Đạo hàm cấp hai
Tính đạo hàm cấp hai và cấp cao của đa thức, phân thức, hàm lượng giác; hiểu v = s′, a = s″ và đọc chuyển động nhanh dần, chậm dần, đổi chiều qua dấu của v và a.
Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 33
⚡ Nhớ nhanh
- 1Đạo hàm cấp hai là đạo hàm của đạo hàm: f″(x) = [f′(x)]′. Phải viết f′ ra rồi mới đạo hàm tiếp.
- 2f″ không phải bình phương: f(x) = x² có f′ = 2x, f″ = 2, còn (f′)² = 4x².
- 3Mỗi lần đạo hàm, đa thức hạ một bậc. Đa thức bậc n có đạo hàm cấp n+1 bằng 0.
- 4Ý nghĩa cơ học: s(t) là quãng đường (vị trí), v = s′ là vận tốc tức thời, a = v′ = s″ là gia tốc tức thời.
- 5v·a > 0 thì nhanh dần, v·a < 0 thì chậm dần. v đổi dấu thì vật đổi chiều. a = 0 chỉ nói v không đổi, không nói vật đứng yên.
👀 Nhìn là hiểu
Kéo thanh t: xe chạy trên đường thẳng, ba đồ thị s, v, a chạy cùng một chấm. Bấm "s = 5t²" thấy a nằm ngang mà v vẫn đi lên, rồi bấm "Ném lên" và "s = t³ − 6t² + 9t" để thấy chỗ v đổi dấu (đổi chiều) khác chỗ a = 0.
s = 20 m · v = 20 m/s · a = 10 m/s²
v·a > 0: nhanh dần
s = 5t²
v = s′ = 10t, a = v′ = s″ = 10. Tại t = 2: v = 20 m/s, a = 10 m/s². v và a cùng dấu dương nên vật chuyển động nhanh dần (rơi tự do với g ≈ 10 m/s²).
1 2️⃣ Đạo hàm cấp hai và cách tính
Cần nhớ
- ✦f″(x) = [f′(x)]′: đạo hàm lần thứ hai. Kí hiệu khác: y″.
- ✦Ví dụ: f(x) = x³ có f′ = 3x², f″ = 6x. Còn 3x² là cấp một, 6 là cấp ba.
- ✦Các quy tắc đạo hàm ở bài 32 (tổng, tích, thương, hàm hợp) dùng nguyên cho mỗi lần đạo hàm.
- ✦Kiểm nhanh bằng bậc: đa thức bậc 4 có f″ bậc 2, hằng số biến mất ngay từ lần đầu.
Dạng bài
Tính f″(x) và f″(x₀)
- 1 Tính f′(x) bằng các quy tắc ở bài 32 (viết hẳn ra, không nhảy cóc).
- 2 Đạo hàm f′(x) thêm một lần được f″(x).
- 3 Cần giá trị tại x₀ thì thay sau cùng, không thay x₀ vào f rồi mới đạo hàm.
- 4 Thử lại bằng bậc (đa thức) hoặc thay một giá trị nhỏ.
⚠️ Bẫy hay gặp: Viết f″(1) = [f(1)]² hoặc [f′(1)]²: f′(1) = 4 − 6 = −2, [f′(1)]² = 4 ≠ 6. Dấu ″ là đạo hàm hai lần, không phải bình phương.
Cho f(x) = x⁴ − 3x² + 5. Tính f″(x) và f″(1).
Hướng dẫn giải
Dạng bài
Đạo hàm cấp hai khi có tích hoặc hàm hợp
- 1 Tính f′ trọn vẹn, rút gọn nếu được.
- 2 Đạo hàm f′ lần nữa bằng quy tắc thích hợp (tích, hàm hợp…).
- 3 Gộp các số hạng đồng dạng.
- 4 Thử lại ở một điểm dễ: thay x = 0 hoặc x = π vào kết quả.
⚠️ Bẫy hay gặp: Hàm hợp: y = sin 2x có y′ = 2cos 2x và y″ = −4sin 2x (nhân thêm 2 ở mỗi lần), không phải −2sin 2x.
Cho y = x·sin x. Tính y″ và y″(π).
Hướng dẫn giải
Cấp hai của vài hàm hay gặp
| Hàm y | y′ | y″ |
|---|---|---|
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ | n(n − 1)·xⁿ⁻² |
| 1/x | −1/x² | 2/x³ |
| sin x | cos x | −sin x |
| cos x | −sin x | −cos x |
| sin 2x | 2cos 2x | −4sin 2x |
2 🚗 Ý nghĩa cơ học: gia tốc
Cần nhớ
- ✦Chuyển động thẳng có quãng đường (vị trí) s(t): vận tốc v(t) = s′(t), gia tốc a(t) = v′(t) = s″(t).
