Chủ đề 32 · Học kỳ 2 ⭐ Hay ra thi tốt nghiệp

Các quy tắc tính đạo hàm

Thuộc bảng đạo hàm của hàm sơ cấp, dùng đúng quy tắc tổng – hiệu, tích, thương và đạo hàm hàm hợp; tự kiểm kết quả bằng cách nhân ra hoặc thử số.

Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 32

⚡ Nhớ nhanh

1Bảng gốc: (xⁿ)′ = nxⁿ⁻¹, (√x)′ = 12√x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x, (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x. Hằng số có đạo hàm 0.
2Tổng, hiệu, hằng số nhân đi xuyên qua: (u ± v)′ = u′ ± v′, (ku)′ = k·u′.
3Tích: (uv)′ = u′v + uv′. Không phải u′v′. Ví dụ: y = (2x + 1)(x² − 3) có y′ = 6x² + 2x − 6, còn u′v′ = 2·2x = 4x.
4Thương: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v², tử có dấu trừ và thứ tự không đổi được. Không phải u′/v′.
5Hàm hợp: [f(u)]′ = f′(u)·u′. Quên nhân u′ là lỗi số một: (sin 3x)′ = 3cos 3x chứ không phải cos 3x.
6Cách tự kiểm: nhân ra rồi đạo hàm từng số hạng, hoặc thử số (f(x₀ + 0,001) − f(x₀))/0,001 và so với kết quả.

👀 Nhìn là hiểu

Chọn một hàm rồi kéo x₀: chấm là đạo hàm đo bằng hệ số góc, đường xanh lá là quy tắc đúng, đường đỏ đứt là quy tắc sai hay gặp. Bấm (2x + 1)(x² − 3) để thấy u′v′ = 4x lệch hẳn, rồi thử sin 3x, √(x² + 1) và x/(x + 1).

● đạo hàm đo được · ━ quy tắc đúng · ┅ quy tắc sai

x₀ = 1

Hệ số góc tiếp tuyến tại x₀ ≈ 2

y′ = 2(x² − 3) + (2x + 1)·2x = 6x² + 2x − 6 → 2

sai: (2x + 1)′·(x² − 3)′ = 2·2x = 4x → 4

(2x + 1)(x² − 3)

Quy tắc tích: (uv)′ = u′v + uv′, KHÔNG phải u′v′. Ở đây u = 2x + 1, v = x² − 3: y′ = 2(x² − 3) + (2x + 1)·2x = 6x² + 2x − 6. Các chấm (đạo hàm đo được) nằm trên đường xanh lá, xa hẳn đường 4x.

1 📒 Bảng đạo hàm, tổng và hiệu

Cần nhớ

✦(c)′ = 0 với c là hằng số; (xⁿ)′ = nxⁿ⁻¹. Ví dụ: (x⁵)′ = 5x⁴, (x)′ = 1, (1/x)′ = (x⁻¹)′ = −x⁻² = −1/x².
✦(u ± v)′ = u′ ± v′ và (ku)′ = k·u′. Ví dụ: (3x² − 4x + 7)′ = 6x − 4 (hằng số 7 cho 0).
✦Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x₀ là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm đó. Phương trình tiếp tuyến: y = f′(x₀)(x − x₀) + f(x₀). Ví dụ: y = x² tại x₀ = 1 có f′(1) = 2 nên y = 2(x − 1) + 1 = 2x − 1.

Bảng đạo hàm cần thuộc

f(x)	f′(x)	Điều kiện
xⁿ	n·xⁿ⁻¹	n nguyên (x ≠ 0 nếu n < 0)
√x	$\frac{1}{2 x}$	x > 0
sin x	cos x
cos x	−sin x	có dấu trừ
tan x	$\frac{1}{cos ^{2} x}$	cos x ≠ 0
cot x	$- \frac{1}{sin ^{2} x}$	sin x ≠ 0
eˣ	eˣ
aˣ	aˣ·ln a	a > 0, a ≠ 1
ln x	$\frac{1}{x}$	x > 0
logₐ x	$\frac{1}{x ln a}$	x > 0, a > 0, a ≠ 1

Dạng bài

Đạo hàm tổng, hiệu của các hàm trong bảng

1 Viết lại từng số hạng về dạng xⁿ nếu có thể (căn và 1/x đều viết được thành luỹ thừa).
2 Đạo hàm từng số hạng, hằng số nhân giữ nguyên, hằng số đứng riêng cho 0.
3 Thu gọn, đưa về dạng đẹp.
4 Thử lại bằng cách thay một số x₀ vào cả hàm và đạo hàm: (f(x₀ + 0,001) − f(x₀))/0,001 ≈ f′(x₀).

