Chủ đề 21 · Học kỳ 2 ⭐ Hay ra thi tốt nghiệp

Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

Giải phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit bằng cách đưa về cùng cơ số hoặc đặt ẩn phụ; đặt điều kiện, loại nghiệm ngoại lai và đổi chiều bất đẳng thức đúng khi cơ số nhỏ hơn 1.

Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 21

⚡ Nhớ nhanh

1Phương trình mũ: aᵘ = aᵛ ⇔ u = v (0 < a ≠ 1). Còn aˣ = b thì b > 0 mới có nghiệm x = logₐ b; b ≤ 0 là vô nghiệm (2ˣ = −4).
2Phương trình lôgarit: logₐ u = logₐ v ⇔ u = v và u > 0. Luôn đặt điều kiện trước, đối chiếu sau.
3Gộp logₐ u + logₐ v = logₐ(uv) làm điều kiện rộng ra, nên hay sinh nghiệm ngoại lai. Tính đúng mà không đối chiếu vẫn sai.
4Bất phương trình: cơ số a > 1 thì giữ chiều, 0 < a < 1 thì đảo chiều. Tự kiểm bằng cách thay một số đơn giản như x = 0.
5Bất phương trình lôgarit có thêm điều kiện đối số dương: log₁/₃ x ≥ −2 cho 0 < x ≤ 9 chứ không phải x ≤ 9.
6Đặt ẩn phụ t = aˣ thì phải có t > 0, giải xong phải trả về ẩn x.

👀 Nhìn là hiểu

Bấm mẫu log₂(x − 1) + log₂(x − 3) = 3: đồ thị vế trái chỉ có phần x > 3, cắt đường y = 3 tại x = 5, còn x = −1 bị gạch vì ngoài điều kiện. Rồi bấm (1/2)ˣ > 4 để thấy cơ số nhỏ hơn 1 làm đồ thị đi xuống nên phần nghiệm quay về bên trái (x < −2).

━ vế trái · ━ vế phải · ━ ● nghiệm · ▨ vi phạm điều kiện

Lời giải, bước 4/4

Điều kiện: x − 1 > 0 và x − 3 > 0 ⇔ x > 3.
Gộp tích: log₂[(x − 1)(x − 3)] = 3 ⇔ (x − 1)(x − 3) = 2³ = 8.
x² − 4x − 5 = 0 ⇔ x = 5 hoặc x = −1.
Đối chiếu điều kiện x > 3: loại x = −1 (gạch đỏ). Nghiệm x = 5.

Nghiệm: x = 5

1 🧭 Phương trình lôgarit và điều kiện

Cần nhớ

✦Cùng cơ số: logₐ u = logₐ v ⇔ u = v và u > 0 (khi u = v thì v > 0 theo). Ví dụ: log₂(2x − 1) = log₂(x + 3) ⇒ 2x − 1 = x + 3 ⇒ x = 4, thử 2·4 − 1 = 7 > 0 ✓.
✦Mũ hoá: logₐ u = b ⇔ u = aᵇ (u > 0 đã nằm sẵn trong aᵇ > 0). Ví dụ: log₃(x + 1) = 2 ⇔ x + 1 = 3² = 9 ⇔ x = 8.
✦Điều kiện là mọi biểu thức đứng trong dấu log phải dương, và cơ số nếu chứa ẩn thì 0 < a ≠ 1.
✦Phép gộp logₐ u + logₐ v = logₐ(uv) chỉ đúng khi u > 0 và v > 0, nên phải đặt điều kiện trước khi gộp.

Dạng bài

Giải phương trình lôgarit

1 Đặt điều kiện: mỗi biểu thức trong dấu log phải dương.
2 Đưa về một lôgarit mỗi vế (gộp bằng quy tắc tích, thương) rồi so sánh đối số hoặc mũ hoá.
3 Giải phương trình đại số nhận được.
4 Đối chiếu điều kiện để loại nghiệm ngoại lai, rồi thử lại vào phương trình gốc.

