Công thức cộng xác suất
Dùng đúng công thức cộng P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) cho hai biến cố bất kì, rút gọn thành cộng thẳng khi xung khắc, và xử lí đề có chữ "ít nhất một" bằng biến cố đối.
Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 29
⚡ Nhớ nhanh
- 1"A hoặc B" là biến cố hợp A ∪ B. Công thức cộng tổng quát, đúng với mọi cặp biến cố: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
- 2Vì sao phải trừ: cộng P(A) với P(B) thì phần chung A ∩ B bị đếm hai lần, phải trả lại một lần.
- 3Xung khắc (A ∩ B = ∅, không cùng xảy ra) thì P(A ∩ B) = 0, công thức rút thành P(A ∪ B) = P(A) + P(B). Phải kiểm xung khắc rồi mới được cộng thẳng.
- 4Biến cố đối: P(A) + P() = 1. "Ít nhất một" là đối của "không cái nào": P(A ∪ B) = 1 − P( ∩ ).
- 5Khi A, B độc lập (bài 28) thì P(A ∩ B) = P(A)·P(B), thay vào công thức cộng là ra đáp số.
- 6Dấu hiệu nhận ra sai: tổng các xác suất lớn hơn 1 thì chắc chắn đã cộng thẳng khi không được phép.
👀 Nhìn là hiểu
Chỉnh số bạn giỏi Toán, giỏi Lí và giỏi cả hai bằng ±: phần chung tô đậm "đếm 2 lần", cộng thẳng 15 + 12 hơn số bạn thật. Nút mẫu "Xung khắc: phần chung 0" cho cộng thẳng được; "Hai xạ thủ 0,8 và 0,7" cho thấy 0,94 trên hình vuông đơn vị.
Cộng thẳng: 15 + 12 = 27 (thừa 5)
|A ∪ B| = 15 + 12 − 5 = 22 ⇒ P(A ∪ B) = 22/40 = 0,55
15 Toán, 12 Lí, 5 cả hai
Cộng thẳng 15 + 12 = 27 thì 5 bạn giỏi cả hai bị đếm 2 lần. Bớt đi một lần: |A ∪ B| = 15 + 12 − 5 = 22. P(A ∪ B) = 22/40 = 0,55. Công thức: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
1 ➕ Công thức cộng tổng quát
Cần nhớ
- ✦P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B), dùng được cho mọi hai biến cố.
- ✦Cộng P(A) + P(B) là đếm phần chung A ∩ B hai lần (một lần trong A, một lần trong B), nên trừ đi một lần P(A ∩ B).
- ✦Cách đọc ngược: P(A ∩ B) = P(A) + P(B) − P(A ∪ B). Biết ba số bất kì thì tìm được số còn lại.
- ✦Tự kiểm bằng cách chia vùng: "chỉ A" + "chỉ B" + "cả hai" phải ra đúng P(A ∪ B). Ví dụ 10 + 7 + 5 = 22.
Dạng bài
Tính xác suất "A hoặc B" từ số liệu đếm
- 1 Đặt tên biến cố A, B và đọc từ đề: P(A), P(B), P(A ∩ B).
- 2 Nhận ra chữ "hoặc", "ít nhất một" nghĩa là biến cố hợp A ∪ B.
- 3 Thay vào P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
- 4 Thử lại bằng cách chia vùng "chỉ A", "chỉ B", "cả hai" rồi cộng, hoặc xem kết quả có nằm trong [0; 1] không.
⚠️ Bẫy hay gặp: Cộng thẳng 1540 + 1240 = 2740 = 0,675 là sai: 5 em giỏi cả hai bị đếm hai lần. Cộng thẳng cho kết quả lớn hơn số em thật (27 so với 22).
Một lớp có 40 học sinh, trong đó 15 em giỏi Toán, 12 em giỏi Lí và 5 em giỏi cả hai môn. Chọn ngẫu nhiên một em. Tính xác suất em đó giỏi ít nhất một trong hai môn.
Hướng dẫn giải
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Ví dụ 1540 + 1240 − 540 = 2240.
P(A) + P(B) lớn hơn P(A ∪ B) đúng một lượng P(A ∩ B). Ví dụ 2740 hơn 2240 là 540.
2 🚫 Hai biến cố xung khắc: cộng thẳng
Cần nhớ
- ✦A, B xung khắc khi chúng không thể cùng xảy ra: A ∩ B = ∅, tức P(A ∩ B) = 0.
- ✦Khi đó P(A ∪ B) = P(A) + P(B): phần chung bằng 0 nên không còn gì để trừ.
- ✦Phải kiểm xung khắc trước. Hai biến cố có thể cùng xảy ra (còn một kết quả chung) thì vẫn phải trừ phần chung.