⚠️ Bẫy hay gặp: (x² + 7)′ = 2x, không phải 2x + 7: hằng số đứng riêng cho 0. Ngược lại, 5 trong 5/x là hằng số nhân, giữ nguyên chứ không bỏ: (5/x)′ = −5/x², không phải 0.

📒

Làm mẫu

Tính đạo hàm của y = 3x⁴ − 2√x + 5/x + 7 và tính y′(1).

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

2 ✖️ Đạo hàm của tích và thương

Cần nhớ

✦Tích: (uv)′ = u′v + uv′. Kiểm nhanh bằng u = v = x: (x²)′ = 2x, còn u′v′ = 1 sai hẳn.
✦Thương: $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ (v ≠ 0). Tử là u′v trừ uv′, đảo thứ tự là đổi dấu cả đáp số.
✦Hằng số nhân thì dùng (ku)′ = k·u′, không cần quy tắc tích. Ví dụ: (5x³)′ = 15x².
✦Thấy tích của hai đa thức nhỏ thì có thể nhân ra trước rồi đạo hàm từng số hạng. Cách này vừa là cách làm vừa là cách tự kiểm.

Dạng bài

Đạo hàm của tích

1 Đặt u, v và tính u′, v′ riêng.
2 Thay vào (uv)′ = u′v + uv′.
3 Khai triển và thu gọn.
4 Thử lại bằng cách nhân ra rồi đạo hàm từng số hạng.

⚠️ Bẫy hay gặp: Lấy u′v′ = 2·2x = 4x là sai. Tại x = 1: đạo hàm thật bằng 6 + 2 − 6 = 2, còn 4x = 4. Đạo hàm của tích không bằng tích các đạo hàm.

✖️

Làm mẫu

Tính đạo hàm của y = (2x + 1)(x² − 3).

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Dạng bài

Đạo hàm của thương

1 Đặt u (tử), v (mẫu) và tính u′, v′.
2 Thay vào (u′v − uv′)/v², giữ đúng thứ tự và dấu trừ.
3 Khai triển tử và thu gọn, mẫu giữ dạng bình phương.
4 Thử lại bằng một giá trị x₀ cụ thể.

⚠️ Bẫy hay gặp: Viết u′/v′ = 11 = 1 là sai: tại x = 1 độ dốc thật là 0,25 chứ không phải 1. Đảo thứ tự thành uv′ − u′v thì ra −1x + 1², dấu sai.

➗

Làm mẫu

Tính đạo hàm của y = x/(x + 1) và viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ 1.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

3 🔗 Đạo hàm của hàm hợp

Cần nhớ

✦Hàm hợp y = f(u(x)): đạo hàm ngoài (giữ nguyên u) nhân đạo hàm trong: y′ = f′(u)·u′.
✦Ngoặc chứa x được nâng luỹ thừa: (uⁿ)′ = n·uⁿ⁻¹·u′. Ví dụ: ((2x + 1)⁵)′ = 5(2x + 1)⁴·2 = 10(2x + 1)⁴.
✦Căn: $(u)^{'} = \frac{u ^{'}}{2 u}$ . Lượng giác: (sin u)′ = u′cos u, (cos u)′ = −u′sin u, $(tan u)^{'} = \frac{u ^{'}}{cos ^{2} u}$ .
✦Mũ, lôgarit: (eᵘ)′ = u′eᵘ, (ln u)′ = u′/u. Ví dụ: (e²ˣ)′ = 2e²ˣ.

Nhìn hàm, tách "ngoài" và "trong"

Hàm	Ngoài	Trong u	Đạo hàm
sin 3x	sin	3x	3cos 3x
(2x + 1)⁵	luỹ thừa 5	2x + 1	10(2x + 1)⁴
√(x² + 1)	căn	x² + 1	$\frac{x}{x ^{2} + 1}$
cos(2x − 1)	cos	2x − 1	−2sin(2x − 1)

Dạng bài

Đạo hàm hàm hợp (quy tắc dây chuyền)

1 Chỉ ra hàm ngoài và biểu thức trong u, tính u′.
2 Đạo hàm hàm ngoài theo u, giữ nguyên u.
3 Nhân với u′, thu gọn.
4 Thử lại bằng một giá trị x₀ hoặc so độ lớn: sin 3x dao động nhanh gấp 3 lần sin x nên độ dốc phải gấp 3.

⚠️ Bẫy hay gặp: Viết (sin 3x)′ = cos 3x là quên u′ = 3: tại x = 0, hàm có độ dốc 3 chứ không phải cos 0 = 1. Với căn, viết $\frac{1}{2 x ^{2} + 1}$ cũng quên u′ = 2x: tại x = 0 đạo hàm thật bằng 0 (đáy parabol) còn công thức sai cho 12.

