Chủ đề 17 · Học kỳ 1

Hàm số liên tục

Kiểm tra hàm số liên tục tại một điểm bằng ba điều kiện, tìm tham số để hàm từng khúc liên tục, tìm điểm gián đoạn và dùng định lí giá trị trung gian để chứng minh phương trình có nghiệm.

Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 17

⚡ Nhớ nhanh

1Liên tục tại x₀ cần ba điều kiện cùng đúng: ① f(x₀) xác định · ② f có giới hạn tại x₀ (hai bên bằng nhau) · ③ giới hạn đó bằng f(x₀).
2Hàm từng khúc: tính giới hạn trái, giới hạn phải và f(x₀), rồi cho ba số bằng nhau. Bài tìm tham số quy về một phương trình.
3Đa thức liên tục trên ℝ; phân thức, căn thức, lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định. Tổng, hiệu, tích, thương (mẫu ≠ 0) của hàm liên tục vẫn liên tục.
4Định lí giá trị trung gian: f liên tục trên [a; b] và f(a)·f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong (a; b).
5Định lí chỉ đi một chiều và cần liên tục trên cả đoạn: 1/x đổi dấu trên [−1; 1] mà vô nghiệm vì gián đoạn tại 0.
6Ý nghĩa hình học: đồ thị liên tục trên một khoảng là một nét liền, vẽ không nhấc bút.

👀 Nhìn là hiểu

Kéo a của hàm (x² − 9)/(x − 3) khi x ≠ 3, f(3) = a và xem ba đèn: chỉ a = 6 làm cả ba cùng sáng. Bấm các nút mẫu hàm từng khúc và 1/x để gặp đèn nào tắt, rồi sang chế độ "chia đôi" cho x³ − 3x + 1 trên (0; 1) và bấm chia đôi để thu hẹp khoảng chứa nghiệm.

a = f(3) = 4

① f(x₀) xác định f(3) = 4

② Có giới hạn tại x₀ lim = 6

③ Giới hạn = f(x₀) 6 ≠ 4

Gián đoạn tại x = 3

Khi x ≠ 3: (x − 3)(x + 3)/(x − 3) = x + 3 → 6. Đèn ③ cần lim = f(3) ⇔ a = 6. a khác 6 thì đồ thị có một chấm lạc ra khỏi đường (gián đoạn khử được).

1 💡 Liên tục tại một điểm: ba điều kiện

Cần nhớ

✦f liên tục tại x₀ ⇔ cả ba điều kiện đúng: ① f(x₀) xác định; ② lim f(x) khi x → x₀ tồn tại (giới hạn trái = giới hạn phải); ③ lim f(x) = f(x₀).
✦Thiếu một điều kiện là gián đoạn tại x₀. Ví dụ: f(x) = 1/x không xác định tại 0 nên gián đoạn tại 0.
✦Xác định tại x₀ mới chỉ là điều kiện ①. Ví dụ: hàm có f(2) = 1 nhưng giới hạn trái bằng 3 vẫn gián đoạn tại 2.
✦Hàm có một "lỗ" thì vá được bằng cách chọn đúng giá trị f(x₀). Hàm bị "đứt bậc" thì không vá được bằng một giá trị.

Bốn kiểu gián đoạn: thiếu điều kiện nào?

Kiểu và hình ảnh	Hỏng	Ví dụ
Không xác định: đồ thị thủng một lỗ	①	x² − 4x − 2 tại 2
Bước nhảy: đồ thị đứt, lệch bậc	②	x + 1 (x < 2), 3x − 5 (x ≥ 2) tại 2
Lệch giá trị: có lỗ và một chấm lạc chỗ khác	③	f(2) = 3 với f(x) = x² − 4x − 2
Vô cực: đường vọt lên tiệm cận đứng	②	1/x tại 0

Dạng bài

Xét liên tục tại x₀ (hàm có mẫu hoặc có tham số)

1 Điều kiện ①: tìm f(x₀) (đề cho sẵn bằng a hoặc một số).
2 Điều kiện ②: tính giới hạn tại x₀. Gặp dạng 00 thì phân tích tử thành nhân tử và rút gọn.
3 Điều kiện ③: cho lim f(x) = f(x₀), giải ra tham số.
4 Thử lại: vẽ hoặc tính hai giá trị sát x₀ ở hai phía để thấy đồ thị liền.