- ✦Ba bậc nói ba chuyện: s cho biết vật ở đâu, v cho biết đi nhanh chậm, chiều nào, a cho biết vận tốc đổi nhanh chậm ra sao.
- ✦Đơn vị: s (m), t (giây) ⇒ v (m/s), a (m/s²).
- ✦a hằng số không có nghĩa v hằng số. Ví dụ: s = 5t² có a = 10 không đổi mà v = 10t tăng mãi.
Dạng bài
Từ s(t) tìm v, a tại thời điểm cho trước
- 1 Viết v(t) = s′(t).
- 2 Viết a(t) = v′(t).
- 3 Thay t vào đúng hàm cần hỏi: vận tốc thì v, gia tốc thì a.
- 4 Ghi đơn vị (m/s hoặc m/s²) và thử lại bằng ý nghĩa.
⚠️ Bẫy hay gặp: Lấy a(2) = v(2) = 20: nhầm cấp một với cấp hai. Vận tốc 20 m/s còn gia tốc 10 m/s², hai đại lượng khác nhau.
Vật rơi có s(t) = 5t² (mét, giây). Tính vận tốc và gia tốc tại t = 2 giây.
Hướng dẫn giải
Vận tốc không đổi. Xe chạy đều 60 km/h có a = 0 mà vẫn đang chạy.
Vật dừng tức thời. Nếu v đổi dấu qua lúc đó thì vật đổi chiều. Có thể a ≠ 0 ngay lúc ấy.
3 🎛️ Đọc chuyển động qua dấu của v và a
Bốn trường hợp (v ≠ 0)
| v | a | Vật đang |
|---|---|---|
| > 0 | > 0 | Đi theo chiều dương, nhanh dần |
| > 0 | < 0 | Đi theo chiều dương, chậm dần |
| < 0 | < 0 | Đi ngược chiều dương, nhanh dần |
| < 0 | > 0 | Đi ngược chiều dương, chậm dần |
Cần nhớ
- ✦Cùng dấu (v·a > 0) thì nhanh dần, trái dấu (v·a < 0) thì chậm dần. Nhanh dần hay chậm dần là chuyện của tốc độ |v|.
- ✦Đổi chiều khi v đổi dấu: v = 0 và v đổi dấu qua nghiệm đó (nghiệm bội lẻ).
- ✦a = 0 là lúc v đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất (đổi kiểu tăng giảm tốc), không phải lúc đổi chiều. Ví dụ: s = t³ − 6t² + 9t có a = 0 tại t = 2, khi đó v = −3 ≠ 0.
Dạng bài
Phân tích chuyển động trên một đoạn thời gian
- 1 Tính v(t) và a(t), giải v = 0 và a = 0.
- 2 Dùng các nghiệm chia trục thời gian thành khoảng, thử một t trong mỗi khoảng để lấy dấu v và dấu a.
- 3 Ghép dấu theo bảng: cùng dấu nhanh dần, trái dấu chậm dần.
- 4 Đổi chiều tại nghiệm của v mà v đổi dấu; tính s tại đó nếu đề hỏi vị trí.
⚠️ Bẫy hay gặp: Nghĩ "a < 0 thì vật chậm dần". Sau t = 2, a vẫn bằng −10 nhưng v < 0 nên vật nhanh dần. Phải xét cả dấu v.
Ném vật lên thẳng đứng: s(t) = 20t − 5t² (mét, giây). Khi nào vật đổi chiều và ở độ cao bao nhiêu? Vật chậm dần lúc nào?
Hướng dẫn giải
Dạng bài
Chuyển động có đổi chiều nhiều lần
- 1 v(t) = s′(t) thường là tam thức bậc hai: tìm nghiệm bằng cách phân tích thành tích.
- 2 a(t) = v′(t) là hàm bậc nhất: một nghiệm duy nhất.
- 3 Gộp các mốc t của v và a, lập bảng dấu v, a trên từng khoảng.
- 4 Kết luận từng khoảng; thử lại bằng một điểm cụ thể.
⚠️ Bẫy hay gặp: Cho rằng t = 2 (a = 0) là lúc đổi chiều. Tại đó v(2) = −3 ≠ 0, vật vẫn đang đi lùi, chỉ là chuyển từ nhanh dần sang chậm dần.