🔗

Làm mẫu

Tính đạo hàm của y = sin 3x và của y = √(x² + 1).

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Dạng bài

Phối hợp: tích có hàm hợp

1 Nhìn phép tính ngoài cùng là tích hay thương hay hàm hợp, xử lí lớp ngoài trước.
2 Mỗi lần gặp hàm hợp bên trong thì dùng dây chuyền tiếp.
3 Gộp lại, thu gọn.

⚠️ Bẫy hay gặp: Quên dây chuyền ở v: viết v′ = cos 2x làm y′ = sin 2x + x·cos 2x, thiếu hệ số 2 ở số hạng sau.

🧩

Làm mẫu

Tính đạo hàm của y = x·sin 2x.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

4 📈 Hàm mũ và lôgarit

Cần nhớ

✦(eˣ)′ = eˣ: hàm mũ cơ số e có đạo hàm bằng chính nó. (e ≈ 2,718; ln x là lôgarit cơ số e.)
✦(aˣ)′ = aˣ·ln a. Ví dụ: (2ˣ)′ = 2ˣ·ln 2. Với a = e thì ln e = 1 nên trở về (eˣ)′ = eˣ.
✦(ln x)′ = 1/x và (logₐ x)′ = 1x ln a. Với hàm hợp: (ln u)′ = u′/u. Ví dụ: (ln(3x − 2))′ = 33x − 2.

Dạng bài

Đạo hàm có mũ hoặc lôgarit

1 Nhìn có tích hay thương không: xử lí lớp ngoài trước.
2 Dùng bảng cho eˣ, aˣ, ln x, logₐ x; nếu bên trong x là biểu thức u thì nhân thêm u′.
3 Thu gọn, đặt nhân tử chung (thường là eˣ).
4 Thử lại bằng một giá trị x₀.

⚠️ Bẫy hay gặp: Không dùng quy tắc "hạ mũ" cho eˣ: (eˣ)′ không bằng x·eˣ⁻¹. Tại x = 0, hàm eˣ có độ dốc 1, còn x·eˣ⁻¹ cho 0.

📈

Làm mẫu

Tính đạo hàm của y = x·eˣ và của y = ln(3x − 2).

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

5 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai

⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm

✦Thấy bên trong có dạng ax + b thì a ra ngoài: (sin(ax + b))′ = a·cos(ax + b), ((ax + b)ⁿ)′ = n·a·(ax + b)ⁿ⁻¹.
✦Thương có tử là hằng số k: (k/v)′ = −k·v′/v². Ví dụ: (5/x)′ = −5/x².
✦Đề cho bốn đáp án đạo hàm: thay một giá trị x₀ đơn giản (0, 1) vào đề rồi vào từng đáp án, thường loại được hai phương án ngay.
✦Đạo hàm của tích hai đa thức: nhân ra trước rồi đạo hàm từng số hạng, vừa tính vừa kiểm chéo.

⚠️ Lỗi hay sai nhất

✦Viết (uv)′ = u′v′. Phản ví dụ: u = v = x thì (x²)′ = 2x còn u′v′ = 1.
✦Viết (u/v)′ = u′/v′. Phản ví dụ: u = x², v = x thì (x)′ = 1 còn u′/v′ = 2x/1 = 2x.
✦Quên nhân u′ khi đạo hàm hàm hợp: (sin 3x)′ = cos 3x (sai), đúng là 3cos 3x; ((2x + 1)⁵)′ = 5(2x + 1)⁴ (sai), đúng là 10(2x + 1)⁴.
✦Quên dấu trừ của cos: (cos x)′ = sin x. Tại x = 0, cos x đang ở đỉnh và bắt đầu đi xuống nên đạo hàm sau đó phải âm.
✦Đảo thứ tự ở tử của thương: uv′ − u′v thay vì u′v − uv′ làm cả đáp số đổi dấu.
✦Nhầm (eˣ)′ = x·eˣ⁻¹. Phản ví dụ: tại x = 0 đạo hàm đúng là 1, còn công thức "hạ mũ" cho 0.

🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)

✦Chức năng d/dx: nhập hàm và một điểm x₀, máy trả giá trị y′(x₀) để so với kết quả bạn vừa tính. Nhớ đặt máy ở đơn vị rađian khi hàm có sin, cos.
✦Chế độ Bảng (TABLE): nhập f(x), cho x chạy quanh x₀ với bước nhỏ rồi tính (f(x₀ + h) − f(x₀))/h bằng tay để kiểm.
✦Máy cầm tay không biến đổi biểu thức đạo hàm hộ bạn: bài tự luận vẫn phải viết quy tắc dùng ở từng bước.