⚠️ Bẫy hay gặp: x = −1 là nghiệm của phương trình bậc hai (x − 1)(x − 3) = 8, vì tích (−2)(−4) = 8 dương, nhưng từng thừa số đều âm nên log₂(−2) không tồn tại. Nghiệm ngoại lai sinh ra ngay từ bước gộp, không phải do tính sai.

🧭

Làm mẫu

Giải phương trình log₂(x − 1) + log₂(x − 3) = 3.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Bước gộp có thể làm mất hoặc thêm nghiệm

Phương trình	Điều kiện	Nghiệm
log₂ x² = 2	x ≠ 0	x = 2 và x = −2 (cả hai nhận)
2·log₂ x = 2	x > 0	x = 2 (x = −2 không có nghĩa)
log₂(x − 1) + log₂(x − 3) = 3	x > 3	x = 5 (loại x = −1)

2 🔥 Phương trình mũ

Cần nhớ

✦Cùng cơ số: aᵘ = aᵛ ⇔ u = v (0 < a ≠ 1). Ví dụ: 3ˣ = 81 = 3⁴ ⇒ x = 4.
✦Vế phải dương mới có nghiệm: aˣ = b với b > 0 thì x = logₐ b; b ≤ 0 thì vô nghiệm vì aˣ > 0. Ví dụ: 2ˣ = −4 vô nghiệm, còn 3ˣ = 5 ⇒ x = log₃ 5 ≈ 1,465.
✦Không đưa được về cùng cơ số thì mũ hoá ngược lại (lôgarit hoá): đừng ép về cùng cơ số.
✦Đặt ẩn phụ khi chỉ có aˣ ở hai bậc: 4ˣ = (2ˣ)². Đặt t = 2ˣ với t > 0.

Bốn dạng và cách nhận ra

Dấu hiệu	Cách làm	Bẫy
4ˣ = 8	Cùng cơ số 2: 2²ˣ = 2³	Quên đổi 4 = 2²
3ˣ = 5	Lôgarit hoá: x = log₃ 5	Cố ép về cùng cơ số
4ˣ − 3·2ˣ + 2 = 0	Đặt t = 2ˣ > 0	Quên loại t ≤ 0
2ˣ = −4	Vô nghiệm ngay	Viết x = log₂(−4)

Dạng bài

Đặt ẩn phụ cho phương trình mũ

1 Viết mọi số hạng theo cùng một aˣ (4ˣ = (2ˣ)², 2ˣ⁺¹ = 2·2ˣ).
2 Đặt t = aˣ, ghi điều kiện t > 0, giải phương trình theo t.
3 Loại t ≤ 0, mỗi t > 0 còn lại cho một x qua aˣ = t.
4 Trả về ẩn x, thử lại vào phương trình gốc.

⚠️ Bẫy hay gặp: Dừng ở t = 1, t = 2 rồi ghi đó là đáp số là sai vì t không phải x. Ngược lại, 4ˣ − 2ˣ − 6 = 0 cho t² − t − 6 = 0 ⇒ t = 3 hoặc t = −2; t = −2 loại (2ˣ không bao giờ âm), chỉ còn 2ˣ = 3 ⇒ x = log₂ 3 ≈ 1,585.

🔥

Làm mẫu

Giải phương trình 4ˣ − 3·2ˣ + 2 = 0.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Dạng bài

Đưa về cùng cơ số

1 Viết hai vế thành luỹ thừa của cùng một cơ số a (9 = 3², 27 = 3³).
2 Cho hai số mũ bằng nhau.
3 Giải phương trình ở số mũ, thử lại.

⚠️ Bẫy hay gặp: Bỏ qua việc đổi 9 = 3² rồi cho x − 1 = 3 được x = 4: thử lại 9³ = 729 ≠ 27.

