Chủ đề 8 · Học kỳ 1

Tổng và hiệu của hai vectơ

Cộng hai vectơ bằng quy tắc ba điểm và quy tắc hình bình hành, trừ hai vectơ, tính độ dài của tổng và hiệu, dùng hệ thức trung điểm, trọng tâm và bài toán hợp lực.

Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 8

⚡ Nhớ nhanh

1Quy tắc ba điểm (nối đuôi): $A B + B C = A C$ . Điểm cuối của vectơ trước phải trùng điểm đầu của vectơ sau.
2Quy tắc hình bình hành (chung gốc): ABCD là hình bình hành thì $A B + A D = A C$ . Tổng là đường chéo xuất phát từ gốc chung.
3Quy tắc trừ (chung gốc): $A B - A C = C B$ . Vectơ đối của $A B$ là $B A$ .
4Độ dài của tổng không phải tổng độ dài: $∣ a + b ∣ \leq ∣ a ∣ + ∣ b ∣$ , dấu bằng chỉ khi hai vectơ cùng hướng.
5Trung điểm I của AB: $I A + I B = 0$ . Trọng tâm G của tam giác ABC: $G A + GB + GC = 0$ .
6Thói quen chống sai: nhìn hình dạng đề trước. Hai vectơ nối đuôi thì gộp, chung gốc thì dựng hình bình hành hoặc trừ.

👀 Nhìn là hiểu

Kéo A, B, C rồi chọn quy tắc ba điểm, hình bình hành hoặc hiệu, hình vẽ vectơ tổng và so độ dài với tổng hai độ dài. Mẫu tam giác đều cạnh 2 chỉ là điểm bắt đầu: thử kéo cho hai vectơ cùng hướng, ngược hướng rồi mới đọc lý thuyết.

Kéo các điểm · ━▶ ━▶ hai vectơ · ━▶ kết quả

$A B + A C = A D$

$∣ A B ∣$	2
$∣ A C ∣$	2
Cộng hai độ dài	4
$∣ A D ∣$	3,46

Độ dài tổng < tổng hai độ dài: không cộng độ dài được.

Tam giác đều, AB + AC

Hai vectơ chung gốc A ⇒ quy tắc hình bình hành: $A B + A C = A D$ với ABDC là hình bình hành. AD = 2AM (M trung điểm BC), AM = 2√32 = √3 ⇒ $∣ A B + A C ∣$ = 2√3 ≈ 3,46. Bẫy: cộng độ dài 2 + 2 = 4 là sai.

1 ➕ Cộng hai vectơ

Cần nhớ

✦Quy tắc ba điểm: $A B + B C = A C$ . Chữ ở giữa (B) trùng nhau thì triệt tiêu. Ví dụ: $M N + N P = M P$ .
✦Quy tắc hình bình hành: nếu ABCD là hình bình hành thì $A B + A D = A C$ . Ví dụ: hai cạnh kề chung gốc A, tổng là đường chéo AC.
✦Tính chất: giao hoán $a + b = b + a$ , kết hợp, $a + 0 = a$ , $a + (- a) = 0$ . Ví dụ: $A B + B A = AA = 0$ .
✦Chuỗi khép kín về điểm xuất phát luôn bằng $0$ . Ví dụ: $A B + B C + C D + D A = 0$ .

Dạng bài

Rút gọn tổng nhiều vectơ

1 Nhờ giao hoán, sắp lại các vectơ sao cho điểm cuối của vectơ này là điểm đầu của vectơ kế tiếp.
2 Gộp từng cặp bằng quy tắc ba điểm (chữ giữa trùng thì bỏ).
3 Còn lại một vectơ từ chữ đầu đến chữ cuối. Chữ đầu trùng chữ cuối thì tổng bằng vectơ-không.
4 Thử lại: điểm bị bỏ đi phải xuất hiện đúng hai lần (một lần ở cuối, một lần ở đầu).

⚠️ Bẫy hay gặp: Viết $A B + C D = A D$ (bỏ B và C) là sai vì B khác C, hai vectơ không nối đuôi. Nếu ABCD là hình bình hành thì $C D = B A$ nên $A B + C D = A B + B A = 0$ , không phải $A D$ .

➕

Làm mẫu

Rút gọn $S = A B + D A + C D + B C$ .

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Dạng bài

Cộng hai vectơ chung gốc

1 Kiểm hai vectơ có chung điểm đầu không.
2 Dựng hình bình hành nhận hai vectơ làm hai cạnh kề.
3 Tổng là đường chéo xuất phát từ gốc chung.
4 Thử lại: dời một vectơ cho nối đuôi vectơ kia rồi dùng quy tắc ba điểm.

⚠️ Bẫy hay gặp: Gộp hai vectơ chung gốc như nối đuôi: $A B + A C = B C$ là sai. $B C = A C - A B$ mới đúng; còn tổng là đường chéo $A D$ .

📐

Làm mẫu

Tam giác ABC đều cạnh 2. Dựng điểm D sao cho ABDC là hình bình hành. Viết $A B + A C$ qua một vectơ.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

2 ➖ Hiệu của hai vectơ

Cần nhớ

✦Vectơ đối của $A B$ là $B A$ , viết $- A B = B A$ . Ví dụ: vectơ đối của $M N$ là $N M$ .
✦Định nghĩa hiệu: $a - b = a + (- b)$ . Trừ một vectơ là cộng vectơ đối của nó.
✦Quy tắc trừ (chung gốc): $A B - A C = C B$ . Kết quả đi từ ngọn của vectơ trừ đến ngọn của vectơ bị trừ.
✦Chèn gốc O bất kì: $A B = O B - O A$ . Ví dụ: $O B - O A = A B$ .

Dạng bài

Rút gọn hiệu hai vectơ

1 Chung điểm đầu: dùng quy tắc trừ, chữ đầu trùng thì bỏ, còn lại viết "ngọn của số trừ → ngọn của số bị trừ".
2 Không chung gốc: đổi vectơ bị trừ thành vectơ đối (đảo hai chữ) rồi cộng nối đuôi.
3 Gộp bằng quy tắc ba điểm.
4 Thử lại: cộng kết quả với vectơ bị trừ phải ra vectơ đầu.

⚠️ Bẫy hay gặp: Viết $A B - A C = B C$ là sai, đúng là $C B$ . Thử: $A C + C B = A B$ ✓ nhưng $A C + B C$ không ra $A B$ .

➖

Làm mẫu

Rút gọn $A B - C B$ .

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Nhìn chữ là biết kết quả

Thấy	Làm	Kết quả
$X Y + Y Z$	Chữ giữa trùng thì gộp	$X Z$
$X Y - X Z$	Chữ đầu trùng thì bỏ, đảo hai chữ còn lại	$Z Y$
$X Y + Y X$	Hai vectơ đối nhau	$0$

3 📏 Độ dài của tổng và hiệu

Cần nhớ

✦Cộng vectơ là cộng theo hình, không phải cộng số: $∣ a + b ∣ \leq ∣ a ∣ + ∣ b ∣$ . Ví dụ: tam giác đều cạnh 2 có $∣ A B + A C ∣ = 23 \approx 3, 46$ , không phải 4.
✦Hiệu chung gốc: $∣ A B - A C ∣ = ∣ C B ∣ = C B$ . Ví dụ: tam giác đều cạnh 2 có $∣ A B - A C ∣ = B C = 2$ .
✦Cùng hướng: độ dài tổng bằng tổng hai độ dài. Ngược hướng: bằng hiệu hai độ dài (lớn trừ nhỏ). Ví dụ: 3 và 4.
✦Hai vectơ vuông góc: dùng Pi-ta-go, $∣ a + b ∣ = ∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2}$ . Ví dụ: 3 và 4 cho 5.

Độ dài của tổng theo hướng (ví dụ |a| = 3, |b| = 4)

Vị trí hai vectơ	Độ dài tổng	Ví dụ
Cùng hướng	$∣ a ∣ + ∣ b ∣$	3 + 4 = 7
Vuông góc	$∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2}$	√(9 + 16) = 5
Ngược hướng	$∣∣ a ∣ - ∣ b ∣∣$	4 − 3 = 1

Dạng bài

Tính độ dài |AB + AC|

1 Hai vectơ chung gốc A: dựng hình bình hành ABDC, đưa tổng về $A D$ .
2 Tính độ dài đường chéo AD (đường cao, Pi-ta-go hoặc định lí côsin).
3 Kết luận $∣ A B + A C ∣ = A D$ .
4 Thử lại bằng một cách tính khác và so với tổng hai độ dài (phải không lớn hơn).

⚠️ Bẫy hay gặp: Viết $∣ A B + A C ∣ = ∣ A B ∣ + ∣ A C ∣ = 2 + 2 = 4$ là sai. Hai vectơ tạo góc 60°, không cùng hướng. Đáp số đúng 2√3 ≈ 3,46.

📏

Làm mẫu

Tam giác ABC đều cạnh 2. Tính $∣ A B + A C ∣$ .

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

4 🎯 Trung điểm và trọng tâm

Cần nhớ

✦I là trung điểm AB ⇔ $I A + I B = 0$ . Hai vectơ cùng độ dài, ngược hướng. Ví dụ: AB = 6 thì IA = IB = 3.
✦G là trọng tâm tam giác ABC ⇔ $G A + GB + GC = 0$ . Ví dụ: G nằm trong tam giác, ba vectơ "kéo" triệt tiêu nhau.
✦Hệ quả: $GB + GC = - G A = A G$ . Ví dụ: trọng tâm cho phép đổi hai vectơ thành một.
✦Nhận ra hình bình hành: ABCD là hình bình hành ⇔ $A B = D C$ ⇔ $A B + A D = A C$ .

Dạng bài

Biến đổi bằng hệ thức trọng tâm

1 Viết hệ thức gốc: $G A + GB + GC = 0$ .
2 Chuyển vế để tách vectơ cần tìm.
3 Đổi dấu bằng cách đảo hai chữ: $- G A = A G$ .
4 Thử lại: cộng kết quả với vế còn lại phải ra $0$ .

⚠️ Bẫy hay gặp: Cho rằng $M A + M B + M C = 0$ với M bất kì là sai. Lấy M trùng A: $AA + A B + A C = A B + A C = A D \neq = 0$ . Chỉ khi M là trọng tâm mới bằng 0.

🎯

Làm mẫu

G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh $GB + GC = A G$ .

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

5 🚤 Hợp lực và vận tốc

Cần nhớ

✦Hợp lực của hai lực cùng điểm đặt là tổng vectơ của chúng, vẽ bằng quy tắc hình bình hành. Ví dụ: hai lực 30 N và 40 N.
✦Hai lực vuông góc: độ lớn hợp lực = √(F₁² + F₂²). Ví dụ: 30 N và 40 N cho 50 N, không phải 70 N.
✦Hai lực cùng hướng thì cộng độ lớn, ngược hướng thì trừ. Ví dụ: 30 N và 40 N ngược hướng cho 10 N.
✦Vận tốc so với bờ = vận tốc riêng + vận tốc dòng nước (cộng vectơ). Ví dụ: ca nô 12 km/h hướng ngang dòng, nước chảy 5 km/h.

Dạng bài

Tìm độ lớn hợp lực

1 Vẽ hai vectơ lực chung gốc (cùng điểm đặt).
2 Dựng hình bình hành, hợp lực là đường chéo.
3 Tính độ dài đường chéo (Pi-ta-go nếu vuông góc, định lí côsin nếu góc khác).
4 Thử lại: kết quả phải nằm giữa |F₁ − F₂| và F₁ + F₂.

⚠️ Bẫy hay gặp: Cộng thẳng 30 + 40 = 70 N chỉ đúng khi hai lực cùng hướng. Hai lực vuông góc thì hợp lực chỉ 50 N, nhỏ hơn 70 N.

🚤

Làm mẫu

Hai lực 30 N và 40 N cùng tác dụng lên một vật tại cùng điểm, hợp với nhau góc 90°. Tính độ lớn hợp lực.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

6 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai

⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm

✦Nhìn chữ giữa: $X Y + Y Z$ gộp thành $X Z$ . Nhìn chữ đầu trùng: $X Y - X Z = Z Y$ . Chuỗi khép kín bằng $0$ .
✦Độ dài tổng: cùng hướng cộng, ngược hướng trừ, vuông góc Pi-ta-go. Ví dụ: 3 và 4 cho 7, 1, 5.
✦Tổng hai vectơ chung gốc là đường chéo: nhớ |AB − AC| = BC, đường chéo kia của hình bình hành.
✦Đề cho hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi: đổi $A B = D C$ ngay để nối đuôi được.

⚠️ Lỗi hay sai nhất

✦Viết $∣ a + b ∣ = ∣ a ∣ + ∣ b ∣$ . Phản ví dụ: tam giác đều cạnh 2 có $∣ A B + A C ∣ = 23 \approx 3, 46$ , không phải 4.
✦Dùng quy tắc ba điểm khi hai vectơ không nối đuôi. Phản ví dụ: $A B + A C$ không bằng $B C$ (chung gốc A, phải dựng hình bình hành).
✦Viết $A B - A C = B C$ (ngược). Đúng là $C B$ : $A B - A C = A B + C A = C B$ .
✦Cho rằng $M A + M B + M C = 0$ với mọi điểm M. Phản ví dụ: M trùng A cho $A B + A C \neq = 0$ . Chỉ đúng với trọng tâm.
✦Nhầm $A B = C D$ trong hình bình hành ABCD. Hai vectơ này ngược hướng; $A B = D C$ mới đúng.

🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)

✦Bấm kết quả ở dạng thập phân để so với tổng độ dài, ví dụ 2√3 ≈ 3,46 so với 2 + 2 = 4, tổng phải nhỏ hơn hoặc bằng.
✦Dùng chế độ căn bậc hai để thử Pi-ta-go: √(30² + 40²) có ra 50 không.
✦Nếu máy có chế độ Vector, nhập toạ độ để cộng, trừ và tính độ dài sau khi học vectơ trong mặt phẳng toạ độ (bài 10).

✏️ Luyện tập

Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.

➕

Cộng hai vectơ

1
Nhận biết
$A B + B C$ bằng
2
Nhận biết
ABCD là hình bình hành. Khi đó $A B + A D$ bằng
3
Thông hiểu
$M N + P M + N P$ bằng
4
Thông hiểu
$A B + B C + C D$ bằng
5
Thông hiểu Hình chữ nhật ABCD có AB = 3, AD = 4. Khi đó $∣ A B + A D ∣$ = .
6
Vận dụng
Với năm điểm A, B, C, D, E bất kì, $A B + C D + B C + D E$ bằng

➖

Hiệu hai vectơ

1
Nhận biết
$M N - M P$ bằng
2
Thông hiểu
Với O bất kì, $O B - O A$ bằng
3
Nhận biết
Vectơ đối của $A B$ là
4
Thông hiểu
ABCD là hình bình hành. Khi đó $A B - A D$ bằng
5
Thông hiểu Hình chữ nhật ABCD có AB = 6, AD = 8. Khi đó $∣ A B - A D ∣$ = .

📏

Độ dài của tổng và hiệu

1
Thông hiểu
Tam giác ABC đều cạnh 2. Khi đó $∣ A B + A C ∣$ bằng
2
Thông hiểu
Hai vectơ khác $0$ thỏa $∣ a + b ∣ = ∣ a ∣ + ∣ b ∣$ . Khi đó $a$ và $b$
3
Vận dụng
Hai vectơ ngược hướng có $∣ a ∣ = 5$ , $∣ b ∣ = 3$ . Khi đó $∣ a + b ∣$ bằng
4
Vận dụng Hình thoi ABCD cạnh 4, góc BAD = 120°. Khi đó $∣ A B + A D ∣$ = .

🎯

Trung điểm và trọng tâm

1
Thông hiểu
I là trung điểm của AB. Đẳng thức nào đúng?
2
Thông hiểu
G là trọng tâm tam giác ABC. Đẳng thức nào đúng?
3
Thông hiểu
G là trọng tâm tam giác ABC. Khi đó $GB + GC$ bằng
4
Vận dụng Tam giác ABC vuông tại A, AB = 9, AC = 12, G là trọng tâm. Khi đó $∣ GB + GC ∣$ = .

🚤

Hợp lực và vận tốc

1
Thông hiểu
Hai lực cùng điểm đặt, độ lớn 30 N và 40 N, hợp với nhau góc 90°. Độ lớn hợp lực là
2
Vận dụng Ca nô có vận tốc riêng 12 km/h chạy vuông góc với dòng nước, nước chảy 5 km/h. Vận tốc so với bờ là km/h.
3
Vận dụng Hai lực cùng độ lớn 10 N hợp nhau góc 120°. Độ lớn hợp lực là N.

🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp

Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.

🅰️

Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn

1
Thông hiểu
ABCD là hình bình hành tâm O. Khẳng định nào sau đây đúng?
2
Vận dụng
Tam giác ABC đều cạnh a. Khi đó $∣ A B - A C ∣$ bằng
3
Vận dụng
Hình vuông ABCD cạnh a. Khi đó $∣ A B + A C + A D ∣$ bằng

✅

Phần II · Đúng / sai

1
Thông hiểu
Cho hình bình hành ABCD tâm O.

a) $A B + A D = A C$ .

b) $A B - A D = B D$ .

c) $O A + O B + O C + O D = 0$ .

d) $∣ A B + A D ∣ = A B + A D$ .
2
Vận dụng
Cho tam giác ABC đều cạnh 2, M là trung điểm BC và D là điểm sao cho ABDC là hình bình hành.

a) $A B + A C = A D$ .

b) $∣ A B + A C ∣ = 4$ .

c)M là trung điểm của AD.

d) $∣ A B - A C ∣ = 23$ .

🔢

Phần III · Trả lời ngắn

1
Vận dụng Hình thoi ABCD cạnh 6, góc BAD = 60°. Tính $∣ A B - A D ∣$ . Đáp số:
2
Vận dụng Tam giác ABC vuông tại A, AB = 10, AC = 24. Tính $∣ A B + A C ∣$ . Đáp số:
3
Vận dụng Tam giác ABC đều cạnh 6. Tính $∣ A B + A C ∣$ , làm tròn đến hàng phần mười. Đáp số:

🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?

•Là nền cho vectơ trong mặt phẳng toạ độ (bài 10), nơi cộng, trừ vectơ thành cộng, trừ toạ độ, và cho tích vô hướng (bài 11). Lên lớp 12 là nền cho vectơ trong không gian Oxyz với quy tắc hình hộp.
•Trong bài kiểm tra trên lớp thường có câu rút gọn tổng, hiệu bằng quy tắc ba điểm, câu nhận ra hình bình hành, và câu tính độ dài |a + b|, |a − b|.
•Hay có câu chứng minh đẳng thức vectơ với trung điểm, trọng tâm; bước dễ mất điểm là nhầm chiều của hiệu (CB hay BC) và cộng thẳng độ dài.

Làm đề thi thử trọn bộ

Chủ đề tiếp theo
Tích của một vectơ với một số