Vật có s(t) = t³ − 6t² + 9t (t ≥ 0, mét, giây). Phân tích chuyển động.
Hướng dẫn giải
4 🔁 Đạo hàm cấp cao
Cần nhớ
- ✦Cấp ba: f‴ = (f″)′. Từ cấp 4 trở đi viết số trong ngoặc: f⁽⁴⁾ = (f‴)′, f⁽ⁿ⁾ = (f⁽ⁿ⁻¹⁾)′.
- ✦Đa thức bậc n: f⁽ⁿ⁾ là hằng số n!·(hệ số cao nhất), f⁽ⁿ⁺¹⁾ = 0. Ví dụ: x⁵ có f⁽⁵⁾ = 120.
- ✦sin x và cos x lặp lại sau 4 lần: sin x → cos x → −sin x → −cos x → sin x.
Dạng bài
Tính đạo hàm cấp n của hàm có chu kì
- 1 Tính liên tiếp vài cấp đầu đến khi thấy quy luật lặp.
- 2 Chia n cho chu kì lặp (4 với sin, cos) lấy phần dư.
- 3 Phần dư 0 là hàm gốc, dư 1 là cấp một, dư 2 là cấp hai, dư 3 là cấp ba.
- 4 Thử lại với n nhỏ.
⚠️ Bẫy hay gặp: Đạo hàm đa thức bậc 4 đến cấp 5 mà tưởng còn x: y⁽⁴⁾ = 24 đã là hằng số, y⁽⁵⁾ = 0.
Tính đạo hàm cấp 4 của y = x⁴ − 2x³ + x, rồi đạo hàm cấp 100 của y = sin x.
Hướng dẫn giải
Chu kì lặp của sin x
| Cấp | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| (sin x)⁽ⁿ⁾ | cos x | −sin x | −cos x | sin x |
5 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai
⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm
- ✦Đa thức bậc n: đạo hàm cấp n+1 bằng 0. Đạo hàm cấp n là hằng số n!·(hệ số cao nhất).
- ✦Hỏi gia tốc: đạo hàm hai lần, không dừng ở v. Hỏi vận tốc: đạo hàm một lần.
- ✦Chọn nhanh nhanh dần / chậm dần: nhìn dấu v và dấu a, cùng dấu thì nhanh.
- ✦Hàm lượng giác y = sin(kx): mỗi lần đạo hàm nhân thêm k, nên y″ = −k²·y.
⚠️ Lỗi hay sai nhất
- ✦Coi f″ là bình phương: với f = x², f″ = 2, còn (f′)² = 4x².
- ✦Nhảy cóc, đạo hàm thẳng f ra "f″" mà không viết f′ ở giữa: dễ sai với tích, thương, hàm hợp.
- ✦Nghĩ a = 0 thì vật đứng yên. Phản ví dụ: xe chạy đều 60 km/h có a = 0.
- ✦Nghĩ a không đổi thì v không đổi. Phản ví dụ: s = 5t² có a = 10 mà v = 10t tăng mãi.
- ✦Nhầm lúc đổi chiều (v = 0 và v đổi dấu) với lúc a = 0. Phản ví dụ: s = t³ − 6t² + 9t có a = 0 tại t = 2 mà v(2) = −3.
- ✦Kết luận "a < 0 thì chậm dần" mà quên xét dấu v: vật ném lên, sau đỉnh v < 0, a < 0 là nhanh dần.
🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)
- ✦Phím d/dx: tính f′ tại một điểm. Muốn f″(x₀), đặt đạo hàm của hàm đạo hàm hoặc dùng d²/dx² nếu máy có; bài tự luận vẫn phải viết f′, f″.
- ✦Chế độ Bảng (TABLE): nhập v(t) hoặc a(t), cho t chạy từ 0 đến 5 để thấy chỗ đổi dấu.
- ✦Chế độ giải phương trình bậc hai: tìm nghiệm của v(t) = 0 nhanh để chia khoảng thời gian.
✏️ Luyện tập
Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.
Tính đạo hàm cấp hai
- 1Nhận biết
Cho f(x) = x³. Khi đó f″(x) bằng
- 2Thông hiểu Cho f(x) = x⁴ − 3x² + 5. Khi đó f″(1) = .
- 3Thông hiểu
Đạo hàm cấp hai của y = 2x³ − 5x² + x là
- 4Thông hiểu Cho y = 1/x. Khi đó y″(2) = . (Điền số thập phân)
- 5Thông hiểu
Đạo hàm cấp hai của y = sin 2x là
- 6Vận dụng Cho y = x·sin x. Khi đó y″(π) = .
