

➕

Làm mẫu

Tính tổng 1 + 2 + 4 + 8 + … + 2⁹.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Bốn tình huống của hình (đối chiếu với nút mẫu)

u₁	q	n	Các số hạng	Sₙ
5	2	6	5; 10; 20; 40; 80; 160	315
32	½	6	32; 16; 8; 4; 2; 1	63
3	−2	4	3; −6; 12; −24	−15
5	1	6	5; 5; 5; 5; 5; 5	30 (= 6 · 5)

4 📈 Ba số liên tiếp, lãi kép và tăng trưởng

Cần nhớ

✦Ba số a; b; c liên tiếp của cấp số nhân ⇔ b² = a · c. Ví dụ: 2; 6; 18 có 6² = 36 = 2 · 18 ✓.
✦Tăng p% mỗi kỳ ⇒ nhân $1 + \frac{p}{100}$ ; giảm p% ⇒ nhân $1 - \frac{p}{100}$ . Ví dụ: tăng 6% ⇒ q = 1,06.
✦Sau k kỳ từ số ban đầu A: A · qᵏ. Số ban đầu (k = 0) là u₁, nên sau k kỳ là số hạng thứ k + 1.
✦Cấp số nhân với q > 1 luôn vượt cấp số cộng cùng u₁ nếu đủ lâu, dù ban đầu trông chẳng khác mấy.

Dạng bài

Bài lãi kép, tăng trưởng, phân rã

1 Đọc đề: "tăng/giảm p%" hay "gấp k lần, còn một nửa" ⇒ tìm công bội q.
2 Đếm số kỳ k (số lần nhân q), không đếm số mốc.
3 Tính A · qᵏ, tính qᵏ trước bằng cách nhân dần.
4 Thử lại bằng ước lượng: q > 1 thì kết quả phải lớn hơn A, q < 1 thì phải nhỏ hơn A.

⚠️ Bẫy hay gặp: Tăng 10% rồi giảm 10% không về chỗ cũ: 100 → 110 → 99 (nhân 1,1 rồi 0,9 được 0,99), lỗ 1%. Phép nhân không triệt tiêu như phép cộng.

💰

Làm mẫu

Gửi 100 triệu đồng, lãi suất 6% một năm, lãi nhập gốc. Sau 5 năm được bao nhiêu? Hơn lãi đơn (mỗi năm chỉ tính lãi trên 100 triệu gốc) bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Dạng bài

Tìm số hạng giữa của ba số lập cấp số nhân

1 Viết b² = a · c.
2 Số giữa b: giải b² = số dương ⇒ hai giá trị ±.
3 Số đầu hoặc số cuối: chia trực tiếp, chỉ một giá trị.
4 Thử lại: tính q từ mỗi nghiệm và xem ba số có thật sự nhân liên tiếp.

⚠️ Bẫy hay gặp: Viết x = √(2 · 18) = 6 là bỏ mất nghiệm âm. Còn nếu số đầu chưa biết (x; 6; 18) thì x · 18 = 36 ⇒ chỉ x = 2.

🎯

Làm mẫu

Tìm x để 2; x; 18 theo thứ tự lập cấp số nhân.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

5 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai

⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm

✦Công bội: chia số hạng sau cho số hạng trước, không trừ. Chia thêm một cặp nữa để chắc.
✦Tổng 1 + 2 + 4 + … + 2ⁿ⁻¹ = 2ⁿ − 1 (n số hạng). Tương tự 1 + 3 + 9 + … + 3ⁿ⁻¹ = (3ⁿ − 1) : 2.
✦Phương án nhiễu hay là uₙ tính với mũ n thay vì n − 1, hoặc số hạng kế tiếp thay cho tổng. Thử n = 1 loại ngay.
✦Bài "sau bao nhiêu kỳ thì vượt…": cứ nhân dần q rồi so sánh, thường chỉ vài bước.

⚠️ Lỗi hay sai nhất

✦Viết uₙ = u₁ · qⁿ. Phản ví dụ: n = 1 ra u₁q ≠ u₁. Đúng: qⁿ⁻¹.
✦Dùng công thức tổng cho q = 1. Phản ví dụ: 2; 2; 2; 2 có S₄ = 8, không phải 0 : 0.
✦Cho rằng cấp số nhân luôn tăng. Phản ví dụ: 8; 4; 2; 1 giảm, 3; −6; 12; −24 đổi dấu.
✦Viết uₖ = √(uₖ₋₁ · uₖ₊₁) và bỏ nghiệm âm. Phản ví dụ: 2; −4; 8 là cấp số nhân (q = −2) mà −4 ≠ √16 = 4.
✦Tính hiệu thay vì thương: 3; 6; 12 có hiệu 3 và 6 khác nhau, nhưng thương đều 2.
✦Cho tăng 10% rồi giảm 10% là về chỗ cũ. Phản ví dụ: 100 → 110 → 99.

🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)

✦Chế độ Bảng (TABLE): nhập f(x) = u₁ · q^(x − 1), cho x chạy từ 1 đến n để liệt kê u₁ … uₙ và so với dãy đề cho.
✦Chế độ tính tổng Σ: nhập u₁ · q^(k − 1) với k từ 1 đến n để thử lại Sₙ. Bài tự luận vẫn phải viết công thức.
✦Bài lãi kép: nhập 100 × 1,06^5, nhớ dấu mũ viết số kỳ, không phải số mốc.

✏️ Luyện tập

Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.