⚖️

Làm mẫu

Giải phương trình 9ˣ⁻¹ = 27.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

3 🔀 Bất phương trình mũ: cơ số quyết định chiều

Cần nhớ

✦a > 1: aᵘ > aᵛ ⇔ u > v (giữ chiều, hàm đồng biến). Ví dụ: 2ˣ > 8 = 2³ ⇒ x > 3.
✦0 < a < 1: aᵘ > aᵛ ⇔ u < v (đảo chiều, hàm nghịch biến). Ví dụ: (12)ˣ > (12)³ ⇒ x < 3.
✦Vế phải ≤ 0: 2ˣ > −4 đúng với mọi x (vì 2ˣ > 0), còn 2ˣ < −1 vô nghiệm.
✦Ẩn phụ: 4ˣ − 5·2ˣ + 4 < 0, đặt t = 2ˣ > 0 thì t² − 5t + 4 < 0 ⇔ 1 < t < 4 ⇔ 2⁰ < 2ˣ < 2² ⇔ 0 < x < 2.

Cùng một mẫu, hai cơ số: chiều ngược nhau

Bất phương trình	Cơ số	Tập nghiệm
2ˣ > 8	2 > 1: giữ chiều	x > 3
(12)ˣ > 4	12 < 1: đảo chiều	x < −2
(12)ˣ > 18	12 < 1: đảo chiều	x < 3

Dạng bài

Giải bất phương trình mũ

1 Đưa hai vế về luỹ thừa của cùng một cơ số a.
2 Nhìn cơ số: a > 1 giữ chiều, 0 < a < 1 đảo chiều.
3 Giải bất phương trình ở số mũ.
4 Thử một số nằm trong và một số nằm ngoài tập nghiệm.

⚠️ Bẫy hay gặp: Giữ chiều rồi viết x > −2 là sai: x = 0 thuộc "x > −2" nhưng (12)⁰ = 1 không lớn hơn 4.

🔀

Làm mẫu

Giải bất phương trình (12)ˣ > 4.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

4 🧱 Bất phương trình lôgarit: thêm điều kiện

Cần nhớ

✦a > 1: logₐ u > logₐ v ⇔ u > v > 0. Ví dụ: log₂(x − 1) < 3 ⇔ 0 < x − 1 < 8 ⇔ 1 < x < 9.
✦0 < a < 1: logₐ u > logₐ v ⇔ 0 < u < v (đảo chiều, vẫn đối số dương). Ví dụ: $lo g_{1/2} u > lo g_{1/2} 3 \Leftrightarrow 0 < u < 3$ .
✦Với số bên phải: viết nó thành lôgarit cùng cơ số, b = logₐ aᵇ. Ví dụ: −2 = $lo g_{1/3} 9$ vì (13)⁻² = 9.
✦Tập nghiệm = (nghiệm của bất phương trình đại số) giao (điều kiện xác định).

Dạng bài

Giải bất phương trình lôgarit cơ bản

1 Đặt điều kiện đối số dương.
2 Viết hai vế thành lôgarit cùng cơ số.
3 So đối số: cơ số > 1 giữ chiều, cơ số < 1 đảo chiều.
4 Giao với điều kiện, rồi thử một điểm trong và một điểm ngoài.

⚠️ Bẫy hay gặp: Viết x ≤ 9 là thiếu điều kiện: x = −1 thoả "x ≤ 9" mà $lo g_{1/3} (- 1)$ không tồn tại.

🧱

Làm mẫu

Giải bất phương trình $lo g_{1/3} x \geq - 2$ .

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Dạng bài

Bất phương trình có gộp lôgarit

1 Đặt điều kiện cho từng đối số trước khi gộp.
2 Gộp thành một lôgarit, đưa về dạng u ≤ aᵇ (cơ số > 1) hoặc đảo chiều.
3 Giải bất phương trình đại số (xét dấu tam thức).
4 Giao với điều kiện.

⚠️ Bẫy hay gặp: Lấy luôn −1 ≤ x ≤ 5 là sai: x = 0 thoả −1 ≤ x ≤ 5 nhưng x − 1 = −1 < 0 nên log₂(x − 1) không tồn tại.