⚠️ Bẫy hay gặp: Chọn a = 5 hay a = 7 thì ① đúng, ② đúng nhưng ③ sai: đồ thị vẫn thủng lỗ tại (3; 6) và có thêm một chấm lạc ở (3; 5) hoặc (3; 7). Chỉ đúng một giá trị vá được lỗ.

💡

Làm mẫu

Tìm a để hàm số $f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x ^{2} - 9}{x - 3} a x \neq = 3 x = 3$ liên tục tại x = 3.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

2 🧩 Hàm từng khúc: trái, phải và giá trị

Cần nhớ

✦Hàm cho bằng hai công thức, đổi ở x₀: cần lim trái = lim phải = f(x₀).
✦Giới hạn trái (x → x₀⁻) dùng công thức của nhánh x < x₀; giới hạn phải (x → x₀⁺) dùng nhánh x > x₀.
✦f(x₀) lấy từ nhánh có dấu bằng (≤ hoặc ≥ hoặc =). Ví dụ: x ≥ 2 thì f(2) tính bằng công thức của nhánh x ≥ 2.
✦Mỗi nhánh là đa thức nên liên tục trong khoảng của nó. Chỉ cần xét tại điểm nối.

Dạng bài

Tìm tham số để hàm từng khúc liên tục

1 Tính f(x₀) từ nhánh có dấu bằng (một biểu thức theo tham số).
2 Tính giới hạn trái và giới hạn phải bằng nhánh tương ứng (thay x = x₀ vì mỗi nhánh là đa thức).
3 Cho cả ba số bằng nhau, giải phương trình theo tham số.
4 Thử lại: thay tham số vừa tìm, kiểm hai bên bằng nhau và bằng f(x₀).

⚠️ Bẫy hay gặp: Lấy luôn giá trị giới hạn làm tham số, viết m = 4. Giới hạn trái là 2 + m chứ không phải m: m = 4 cho trái = 6 ≠ phải = 4, hàm vẫn đứt.

🧩

Làm mẫu

Tìm m để hàm số $f (x) = {2 x + m x^{2} + 3 x \leq 1 x > 1$ liên tục tại x = 1.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Dạng bài

Chỉ ra hàm từng khúc gián đoạn

1 Tính f(x₀), lim trái, lim phải.
2 So sánh: hai giới hạn một bên khác nhau thì không có giới hạn ⇒ gián đoạn (hỏng ②).
3 Hai giới hạn bằng nhau mà khác f(x₀) thì gián đoạn (hỏng ③).

⚠️ Bẫy hay gặp: Thấy f(2) = 1 xác định rồi kết luận liên tục. ① đúng không bù được ②: giới hạn trái là 3, giới hạn phải là 1.

🔍

Làm mẫu

Xét tính liên tục của $f (x) = {x + 1 3 x - 5 x < 2 x \geq 2$ tại x = 2.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

3 📏 Liên tục trên khoảng, điểm gián đoạn

Cần nhớ

✦f liên tục trên khoảng (a; b) khi liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.
✦f liên tục trên đoạn [a; b] khi liên tục trên (a; b), liên tục phải tại a (lim f(x) khi x → a⁺ bằng f(a)) và liên tục trái tại b.
✦Đa thức liên tục trên ℝ. Phân thức, căn thức, lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định. Ví dụ: y = √x liên tục trên [0; +∞).
✦Phân thức gián đoạn đúng tại các điểm làm mẫu bằng 0. Nghiệm của tử thì hàm vẫn liên tục (hàm chỉ bằng 0 ở đó).

Dạng bài

Tìm điểm gián đoạn của phân thức

1 Tìm tập xác định: các x làm mẫu bằng 0 bị loại.
2 Các điểm bị loại là điểm gián đoạn. Ngoài ra hàm liên tục trên từng khoảng còn lại.
3 Viết các khoảng liên tục, tách bằng các điểm loại.
4 Thử lại: thay điểm vừa loại vào mẫu, phải ra 0.

⚠️ Bẫy hay gặp: Loại nhầm x = −1 (nghiệm của tử) khỏi tập liên tục: y(−1) = 0 vẫn liên tục. Chỉ nghiệm của mẫu là điểm gián đoạn.

📏

Làm mẫu

Hàm số y = x + 1x² − 3x + 2 liên tục trên những khoảng nào? Gián đoạn ở đâu?