✏️ Luyện tập

Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.

📒

Bảng đạo hàm, tổng và hiệu

1
Nhận biết
Đạo hàm của hàm số y = x⁷ là
2
Nhận biết
Đạo hàm của hàm số y = √x (x > 0) là
3
Thông hiểu Cho y = 2x³ − 5x² + 4x − 9. Tính y′(2). Đáp số:
4
Thông hiểu
Đạo hàm của hàm số $y = 4 x + \frac{1}{x}$ (x > 0) là
5
Thông hiểu Cho y = 3sin x − 2cos x. Tính y′(π/2). Đáp số:
6
Vận dụng
Tiếp tuyến của đồ thị y = x³ − 3x + 1 tại điểm có hoành độ 2 là

✖️

Tích và thương

1
Nhận biết
Công thức đạo hàm của tích hai hàm u, v là
2
Thông hiểu
Đạo hàm của hàm số y = x²(3x − 1) là
3
Thông hiểu
Đạo hàm của hàm số $y = \frac{x + 2}{x - 1}$ là
4
Thông hiểu Cho $y = \frac{2 x + 1}{x + 3}$ . Tính y′(−2). Đáp số:
5
Vận dụng
Hàm số $y = \frac{x}{x ^{2} + 1}$ có y′ = 0 tại
6
Vận dụng Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị $y = \frac{x}{x + 1}$ tại điểm có hoành độ 1 là (viết số thập phân):

🔗

Hàm hợp

1
Nhận biết
Đạo hàm của hàm số y = sin 5x là
2
Thông hiểu
Đạo hàm của hàm số y = (3x − 2)⁴ là
3
Thông hiểu Cho $y = x^{2} + 9$ . Tính y′(4) (viết số thập phân). Đáp số:
4
Thông hiểu
Đạo hàm của hàm số y = cos(2x − 1) là
5
Thông hiểu Cho y = (x² + 1)³. Tính y′(1). Đáp số:
6
Vận dụng
Đạo hàm của hàm số y = sin²x là
7
Vận dụng Cho y = (x² + 1)·sin 2x. Tính y′(0). Đáp số:

📈

Mũ và lôgarit

1
Thông hiểu
Đạo hàm của hàm số y = x·eˣ là
2
Thông hiểu
Đạo hàm của hàm số $y = 2^{x} + lo g_{3} x$ (x > 0) là
3
Vận dụng Cho y = x·ln x (x > 0). Tính y′(e). Đáp số:

🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp

Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.

🅰️

Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn

1
Thông hiểu
Đạo hàm của hàm số y = x²cos x là
2
Thông hiểu
Cho y = (2x + 1)(x² − 3). Giá trị y′(1) là
3
Vận dụng
Đạo hàm của hàm số y = sin 3x tại x = π/3 bằng

✅

Phần II · Đúng / sai

1
Thông hiểu
Cho hàm số y = (2x + 1)(x² − 3).

a)Nhân ra được y = 2x³ + x² − 6x − 3.

b)y′(1) = 4.

c)y′(0) = −6.

d)Tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ 0 là y = −6x + 3.
2
Vận dụng
Cho hàm số $f (x) = x^{2} + 1$ .

a) $f^{'} (x) = \frac{x}{x ^{2} + 1}$ .

b) $f^{'} (x) = \frac{1}{2 x ^{2} + 1}$ .

c)f′(0) = 0.

d)Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ 1 bằng 12.

🔢

Phần III · Trả lời ngắn

1
Thông hiểu Cho y = (2x + 1)⁵. Tính y′(0). Đáp số:
2
Thông hiểu Cho $y = \frac{3 x + 1}{x - 2}$ . Tính y′(3). Đáp số:
3
Vận dụng Cho f(x) = x²eˣ. Tính f′(1)/e. Đáp số:

🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?

•Là nền cho cả lớp 12: khảo sát hàm số (đồng biến, nghịch biến, cực trị) bắt đầu từ việc tính y′ đúng; sai y′ thì cả bài sai theo.
•Bài kiểm tra trên lớp hay có câu tính đạo hàm của tích, thương và hàm hợp (sin 3x, √(x² + 1), (2x + 1)⁵). Các phương án nhiễu thường là u′v′, u′/v′ và đáp số quên u′.
•Hay kèm theo câu viết phương trình tiếp tuyến hoặc tính y′(x₀): có thể thử số bằng chức năng d/dx của máy tính để kiểm lại.

Làm đề thi thử trọn bộ

Chủ đề tiếp theo
Đạo hàm cấp hai