- 7Vận dụng Cho y = (2x + 1)³. Khi đó y″(1) = .
Vận tốc và gia tốc
- 1Nhận biết
Vật chuyển động có quãng đường s(t). Đạo hàm cấp hai s″(t) cho biết
- 2Thông hiểu Vật rơi có s(t) = 5t² (mét, giây). Vận tốc tại t = 2 là m/s.
- 3Thông hiểu Vật có s(t) = t³ − 3t² + 2t. Gia tốc tại t = 3 là m/s².
- 4Thông hiểu Vật dao động s(t) = 3cos 2t. Gia tốc tại t = 0 là m/s².
- 5Vận dụng Vật có s(t) = 2t³ − 9t² + 12t (t ≥ 0). Tại thời điểm vận tốc bằng 0 lần thứ hai, gia tốc là m/s².
Nhanh dần, chậm dần, đổi chiều
- 1Nhận biết
Tại một thời điểm, vật có v > 0 và a < 0. Khi đó vật
- 2Thông hiểu
Vật ném lên có s(t) = 20t − 5t². Tại t = 1, vật chuyển động
- 3Thông hiểu Vật ném lên có s(t) = 20t − 5t² đổi chiều chuyển động tại t = giây.
- 4Vận dụng
Vật có s(t) = t³ − 6t² + 9t (t > 0). Trong các khoảng sau, vật chuyển động chậm dần trên khoảng
- 5Thông hiểu Vật có s(t) = t³ − 6t² + 9t. Khi đổi chiều lần đầu, vật ở vị trí s = m.
Đạo hàm cấp cao
- 1Nhận biết
Cho f là đa thức bậc 4. Đạo hàm cấp 5 của f bằng
- 2Thông hiểu Cho y = x⁴ − 2x³ + x. Khi đó y‴(1) = .
- 3Vận dụng
Đạo hàm cấp 100 của y = sin x là
🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp
Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.
Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn
- 1Thông hiểu
Vật có vận tốc v(t) = 3t² − 12t + 9 (m/s). Tại t = 2 giây, gia tốc bằng 0. Khẳng định nào đúng?
- 2Thông hiểu
Hàm số y = cos 2x thoả mãn hệ thức nào sau đây?
- 3Vận dụng
Cho f(x) = x/(x + 1). Giá trị f″(1) bằng
Phần II · Đúng / sai
- 1Thông hiểu
Vật chuyển động thẳng có quãng đường s(t) = 2t³ − 9t² + 12t (mét, t ≥ 0 giây).
a)Vận tốc v(t) = 6t² − 18t + 12.
b)Vật đổi chiều chuyển động tại t = 1 và t = 2.
c)Tại t = 1,5 gia tốc bằng 0 nên vật đứng yên.
d)Trong khoảng (1; 2) vật luôn chuyển động nhanh dần.
- 2Vận dụng
Cho hàm số f(x) = x⁴ − 2x³ + 3x.
a)f″(x) = 12x² − 12x.
b)f″(1) = 12.
c)f⁽⁴⁾(x) = 24x.
d)Phương trình f″(x) = 0 có đúng hai nghiệm x = 0 và x = 1.
Phần III · Trả lời ngắn
- 1Thông hiểu Vật có s(t) = t⁴ − 4t³ + 2t (mét, giây). Tính gia tốc (m/s²) tại t = 3. Đáp số:
- 2Vận dụng Vật có s(t) = t³ − 6t² + 9t (mét, giây). Tính tổng quãng đường vật đi được trong 4 giây đầu (mét). Đáp số:
- 3Vận dụng Vật có s(t) = t³ + mt² + t (m là hằng số). Biết gia tốc tại t = 1 là 12 m/s². Tìm m. Đáp số: m =
🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?
- •Bài kiểm tra trên lớp thường hỏi tính f″ của đa thức, phân thức, hàm lượng giác, rồi thay giá trị (f″(x₀)), và bài chuyển động s → v → a.
- •Ở lớp 12, bài toán vận tốc – gia tốc xuất hiện lại khi học nguyên hàm, tích phân (từ a tìm ngược v rồi s), nên cần nắm chắc s → v → a ở đây.
- •Câu thực tế hay có dạng: tìm thời điểm đổi chiều, vị trí lúc đổi chiều, khoảng nhanh dần / chậm dần. Nhớ tách v = 0 (đổi chiều) khỏi a = 0.