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

🕳️ Hàm có lỗ, vá được

f(x) = x² − 1x − 1 khi x ≠ 1, f(1) = 2. Rút gọn được x + 1 → 2 = f(1), nên liên tục trên ℝ dù mẫu bằng 0 tại 1.

🚫 Hàm đứt, không vá được

f(x) = 1/x có giới hạn trái −∞, giới hạn phải +∞ tại 0: không có giới hạn, hai nhánh chạy ra vô tận. Không giá trị f(0) nào làm đồ thị liền.

4 🎯 Định lí giá trị trung gian: chứng minh có nghiệm

Cần nhớ

✦f liên tục trên [a; b] và f(a)·f(b) < 0 ⇒ phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a; b). Ví dụ: f(0) = 1 > 0, f(1) = −1 < 0 thì đồ thị phải cắt Ox.
✦Định lí chỉ khẳng định có nghiệm, không nói có bao nhiêu và ở đâu. Muốn nói "duy nhất" phải chứng minh thêm (lên lớp 12 sẽ có cách bằng tính đơn điệu).
✦Đi một chiều: f(a)·f(b) > 0 vẫn có thể có nghiệm. Ví dụ: f(x) = x² − 1 trên [−2; 2] có f(−2) = f(2) = 3 > 0 mà có hai nghiệm ±1.
✦Câu mở đầu bắt buộc là "f liên tục trên [a; b]" (đa thức liên tục trên ℝ). Thiếu câu đó là thiếu giả thiết.

Dạng bài

Chứng minh phương trình có nghiệm trong (a; b)

1 Đặt f(x) = vế trái − vế phải, nêu rõ f liên tục trên [a; b].
2 Tính f(a) và f(b).
3 Chứng tỏ f(a)·f(b) < 0.
4 Kết luận theo định lí và thử lại bằng cách tính thêm một điểm trong khoảng (nếu muốn thu hẹp).

⚠️ Bẫy hay gặp: Viết "f(0)·f(1) < 0 nên có đúng một nghiệm". Định lí chỉ cho ít nhất một. Muốn nói đúng một, phải chứng minh thêm.

🎯

Làm mẫu

Chứng minh phương trình x³ − 3x + 1 = 0 có nghiệm trong khoảng (0; 1). Thu hẹp bằng cách chia đôi ba lần.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Chia đôi x³ − 3x + 1 = 0 trên (0; 1)

Lần	Khoảng	Điểm giữa	f(giữa)	Nghiệm nằm trong
1	(0; 1)	0,5	−0,375	(0; 0,5)
2	(0; 0,5)	0,25	≈ 0,266	(0,25; 0,5)
3	(0,25; 0,5)	0,375	≈ −0,072	(0,25; 0,375)
4	(0,25; 0,375)	0,3125	≈ 0,093	(0,3125; 0,375)

Dạng bài

Chứng minh phương trình có nhiều nghiệm

1 Lập bảng giá trị f tại vài mốc nguyên liên tiếp.
2 Mỗi lần hai mốc liền kề đổi dấu là có một nghiệm trong khoảng giữa hai mốc đó.
3 Các khoảng không chồng lên nhau thì các nghiệm khác nhau. Đếm số lần đổi dấu.
4 So với bậc của đa thức: bậc n có nhiều nhất n nghiệm.

⚠️ Bẫy hay gặp: Chỉ dò f(0) và f(2) (cả hai dương) rồi kết luận vô nghiệm. Cùng dấu hai đầu chưa kết luận được: f(1) = −2 cho thấy có hai nghiệm trong (0; 2).

🔢

Làm mẫu

Chứng minh phương trình x⁴ − 4x² + 1 = 0 có đúng 4 nghiệm thực.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

✅ Dùng được

f(x) = x³ − 3x + 1 trên [0; 1]: đa thức, liên tục, f(0)·f(1) = −1 < 0 ⇒ có nghiệm.

❌ Không dùng được

f(x) = 1/x trên [−1; 1]: f(−1) = −1, f(1) = 1 đổi dấu nhưng f gián đoạn tại 0 ∈ [−1; 1], và phương trình 1/x = 0 vô nghiệm.