- ✦Xung khắc khác độc lập: hai biến cố xung khắc mà cùng có xác suất > 0 thì P(A ∩ B) = 0 nhưng P(A)·P(B) > 0, nên không độc lập.
Dạng bài
Cộng thẳng cho hai biến cố xung khắc
- 1 Liệt kê kết quả thuận lợi của A và của B.
- 2 Kiểm hai danh sách có phần tử chung không. Không có thì xung khắc.
- 3 Cộng P(A) + P(B).
- 4 Thử lại: tổng số kết quả thuận lợi của A ∪ B bằng số kết quả A cộng số kết quả B.
⚠️ Bẫy hay gặp: Với A: "bội của 3" (6 thẻ) và B: "bội của 5" (4 thẻ) thì thẻ số 15 thuộc cả hai, không xung khắc. Cộng thẳng 620 + 420 = 0,5 là sai; đúng là 620 + 420 − 120 = 920 = 0,45.
Rút ngẫu nhiên một thẻ từ 20 thẻ đánh số 1; 2; …; 20. A: "số trên thẻ là bội của 5", B: "số trên thẻ nhỏ hơn 4". Tính P(A ∪ B).
Hướng dẫn giải
Xung khắc và không xung khắc
| Tình huống (phần chung) | Cách tính |
|---|---|
| Bội của 5 và nhỏ hơn 4 (rỗng) | Cộng thẳng |
| Bội của 3 và bội của 5 (có số 15) | Trừ phần chung |
| Giỏi Toán và giỏi Lí (có 5 bạn) | Trừ phần chung |
3 🔄 Biến cố đối và bài "ít nhất một"
Cần nhớ
- ✦Biến cố đối của A là ("A không xảy ra"). A và xung khắc và hợp lại là toàn bộ không gian mẫu, nên P(A) + P() = 1.
- ✦"Ít nhất một" là đối của "không cái nào": P(A ∪ B) = 1 − P( ∩ ).
- ✦Đề nhiều biến cố (3, 4 xạ thủ…) thì cách biến cố đối ngắn hơn hẳn công thức cộng, vì công thức cộng cho ba biến cố phải xét tới bảy số hạng.
- ✦Phép kiểm nhanh mọi bài: cộng xác suất của mọi khả năng phải ra đúng 1.
Dạng bài
Bài "ít nhất một" bằng biến cố đối
- 1 Gọi biến cố cần tính, viết biến cố đối của nó là "không cái nào xảy ra".
- 2 Tính xác suất của biến cố đối (thường là đếm hoặc nhân các xác suất độc lập).
- 3 Lấy 1 trừ đi xác suất đó.
- 4 Thử lại bằng cách đếm trực tiếp các trường hợp (nếu ít) hoặc kiểm P(A) + P(đối) = 1.
⚠️ Bẫy hay gặp: Cộng 16 + 16 = 13 = 1236 là sai: kết quả (6; 6) bị đếm hai lần, đúng chỉ có 11 kết quả. Đây chính là lỗi quên trừ phần chung.
Gieo một con xúc xắc cân đối hai lần. Tính xác suất có ít nhất một lần xuất hiện mặt 6.
Hướng dẫn giải
Dịch đề sang công thức
| Đề nói | Là biến cố | Tính bằng |
|---|---|---|
| A hoặc B | A ∪ B | P(A) + P(B) − P(A ∩ B) |
| cả A và B | A ∩ B | Đếm trực tiếp, hoặc nhân nếu độc lập |
| ít nhất một | A ∪ B | Như dòng đầu, hoặc 1 − (không cái nào) |
| không cái nào | ∩ | 1 − P(A ∪ B) |
| đúng một | chỉ A hoặc chỉ B | P(A ∪ B) − P(A ∩ B) |
4 🎯 Kết hợp với biến cố độc lập
Cần nhớ
- ✦Bài 28 đã nói: A, B độc lập thì P(A ∩ B) = P(A)·P(B). Ở đây chỉ dùng nó để lấp vào chỗ P(A ∩ B) của công thức cộng.
- ✦Nếu A, B độc lập thì , cũng độc lập: P( ∩ ) = (1 − P(A))·(1 − P(B)).
- ✦Hai cách cho cùng đáp số: cộng P(A) + P(B) − P(A)·P(B), hoặc bù 1 − (1 − P(A))(1 − P(B)). Dùng cách này để tự kiểm cách kia.
- ✦Đúng một biến cố xảy ra: P(A ∪ B) − P(A ∩ B). Ví dụ 0,94 − 0,56 = 0,38.
Dạng bài
Xác suất "ít nhất một" của hai biến cố độc lập
- 1 Ghi P(A), P(B) và xác nhận hai biến cố độc lập.
- 2 Cách 1: tính P(A ∩ B) = P(A)·P(B) rồi P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
- 3 Cách 2: tính (1 − P(A))(1 − P(B)) rồi lấy 1 trừ đi.