🧩

Làm mẫu

Giải bất phương trình log₂(x − 1) + log₂(x − 3) ≤ 3.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

5 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai

⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm

✦Phương trình lôgarit: thử từng đáp án vào đối số trước, đáp án nào làm đối số ≤ 0 là loại ngay, thường chỉ còn một.
✦Vế phải của phương trình mũ ≤ 0 (2ˣ = −4) hoặc bất phương trình mũ dạng 2ˣ < −1: kết luận vô nghiệm luôn, không giải.
✦Bất phương trình cơ số < 1: đảo chiều rồi thay x = 0 (hoặc một số đơn giản) để kiểm chiều.
✦Phương trình dạng t² − St + P = 0 với t = 2ˣ: tích hai nghiệm t bằng P = 2 mũ (x₁ + x₂). Ví dụ 4ˣ − 3·2ˣ + 2 = 0 có P = 2 = 2¹ nên x₁ + x₂ = 1.

⚠️ Lỗi hay sai nhất

✦Giải xong phương trình lôgarit mà không đối chiếu điều kiện. Phản ví dụ: log₂(x − 1) + log₂(x − 3) = 3 nhận nhầm x = −1.
✦Bất phương trình cơ số < 1 mà không đảo chiều. Phản ví dụ: (12)ˣ > 4 viết thành x > −2, thử x = 0 thì 1 > 4 sai.
✦Bất phương trình lôgarit quên điều kiện đối số dương. Phản ví dụ: $lo g_{1/3} x \geq - 2$ viết x ≤ 9, nhận nhầm x = −1.
✦Đặt t = 2ˣ mà không loại t ≤ 0. Phản ví dụ: 4ˣ − 2ˣ − 6 = 0 có t = −2 phải loại, chỉ còn x = log₂ 3.
✦Giải ra t rồi ghi luôn đáp số, không trả về ẩn x. Phản ví dụ: t = 1, 2 cho x = 0, 1 chứ không phải x = 1, 2.
✦Coi log₂ x² = 2 và 2·log₂ x = 2 như nhau. Phản ví dụ: x = −2 nghiệm đúng log₂ x² = 2 (log₂ 4 = 2) nhưng log₂(−2) không có nghĩa.

🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)

✦Chế độ tính giá trị biểu thức (CALC): nhập vế trái, gán x bằng nghiệm tìm được để thử lại; với bất phương trình thì thử một x trong và một x ngoài tập nghiệm.
✦Chế độ Bảng (TABLE): nhập vế trái trừ vế phải, xem dòng nào đổi dấu thì nghiệm nằm quanh đó.
✦Chế độ giải phương trình (SOLVE) cho phương trình mũ, lôgarit khó nhẩm; máy báo lỗi khi đối số âm, nhắc bạn về điều kiện.
✦Máy chỉ có lg và ln nên logₐ b tính bằng lg b chia lg a. Bài tự luận vẫn phải trình bày các bước đặt điều kiện và đối chiếu.

✏️ Luyện tập

Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.

🧭

Phương trình lôgarit

1
Nhận biết
Nghiệm của phương trình log₂(x + 3) = 4 là
2
Thông hiểu
Điều kiện xác định của phương trình log₂(x − 2) + log₂(x + 4) = 3 là
3
Thông hiểu Nghiệm của phương trình log₂(2x − 1) = log₂(x + 3) là x = .
4
Thông hiểu
Tập nghiệm của phương trình log₂ x + log₂(x − 2) = 3 là
5
Vận dụng
Tổng các nghiệm của phương trình log₂(x² − 3x) = 2 là

🔥

Phương trình mũ

1
Nhận biết
Nghiệm của phương trình 3ˣ = 81 là
2
Thông hiểu
Nghiệm của phương trình 9ˣ⁻¹ = 27 là
3
Thông hiểu
Số nghiệm của phương trình 5ˣ = −3 là
4
Thông hiểu Tổng các nghiệm của phương trình 4ˣ − 5·2ˣ + 4 = 0 bằng .
5
Thông hiểu
Tập nghiệm của phương trình 9ˣ − 2·3ˣ − 3 = 0 là
6
Vận dụng Nghiệm của phương trình 4ˣ − 2ˣ⁺¹ − 8 = 0 là x = .