✖️

Nhận ra cấp số nhân, tìm công bội

1
Nhận biết
Cấp số nhân 4; 12; 36; 108; … có công bội bằng
2
Nhận biết
Dãy nào sau đây là cấp số nhân?
3
Thông hiểu Cấp số nhân −3; 6; −12; 24; … có công bội q = .
4
Thông hiểu
Dãy số (uₙ) có uₙ = 3 · 2ⁿ là cấp số nhân với công bội
5
Thông hiểu
Dãy nào sau đây không là cấp số nhân?

🧮

Số hạng tổng quát

1
Nhận biết Cấp số nhân có u₁ = 3 và q = 2. Số hạng u₄ = .
2
Thông hiểu
Cấp số nhân có u₁ = 4 và q = −2. Số hạng u₅ bằng
3
Thông hiểu Cấp số nhân có u₁ = 5 và q = 2 (như trên hình). Số hạng thứ 6 là .
4
Thông hiểu
Cấp số nhân có u₁ = 2 và u₄ = 54. Công bội q bằng
5
Vận dụng
Cấp số nhân u₁ = 5, q = 2. Số 640 là số hạng thứ mấy?
6
Vận dụng Cấp số nhân có u₃ = 12 và u₆ = 96 (công bội dương). Số hạng đầu u₁ = .

➕

Tổng n số hạng đầu

1
Nhận biết
Cấp số nhân có công bội q = 1. Tổng n số hạng đầu bằng
2
Thông hiểu Cấp số nhân u₁ = 5, q = 2. Tổng sáu số hạng đầu S₆ = .
3
Thông hiểu
Tổng 1 + 2 + 4 + … + 2⁷ bằng
4
Thông hiểu Cấp số nhân u₁ = 3, q = −2. Tổng bốn số hạng đầu S₄ = .
5
Vận dụng
Cấp số nhân u₁ = 32, q = ½. Tổng sáu số hạng đầu bằng
6
Vận dụng Tuần đầu bạn để dành 2 nghìn đồng, mỗi tuần để dành gấp đôi tuần trước. Hết tuần thứ 8, tổng số tiền là nghìn đồng.

📈

Ba số liên tiếp, lãi kép, tăng trưởng

1
Thông hiểu
Ba số 3; x; 12 theo thứ tự lập cấp số nhân. Giá trị của x là
2
Thông hiểu Ba số x; 12; 48 theo thứ tự lập cấp số nhân. Giá trị của x là .
3
Thông hiểu
Gửi 100 triệu đồng, lãi suất 6% một năm, lãi nhập gốc. Sau 2 năm số tiền là (triệu đồng)
4
Vận dụng Một chất phóng xạ nặng 80 g, cứ 5 giờ thì còn một nửa. Sau 15 giờ còn g.
5
Vận dụng
Một mặt hàng giá 100 nghìn đồng được tăng 10%, sau đó giảm 10%. Giá cuối cùng là

🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp

Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.

🅰️

Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn

1
Thông hiểu
Cấp số nhân (uₙ) có u₁ = 2 và u₂ = −6. Số hạng u₅ bằng
2
Thông hiểu
Tổng 1 + 3 + 9 + … + 3⁶ bằng
3
Vận dụng
Ba số 2; x + 1; 18 theo thứ tự lập cấp số nhân. Tổng tất cả các giá trị của x là

✅

Phần II · Đúng / sai

1
Thông hiểu
Cho cấp số nhân (uₙ) có u₁ = 4 và công bội q = 3.

a)u₂ = 12.

b)u₅ = 4 · 3⁵ = 972.

c)S₄ = 160.

d)Tổng năm số hạng đầu S₅ = 268.
2
Thông hiểu
An gửi 200 triệu đồng với lãi suất 5% một năm, lãi nhập gốc. Gọi Tₖ là số tiền (triệu đồng) sau k năm, T₀ = 200.

a)T₁ = 210.

b)Dãy T₀, T₁, T₂, … là cấp số cộng với công sai 10.

c)T₂ = 220,5.

d)Sau 3 năm, tiền lãi đúng bằng 30 triệu.

🔢

Phần III · Trả lời ngắn

1
Thông hiểu Cấp số nhân có u₁ = 2 và u₄ = −54. Tính u₃. Đáp số:
2
Vận dụng Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để 1 + 2 + 4 + … + 2ⁿ⁻¹ > 1000. Đáp số:
3
Vận dụng Dân số một xã là 4000 người, mỗi năm tăng 5%. Sau 2 năm xã có bao nhiêu người? Đáp số:

🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?

•Cấp số nhân là nền cho bài toán lãi kép, tăng trưởng, phân rã ở lớp 12 và cho phần giới hạn, tổng vô hạn khi lên bài sau của lớp 11. Hiểu "phần trăm là phép nhân" ở đây sẽ dùng lại nhiều lần.
•Bài kiểm tra trên lớp thường hỏi: nhận ra công bội, tính uₙ và Sₙ, tìm số hạng giữa của ba số liên tiếp. Hay có bẫy mũ n thay vì n − 1 và quên q = 1.
•Câu thực tế (lãi kép, dân số, phân rã) có thể xuất hiện dạng trắc nghiệm hoặc đúng/sai; ý dễ mất điểm là nhầm lãi đơn (cộng) với lãi kép (nhân) hoặc đếm sai số kỳ.

Làm đề thi thử trọn bộ

Chủ đề tiếp theo
Mẫu số liệu ghép nhóm