- 4 Thử lại: hai cách phải cho cùng kết quả, và kết quả không vượt quá 1.
⚠️ Bẫy hay gặp: Cộng thẳng 0,8 + 0,7 = 1,5 là vô lí vì xác suất không vượt 1. Nhìn thấy kết quả lớn hơn 1 là biết đã quên trừ P(A ∩ B) = 0,56.
Hai xạ thủ bắn độc lập vào một bia, xác suất trúng lần lượt là 0,8 và 0,7. Tính xác suất bia bị trúng ít nhất một phát.
Hướng dẫn giải
5 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai
⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm
- ✦Thấy "ít nhất một" thì viết ngay 1 − (xác suất không cái nào). Gần như luôn ngắn hơn.
- ✦Tổng hai xác suất lớn hơn 1 thì loại đáp án cộng thẳng, và A, B chắc chắn không xung khắc.
- ✦Có ba số trong bốn số P(A), P(B), P(A ∩ B), P(A ∪ B) thì tìm được số còn lại bằng một phép tính.
- ✦Đề cho số bạn (số phần tử): đếm "chỉ A", "chỉ B", "cả hai" rồi cộng để kiểm.
⚠️ Lỗi hay sai nhất
- ✦Cộng thẳng P(A) + P(B) khi hai biến cố còn phần chung. Ví dụ 1540 + 1240 = 2740 trong khi đáp số đúng là 2240.
- ✦Nghĩ "hoặc thì cộng, và thì nhân" là đủ. Cộng phải kiểm xung khắc, nhân phải kiểm độc lập; thiếu điều kiện là sai ngay.
- ✦Dừng ở P(A ∪ B) khi đề hỏi "không cái nào" mà quên lấy phần bù. Ví dụ P(A ∪ B) = 0,8 thì "không cái nào" là 1 − 0,8 = 0,2, không phải 0,8.
- ✦Nhầm xung khắc với độc lập: P(A) = 0,4, P(B) = 0,5 xung khắc thì P(A ∪ B) = 0,9, còn P(A ∩ B) = 0,2 chỉ dùng khi độc lập.
- ✦Nhầm "đúng một" với "ít nhất một". Hai xạ thủ 0,8 và 0,7: ít nhất một là 0,94 còn đúng một chỉ là 0,38.
🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)
- ✦Chỉ cần bấm phép tính thông thường. Đặt dấu ngoặc cho (1 − p₁)(1 − p₂) rồi lấy 1 trừ ra kết quả bù, so với P(A) + P(B) − P(A)·P(B).
- ✦Dùng chế độ phân số (hiện kết quả dạng phân số) để rút gọn 2240 thành 1120 và đối chiếu với đáp án trắc nghiệm.
- ✦Dùng bộ nhớ Ans để giữ P(A ∩ B) rồi đem trừ ở bước sau, tránh nhập lại số thập phân.
✏️ Luyện tập
Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.
Công thức cộng tổng quát
- 1Nhận biết
Với hai biến cố A, B bất kì, P(A ∪ B) bằng
- 2Nhận biết Cho P(A) = 0,5; P(B) = 0,4 và P(A ∩ B) = 0,2. Khi đó P(A ∪ B) = .
- 3Thông hiểu
Cho P(A) = 0,6; P(B) = 0,5 và P(A ∪ B) = 0,8. Xác suất P(A ∩ B) bằng
- 4Thông hiểu Lớp 30 bạn: 12 bạn thích bóng đá, 10 bạn thích bóng rổ, 4 bạn thích cả hai. Chọn ngẫu nhiên một bạn. Xác suất bạn đó thích ít nhất một trong hai môn là .
- 5Thông hiểu
Gieo một con xúc xắc cân đối. A: "ra số chẵn", B: "ra số lớn hơn 3". Xác suất P(A ∪ B) bằng
Hai biến cố xung khắc
- 1Nhận biết
Hai biến cố A, B xung khắc. Khẳng định nào đúng?
- 2Thông hiểu
Rút ngẫu nhiên một thẻ từ 20 thẻ đánh số 1; 2; …; 20. A: "bội của 5", B: "số nhỏ hơn 4". Xác suất P(A ∪ B) bằng
- 3Thông hiểu Hai biến cố A, B xung khắc, P(A) = 0,35 và P(A ∪ B) = 0,8. Khi đó P(B) = .
- 4Thông hiểu
Rút một thẻ từ 20 thẻ đánh số 1; …; 20. A: "bội của 3" (6 thẻ), B: "bội của 5" (4 thẻ). Xác suất P(A ∪ B) bằng
- 5Vận dụng
Cho P(A) = 0,5 và P(B) = 0,6. Khẳng định nào đúng?