🔀

Bất phương trình mũ

1
Nhận biết
Tập nghiệm của bất phương trình 2ˣ > 8 là
2
Thông hiểu
Tập nghiệm của bất phương trình (12)ˣ < 18 là
3
Thông hiểu
Tập nghiệm của bất phương trình $3^{x^{2}} \leq 81$ là
4
Thông hiểu Số nghiệm nguyên của bất phương trình $2^{x^{2}} < 32$ là .
5
Vận dụng
Tập nghiệm của bất phương trình $(0, 5)^{2 x - 1} \geq 0, 25$ là
6
Vận dụng
Tập nghiệm của bất phương trình 4ˣ − 6·2ˣ + 8 < 0 là

🧱

Bất phương trình lôgarit

1
Nhận biết
Tập nghiệm của bất phương trình log₂(x − 1) < 3 là
2
Thông hiểu
Tập nghiệm của bất phương trình $lo g_{1/2} x > 3$ là
3
Thông hiểu
Tập nghiệm của bất phương trình log₃(2x − 1) > 2 là
4
Vận dụng Số nghiệm nguyên của bất phương trình log₂ x + log₂(x − 2) ≤ 3 là .
5
Vận dụng
Tập nghiệm của bất phương trình log₂(x² − 1) > 3 là

🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp

Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.

🅰️

Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn

1
Thông hiểu
Tập nghiệm của phương trình log₂(x + 1) + log₂(x − 2) = 2 là
2
Thông hiểu
Tập nghiệm của bất phương trình $(\frac{1}{2})^{x^{2} - 2 x} \geq \frac{1}{8}$ là
3
Vận dụng
Tập nghiệm của bất phương trình $lo g_{1/2} (x - 1) \geq lo g_{1/2} (2 x - 5)$ là

✅

Phần II · Đúng / sai

1
Thông hiểu
Cho phương trình 9ˣ − 4·3ˣ − 45 = 0. Đặt t = 3ˣ.

a)Điều kiện của t là t > 0.

b)Phương trình theo t có hai nghiệm t = 9 và t = −5, cả hai đều nhận.

c)Phương trình đã cho có đúng một nghiệm.

d)Nghiệm của phương trình là x = 9.
2
Vận dụng
Cho bất phương trình $lo g_{1/2} (x - 1) > - 3$ .

a)Điều kiện xác định là x > 1.

b)Vì cơ số 12 < 1 nên bất phương trình tương đương x − 1 > 8.

c)Tập nghiệm của bất phương trình là (1; 9).

d)Bất phương trình có đúng 8 nghiệm nguyên.

🔢

Phần III · Trả lời ngắn

1
Thông hiểu Giải phương trình log₃(x − 2) + log₃(x + 6) = 2. Nghiệm là x =
2
Thông hiểu Có bao nhiêu số nguyên x thoả mãn $3^{x^{2} - 4 x} < 27$ ? Đáp số:
3
Vận dụng Có bao nhiêu số nguyên x thoả mãn log₂(x² − 2x) ≤ 3? Đáp số:

🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?

•Bài kiểm tra cuối học kì thường có câu giải phương trình, bất phương trình mũ hoặc lôgarit cơ bản, hay hỏi số nghiệm, tổng các nghiệm, hoặc tập nghiệm.
•Bài kiểm tra trên lớp hay có phương trình lôgarit cần loại nghiệm ngoại lai và bất phương trình có cơ số nhỏ hơn 1. Hai chỗ dễ mất điểm nhất là quên điều kiện và quên đảo chiều.
•Lên lớp 12, khảo sát hàm số mũ, lôgarit và các bài toán thực tế như lãi kép, tăng trưởng đều quy về giải phương trình, bất phương trình dạng này, nên đặt điều kiện cẩn thận từ bây giờ.

Làm đề thi thử trọn bộ

Chủ đề tiếp theo
Hai đường thẳng vuông góc