5 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai

⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm

✦Tìm tham số để hàm từng khúc liên tục: thay x = x₀ vào từng nhánh rồi cho các giá trị bằng nhau, không cần vẽ.
✦Phân thức có mẫu bằng 0 tại x₀: thử rút gọn. Rút gọn được thì chỉ cần cho f(x₀) bằng giá trị rút gọn; không rút gọn được thì là gián đoạn thật.
✦Đề hỏi "có bao nhiêu nghiệm" thì lập bảng f ở các mốc nguyên liên tiếp, đếm số lần đổi dấu.
✦Đa thức luôn liên tục: gặp phương trình đa thức thì không cần chứng minh liên tục phức tạp, chỉ cần ghi "đa thức nên liên tục trên ℝ".

⚠️ Lỗi hay sai nhất

✦Cho rằng xác định tại x₀ là liên tục. Phản ví dụ: x + 1 (x < 2), 3x − 5 (x ≥ 2) có f(2) = 1 mà gián đoạn tại 2.
✦Chỉ so hai giới hạn một bên mà quên f(x₀). Phản ví dụ: f(x) = x² − 4x − 2, f(2) = 3: hai bên cùng tiến về 4, f(2) = 3 ≠ 4, vẫn gián đoạn.
✦Cho rằng f(a)·f(b) > 0 thì không có nghiệm. Phản ví dụ: x² − 1 trên [−2; 2].
✦Cho rằng f(a)·f(b) < 0 thì có đúng một nghiệm. Định lí chỉ cho ít nhất một: x³ − 3x + 1 trên [−2; 2] có f(−2) = −1, f(2) = 3 và có tới ba nghiệm.
✦Dùng định lí khi hàm gián đoạn trong đoạn. Phản ví dụ: 1/x trên [−1; 1].
✦Loại nhầm nghiệm của tử khi tìm điểm gián đoạn của phân thức: chỉ nghiệm của mẫu mới là điểm gián đoạn.

🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)

✦Chế độ Bảng (TABLE): nhập f(x), cho x chạy quanh x₀ (vd 2,9 → 3,1 bước 0,02). Cột f(x) dồn về một số ở hai phía thì có giới hạn.
✦Chức năng tính giá trị (CALC): nhập x₀ ± 0,01 để thử giới hạn trái, phải. Với bài định lí giá trị trung gian, tính f(a), f(b) và xem dấu.
✦Chế độ giải phương trình bậc ba, bậc bốn: thử số nghiệm sau khi chứng minh bằng tay, bài tự luận vẫn phải nêu đổi dấu.

✏️ Luyện tập

Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.

💡

Ba điều kiện liên tục

1
Nhận biết
Hàm số f liên tục tại x₀ khi và chỉ khi
2
Nhận biết
Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng
3
Thông hiểu
Cho f(x) = x² − 4x − 2 khi x ≠ 2 và f(2) = 3. Khẳng định đúng là
4
Thông hiểu Cho f(x) = x² − 25x − 5 khi x ≠ 5 và f(5) = a. Hàm liên tục tại 5 khi a = .
5
Vận dụng
Cho $f (x) = \frac{x + 1 - 2}{x - 3}$ khi x ≠ 3 và f(3) = a. Hàm liên tục tại 3 khi a bằng

🧩

Hàm từng khúc và tham số

1
Thông hiểu Cho $f (x) = {x + 1 3 x - 5 x < 2 x \geq 2$ . Giới hạn trái $lim_{x \to 2^{-}} f (x)$ bằng .
2
Thông hiểu
Với $f (x) = {x + 1 3 x - 5 x < 2 x \geq 2$ , khẳng định đúng là
3
Thông hiểu Cho f(x) = 3x + m khi x ≤ 2 và f(x) = x² − 1 khi x > 2. Hàm liên tục tại 2 khi m = .
4
Vận dụng
Cho $f (x) = \frac{x ^{2} - x - 2}{x - 2}$ khi x ≠ 2 và f(2) = 2m + 1. Hàm liên tục tại 2 khi
5
Vận dụng Cho f(x) = 2x + 1 khi x < 1, f(1) = a và f(x) = x² + 2 khi x > 1. Hàm liên tục tại 1 khi a = .

📏

Liên tục trên khoảng, điểm gián đoạn

1
Nhận biết
Hàm số nào sau đây liên tục trên ℝ?
2
Thông hiểu
Hàm số y = x + 3x² − 4 gián đoạn tại
3
Thông hiểu Hàm số y = 2x − 1x³ − x có điểm gián đoạn.
4
Thông hiểu
Hàm số y = √(x − 1) liên tục trên
5
Vận dụng
Hàm số f(x) = x² − 1x − 1 khi x ≠ 1 và f(1) = 2 liên tục trên

🎯

Định lí giá trị trung gian

1
Nhận biết
Hàm f liên tục trên [a; b] và f(a)·f(b) < 0. Khi đó phương trình f(x) = 0
2
Thông hiểu
Phương trình x³ + x − 1 = 0 chắc chắn có nghiệm trong khoảng
3
Thông hiểu Chia đôi khoảng (0; 1) cho phương trình x³ − 3x + 1 = 0: nghiệm nằm trong (0; ).
4
Thông hiểu
Hàm f(x) = 1/x có f(−1)·f(1) = −1 < 0 nhưng phương trình 1/x = 0 vô nghiệm trong [−1; 1]. Vì sao không mâu thuẫn với định lí?
5
Vận dụng
Phương trình x³ − 3x + 1 = 0 có ít nhất bao nhiêu nghiệm trong khoảng (−2; 2)?
6
Vận dụng
Hàm f liên tục trên ℝ có f(−1) = 2, f(0) = −1, f(2) = 3. Phương trình f(x) = 0 có ít nhất bao nhiêu nghiệm trong (−1; 2)?

🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp

Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.

🅰️

Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn

1
Thông hiểu
Cho f(x) = x² + 2 khi x < 1 và f(x) = mx + 1 khi x ≥ 1. Hàm liên tục tại x = 1 khi m bằng
2
Thông hiểu
Cho $f (x) = \frac{x ^{2} - 4 x + 3}{x - 3}$ khi x ≠ 3 và f(3) = 2. Khẳng định đúng là
3
Vận dụng
Dùng chia đôi cho phương trình x³ − 3x + 1 = 0 trên (0; 1). Sau ba lần chia đôi, khoảng chứa nghiệm là

✅

Phần II · Đúng / sai

1
Thông hiểu
Cho f(x) = x² − 4x − 2 khi x ≠ 2 và f(2) = a (a là hằng số).

a)Hàm số không xác định tại x = 2.

b)Với x ≠ 2 thì f(x) = x + 2.

c)Giới hạn của f(x) khi x → 2 bằng 0 vì tử bằng 0 tại x = 2.

d)Hàm số liên tục trên ℝ khi và chỉ khi a = 4.
2
Vận dụng
Cho hàm số f(x) = x³ − 3x + 1. Biết f(−2) = −1, f(−1) = 3, f(0) = 1, f(1) = −1, f(2) = 3.

a)f(0)·f(1) < 0.

b)Theo định lí giá trị trung gian, phương trình f(x) = 0 có đúng một nghiệm trong (0; 1).

c)Vì f(−1)·f(2) = 9 > 0 nên phương trình không có nghiệm trong (−1; 2).

d)Phương trình f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm thực.

🔢

Phần III · Trả lời ngắn

1
Thông hiểu Cho f(x) = x³ − 8x − 2 khi x ≠ 2 và f(2) = a. Tìm a để f liên tục tại 2. Đáp số: a =
2
Vận dụng Cho f(x) = ax + 1 khi x ≤ 3 và f(x) = x² − a khi x > 3. Tìm a để f liên tục tại 3. Đáp số: a =
3
Vận dụng Có bao nhiêu số nguyên k để phương trình x⁴ − 4x² + 1 = 0 có nghiệm trong khoảng (k; k + 1)? Đáp số:

🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?

•Hàm số liên tục là nền cho đạo hàm ở bài 31–33: hàm có đạo hàm tại một điểm thì phải liên tục tại điểm đó, và sang lớp 12 khảo sát hàm số, tìm nghiệm bằng đồ thị đều dựa vào "đồ thị liền nét".
•Bài kiểm tra trên lớp thường có câu tìm a hoặc m để hàm từng khúc liên tục tại một điểm, và câu chứng minh phương trình có nghiệm trong một khoảng cho trước. Ý hay mất điểm là quên nêu "liên tục trên [a; b]" hoặc viết "có đúng một nghiệm".
•Câu trắc nghiệm có thể hỏi điểm gián đoạn của phân thức (nhớ chỉ lấy nghiệm của mẫu) hoặc cho bảng giá trị để đếm số khoảng chứa nghiệm.

Làm đề thi thử trọn bộ