Biến cố đối và "ít nhất một"
- 1Nhận biết Biến cố A có P(A) = 0,35. Xác suất của biến cố đối là .
- 2Thông hiểu
Gieo một con xúc xắc cân đối hai lần. Xác suất có ít nhất một lần ra mặt 6 là
- 3Thông hiểu Tung một đồng xu cân đối hai lần. Xác suất có ít nhất một lần ra mặt ngửa là .
- 4Thông hiểu
Cho P(A ∪ B) = 0,72. Xác suất để cả A lẫn B đều không xảy ra là
- 5Vận dụng
Ba xạ thủ bắn độc lập, xác suất trúng lần lượt là 0,4; 0,5; 0,5. Xác suất có ít nhất một người trúng là
Kết hợp với biến cố độc lập
- 1Thông hiểu
Hai xạ thủ bắn độc lập, xác suất trúng lần lượt là 0,9 và 0,6. Xác suất bia bị trúng ít nhất một phát là
- 2Thông hiểu Hai biến cố độc lập A, B có P(A) = 0,5 và P(B) = 0,3. Khi đó P(A ∪ B) = .
- 3Vận dụng Hai xạ thủ bắn độc lập, xác suất trúng là 0,8 và 0,7. Xác suất có đúng một người trúng là .
- 4Vận dụng Hai biến cố độc lập A, B có P(A) = 0,4 và P(A ∪ B) = 0,7. Khi đó P(B) = .
- 5Vận dụng
Hai biến cố A, B xung khắc, P(A) = 0,3 và P(B) = 0,5. Khẳng định nào đúng?
🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp
Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.
Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn
- 1Thông hiểu
Lớp 36 học sinh: 20 em học đàn, 15 em học vẽ, 8 em học cả hai. Chọn ngẫu nhiên một em. Xác suất em đó học ít nhất một trong hai môn là
- 2Vận dụng
Rút ngẫu nhiên một thẻ từ 30 thẻ đánh số 1; 2; …; 30. Xác suất thẻ rút được ghi số chia hết cho 2 hoặc chia hết cho 3 là
- 3Vận dụng
Hai xạ thủ bắn độc lập vào một bia, xác suất trúng lần lượt là 0,7 và 0,6. Xác suất bia bị trúng ít nhất một phát là
Phần II · Đúng / sai
- 1Thông hiểu
Khảo sát 50 học sinh: 30 em chơi cờ vua (A), 22 em chơi cờ tướng (B), 12 em chơi cả hai. Chọn ngẫu nhiên một em.
a)P(A) = 0,6.
b)Hai biến cố A và B xung khắc.
c)Xác suất em được chọn chơi ít nhất một trong hai môn là 0,8.
d)Xác suất em được chọn không chơi môn nào là 0,3.
- 2Vận dụng
Hai xạ thủ bắn độc lập vào một bia, xác suất trúng lần lượt là 0,9 và 0,8. A: "xạ thủ 1 trúng", B: "xạ thủ 2 trúng".
a)Xác suất cả hai cùng trúng là 0,72.
b)P(A ∪ B) = 0,9 + 0,8 = 1,7.
c)Xác suất bia bị trúng ít nhất một phát là 0,98.
d)Xác suất có đúng một xạ thủ trúng là 0,98.
Phần III · Trả lời ngắn
- 1Thông hiểu Lớp 40 bạn: 22 bạn thích mèo, 20 bạn thích chó, 8 bạn thích cả hai. Chọn ngẫu nhiên một bạn. Xác suất bạn đó không thích con vật nào trong hai loại là bao nhiêu? Đáp số:
- 2Vận dụng Ba xạ thủ bắn độc lập, xác suất trúng lần lượt là 0,5; 0,5 và 0,6. Xác suất có ít nhất một người trúng là bao nhiêu? Đáp số:
- 3Vận dụng Chọn ngẫu nhiên một số nguyên từ 1 đến 100. Xác suất số đó chia hết cho 2 hoặc chia hết cho 5 là bao nhiêu? Đáp số:
🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?
- •Phần I thường cho số liệu đếm hoặc hai xác suất kèm P(A ∩ B) rồi hỏi P(A ∪ B); hay có bẫy cộng thẳng, hoặc đáp án lớn hơn 1.
- •Phần II hay có một tình huống hai biến cố, các ý hỏi lần lượt xung khắc hay không, P(A ∩ B), P(A ∪ B), rồi xác suất "không cái nào" hoặc "đúng một".
- •Phần III có thể hỏi "ít nhất một" của hai hoặc ba biến cố độc lập (qua biến cố đối), hoặc tìm một xác suất chưa biết từ P(A ∪ B). Là nền cho lớp 12: xác suất toàn phần và công thức Bayes đều cộng xác suất các trường hợp xung khắc.
Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập