Chủ đề 9 · Học kỳ 1

Tích của một vectơ với một số

Xác định hướng và độ dài của vectơ k·a, dùng điều kiện cùng phương để chứng minh ba điểm thẳng hàng, dùng hệ thức trung điểm, trọng tâm và phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương.

Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 9

⚡ Nhớ nhanh

1Tích k $a$ (k là số thực, $a \neq = 0$ ) là một vectơ: cùng hướng $a$ nếu k > 0, ngược hướng nếu k < 0, độ dài $∣ k a ∣ = ∣ k ∣ \cdot ∣ a ∣$ .
2Dùng |k| chứ không phải k, vì độ dài không âm. Chỉ cần k = 0 hoặc $a = 0$ thì k $a = 0$ .
3Cùng phương: $b$ cùng phương $a$ ( $a \neq = 0$ ) ⇔ có số k để $b = k a$ . Từ đây có: A, B, C thẳng hàng ⇔ $A B = k A C$ .
4Trung điểm I của AB: $M A + M B = 2 M I$ với mọi điểm M. Trọng tâm G của tam giác ABC: $M A + M B + M C = 3 M G$ , đặc biệt $G A + GB + GC = 0$ .
5Phân tích: cho $a$ , $b$ không cùng phương thì mọi vectơ $x$ viết được duy nhất dạng $x = m a + n b$ .
6Thói quen chống sai: trước khi kết luận thẳng hàng, kiểm hai vectơ có chung một điểm đầu không; trước khi phân tích, kiểm hai vectơ cơ sở không cùng phương.

👀 Nhìn là hiểu

Kéo thanh k từ −3 đến 3 và nhìn k·a co giãn: k < 0 thì mũi tên đảo hướng, k = 0 thì còn vectơ-không. Bật chế độ tam giác để thấy trung điểm M, trọng tâm G và các hệ số của AM, AG. Bấm nút mẫu k = −2 (ngược hướng, dài gấp đôi) và AB = 3AC; nhớ thử cả k = −1 và k = 0 vì đó là chỗ hay sai.

Kéo các điểm có vòng tròn mờ

$A M = \frac{1}{2} A B + \frac{1}{2} A C$

Nửa vectơ AB (xanh) + nửa vectơ AC (hồng) = AM (lục).

M trung điểm BC

M là trung điểm BC ⇒ $A B + A C = 2 A M$ (quy tắc hình bình hành, AM là nửa đường chéo) ⇒ $A M = \frac{1}{2} A B + \frac{1}{2} A C$ . Kéo A, B, C: đẳng thức luôn đúng.

1 ↔️ Tích của vectơ với một số

Cần nhớ

✦Hướng: k > 0 cùng hướng $a$ , k < 0 ngược hướng $a$ . Ví dụ: $2 a$ cùng hướng, $- 3 a$ ngược hướng.
✦Độ dài: $∣ k a ∣ = ∣ k ∣ \cdot ∣ a ∣$ . Ví dụ: $∣ - 3 a ∣ = 3∣ a ∣$ .
✦Vectơ-không: 0· $a = 0$ và k· $0 = 0$ . Ví dụ: k = 0 thì mũi tên co lại thành một điểm.
✦Tính chất (như đại số thông thường): $k (a + b) = k a + k b$ , $(k + l) a = k a + l a$ , $k (l a) = (k l) a$ , $1 \cdot a = a$ , $(- 1) a = - a$ .

k·a trông thế nào

k	Hướng so với a	Độ dài
2	Cùng hướng	Gấp 2
12	Cùng hướng	Bằng nửa
−1	Ngược hướng	Bằng nhau
−3	Ngược hướng	Gấp 3
0	Không có (vectơ-không)	Bằng 0

Dạng bài

Xác định hướng, độ dài của k·a và rút gọn biểu thức

1 Nhìn dấu của k: dương thì cùng hướng, âm thì ngược hướng.
2 Độ dài lấy |k| nhân với độ dài $a$ .
3 Rút gọn biểu thức: nhân vào ngoặc (nhớ đổi dấu khi có dấu trừ trước ngoặc) rồi gộp hệ số của $a$ và của $b$ .
4 Thử lại: thay $a$ , $b$ bằng số cụ thể (vd 1 và 1) rồi so hai vế.

⚠️ Bẫy hay gặp: Viết $∣ - 2 a ∣ = - 2∣ a ∣ = - 6$ là sai: độ dài không bao giờ âm. Phải lấy |k| = 2 ⇒ 6.

↔️

Làm mẫu

Cho | $a$ | = 3. Vectơ $- 2 a$ có hướng và độ dài thế nào? Rút gọn $3 (a - 2 b) + 2 (2 a + b)$ .

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

2 📏 Cùng phương và ba điểm thẳng hàng

Cần nhớ

✦Điều kiện cùng phương: $b$ cùng phương $a$ ( $a \neq = 0$ ) ⇔ $b = k a$ . Ví dụ: $b = - 2 a$ thì cùng phương, ngược hướng.
✦Ba điểm thẳng hàng: A, B, C thẳng hàng ⇔ $A B = k A C$ (hai vectơ chung điểm đầu A). Ví dụ: $A B = 3 A C$ ⇒ thẳng hàng.
✦Dấu của k cho biết vị trí: k > 0 thì B, C cùng phía A; k < 0 thì A nằm giữa B và C. Độ dài: AB = |k|·AC.
✦Song song: $A B = k C D$ chỉ cho AB // CD (hoặc trùng nhau); muốn kết luận hai đường thẳng song song còn phải có A không thuộc CD.

Dạng bài

Chứng minh ba điểm thẳng hàng

1 Chọn một điểm làm gốc chung (thường là điểm ở giữa hoặc điểm cho sẵn nhiều nhất).
2 Biểu diễn hai vectơ từ điểm đó theo hai vectơ cơ sở, hoặc dùng hệ thức đề cho.
3 Tìm số k để $A B = k A C$ .
4 Thử lại: kiểm k đúng ở cả hai thành phần ( $a$ và $b$ ) rồi mới kết luận.

⚠️ Bẫy hay gặp: Từ $A B = k C D$ không kết luận được A, B, C thẳng hàng: hai vectơ không chung điểm, chỉ cho AB // CD. Với k = −2 thì A nằm giữa B và C, đừng vội cho rằng B, C cùng phía.

📏

Làm mẫu

Cho $A B = 3 A C$ . Chứng minh A, B, C thẳng hàng. B, C nằm thế nào so với A, và AB gấp mấy lần AC?

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Dạng bài

Tìm tham số m để ba điểm thẳng hàng

1 Viết $A C = k A B$ (hai vectơ chung điểm đầu).
2 Hai vectơ cơ sở không cùng phương nên so sánh hệ số của $a$ với $a$ , của $b$ với $b$ .
3 Giải k từ phương trình không chứa m, rồi suy ra m.
4 Thử lại: thay m vào, kiểm $A C$ đúng bằng k lần $A B$ .

⚠️ Bẫy hay gặp: Chỉ so hệ số của $b$ (m = 2) mà bỏ qua $a$ là sai: ra $A C = 3 a + 2 b$ , không là bội của $A B$ . Phải khớp cả hai hệ số cùng một k.

🧩

Làm mẫu

Cho $a$ , $b$ không cùng phương, $A B = a + 2 b$ , $A C = 3 a + m b$ . Tìm m để A, B, C thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

3 ⚖️ Trung điểm và trọng tâm

Cần nhớ

✦Trung điểm I của AB: $M A + M B = 2 M I$ với mọi M. Cho M ≡ I được $I A + I B = 0$ .
✦Trung tuyến: M là trung điểm BC thì $A M = \frac{1}{2} A B + \frac{1}{2} A C$ . Ví dụ: $A B + A C = 2 A M$ .
✦Trọng tâm G của tam giác ABC: $G A + GB + GC = 0$ ; với mọi M thì $M A + M B + M C = 3 M G$ .
✦G nằm trên trung tuyến AM: $A G = \frac{2}{3} A M$ , tức AG = 2GM, và $A G = \frac{1}{3} (A B + A C)$ . Ví dụ: AM = 9 ⇒ AG = 6, GM = 3.

Dạng bài

Phân tích trung tuyến, trọng tâm theo hai cạnh

1 Xác định điểm gốc chung (điểm A) và hai vectơ cơ sở $A B$ , $A C$ .
2 Với trung điểm M của BC: $A B + A C = 2 A M$ , rồi chia 2.
3 Với trọng tâm G: nhân thêm $\frac{2}{3}$ vì $A G = \frac{2}{3} A M$ .
4 Thử lại: tổng hệ số của $A M$ là $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ (M nằm trên BC), của $A G$ là $\frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ ✓.

⚠️ Bẫy hay gặp: Viết $M A + M B = M I$ (thiếu số 2) là sai nửa mọi kết quả sau đó. Kiểm bằng M ≡ A: $A B$ = $A I$ ? Thực ra $A B = 2 A I$ , nên phải có số 2.

⚖️

Làm mẫu

Tam giác ABC, M trung điểm BC, G trọng tâm. Phân tích $A M$ và $A G$ theo $A B$ , $A C$ .

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Dạng bài

Chứng minh hệ thức trọng tâm

1 Gọi M là trung điểm BC, dùng $GB + GC = 2 GM$ .
2 Dùng G nằm trên AM với AG = 2GM: $G A = - 2 GM$ (ngược hướng).
3 Cộng lại: $G A + GB + GC$ .
4 Thử lại: độ dài |GA| = 2|GM| khớp với AG = ⅔AM ✓.

⚠️ Bẫy hay gặp: Viết $G A = 2 GM$ là sai dấu: G ở giữa A và M nên $G A$ và $GM$ ngược hướng, $G A = - 2 GM$ (còn $A G = 2 GM$ mới đúng).

🎯

Làm mẫu

Chứng minh nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì $G A + GB + GC = 0$ .

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

4 🧱 Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương

Cần nhớ

✦ $a$ , $b$ không cùng phương thì mỗi vectơ $x$ viết được duy nhất $x = m a + n b$ .
✦Hệ quả: $m a + n b = m^{'} a + n^{'} b$ ⇒ m = m′ và n = n′. Ví dụ: $(m - 1) a + 3 b = 2 a + 5 b$ ⇒ m = 3.
✦Hai vectơ cơ sở mà cùng phương thì chỉ phủ được một đường thẳng, không phân tích được mọi vectơ.
✦Cách làm quen thuộc: đi từ gốc theo các cạnh (quy tắc ba điểm), chỗ nào gặp điểm chia hoặc trung điểm thì đổi sang bội của vectơ cạnh.

Dạng bài

Phân tích $\vec{AD}$ khi D chia đoạn BC theo tỉ lệ

1 Viết $A D = A B + B D$ (đi từ A qua B).
2 Đổi $B D$ thành bội của $B C$ rồi $B C = A C - A B$ .
3 Gộp hệ số của $A B$ và của $A C$ .
4 Thử lại: tổng hai hệ số bằng 1 (D nằm trên đường thẳng BC).

⚠️ Bẫy hay gặp: Viết $A D = \frac{1}{3} A B + \frac{2}{3} A C$ (đảo hệ số) là lỗi hay gặp. Kiểm bằng vị trí: D gần B (BD = ⅓BC) nên $A D$ phải nghiêng về $A B$ , hệ số $A B$ = ⅔.

🧱

Làm mẫu

Tam giác ABC, D thuộc đoạn BC sao cho $B D = \frac{1}{3} B C$ . Phân tích $A D$ theo $A B$ , $A C$ .

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Dạng bài

Dùng tính duy nhất để tìm tham số

1 Đưa hai vế về dạng $x a + y b$ .
2 Khớp hệ số $a$ với hệ số $a$ , $b$ với $b$ .
3 Giải từng phương trình một ẩn.
4 Thử lại: thay tham số vào hai vế.

⚠️ Bẫy hay gặp: Khớp chéo (hệ số $a$ vế này với hệ số $b$ vế kia) là sai. Chỉ được khớp khi hai vectơ cơ sở không cùng phương; nếu chúng cùng phương thì không có tính duy nhất.

🔧

Làm mẫu

$a$ , $b$ không cùng phương và $(m - 1) a + 3 b = 2 a + (n + 1) b$ . Tìm m, n.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

5 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai

⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm

✦Gặp trung điểm: đổi ngay $M A + M B = 2 M I$ . Gặp trọng tâm: $M A + M B + M C = 3 M G$ . Đây là hai hệ thức dùng nhiều nhất.
✦Phân tích theo $A B$ , $A C$ rồi cộng hệ số: điểm nằm trên đường thẳng BC thì tổng hệ số bằng 1. Ví dụ: ½ + ½ = 1, ⅔ + ⅓ = 1; trọng tâm G không nằm trên BC nên ⅓ + ⅓ = ⅔ ≠ 1.
✦Chứng minh thẳng hàng: tìm đúng một số k cho $A B = k A C$ ; đáp án trắc nghiệm thường hỏi k hoặc dấu của k.
✦Điểm M cho bởi $M A + n M B = 0$ : đưa về $A M = \frac{n}{n + 1} A B$ (với n = 2 thì AM = ⅔AB).

⚠️ Lỗi hay sai nhất

✦Viết $∣ k a ∣ = k ∣ a ∣$ . Phản ví dụ: k = −2 cho $- 2∣ a ∣ < 0$ ; đúng là $∣ - 2 a ∣ = 2∣ a ∣$ .
✦Kết luận A, B, C thẳng hàng từ $A B = k C D$ . Phản ví dụ: hai cạnh đối của hình bình hành $A B = D C$ nhưng A, B, C không thẳng hàng.
✦Viết $M A + M B = M I$ (thiếu số 2) với I là trung điểm AB. Phản ví dụ: M ≡ A cho $A B = A I$ , trong khi $A B = 2 A I$ .
✦Phân tích theo hai vectơ cùng phương. Phản ví dụ: $A B$ và $- 2 A B$ chỉ phủ được đường thẳng AB, không biểu diễn được $A C$ .
✦Đảo hệ số khi phân tích $A D$ với BD = ⅓BC: viết ⅓AB + ⅔AC. Đúng là ⅔AB + ⅓AC (D gần B).
✦Viết $G A = 2 GM$ . Đúng là $G A = - 2 GM$ (ngược hướng).

🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)

✦Bài này chưa có toạ độ nên máy ít giúp trực tiếp. Gán $a$ = 1, $b$ = 1 (hoặc hai số bất kì) để thử lại biểu thức như 3(a − 2b) + 2(2a + b) = 7a − 4b.
✦Khi đã học toạ độ (bài 10), chế độ Vector (VCT) kiểm được k· $a$ , tổng và độ dài; bài này dùng để quay lại thử đáp số.
✦Kiểm tỉ lệ ⅔, ⅓ bằng cách đổi sang số thập phân (0,67; 0,33) và xem tổng hệ số có bằng 1 không.

✏️ Luyện tập

Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.

↔️

Tích với một số

1
Nhận biết
Độ dài của vectơ $- 3 a$ bằng
2
Nhận biết
So với $a$ , vectơ $- 2 a$
3
Thông hiểu Cho | $a$ | = 4. Khi đó $∣ - 1, 5 a ∣$ = .
4
Thông hiểu
Vectơ $b$ ngược hướng với $a$ và | $b$ | = 10, | $a$ | = 5. Khi đó
5
Thông hiểu
Rút gọn $2 (a + b) - 3 (a - b)$ được

📏

Cùng phương, thẳng hàng

1
Nhận biết
Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi
2
Thông hiểu
Cho $A B = - 2 A C$ . Khẳng định đúng là
3
Thông hiểu Cho $A B = 3 A C$ và AC = 6. Khi đó AB = .
4
Vận dụng
Cho $A B = a + 2 b$ và $A C = - 2 a - 4 b$ . Khi đó $A C = k A B$ với k bằng
5
Vận dụng Cho $a$ , $b$ không cùng phương, $A B = 2 a - 3 b$ , $A C = m a + 6 b$ . Để A, B, C thẳng hàng thì m = .

⚖️

Trung điểm, trọng tâm

1
Nhận biết
I là trung điểm AB, M là điểm bất kì. Khi đó $M A + M B$ bằng
2
Thông hiểu
G là trọng tâm tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây đúng?
3
Thông hiểu Tam giác ABC có trung tuyến AM = 9 và G là trọng tâm. Khi đó AG = .
4
Thông hiểu
M là trung điểm BC của tam giác ABC. Khi đó $A M$ bằng
5
Vận dụng
G là trọng tâm tam giác ABC. Khi đó $A G$ bằng
6
Thông hiểu ABCD là hình bình hành tâm O. Khi đó $A B + A D = k A O$ với k = .
7
Thông hiểu G là trọng tâm tam giác ABC, M là trung điểm BC. Khi đó $G A = k GM$ với k = .

🧱

Phân tích vectơ

1
Thông hiểu
Tam giác ABC, D thuộc BC sao cho $B D = \frac{1}{3} B C$ . Khi đó $A D$ bằng
2
Vận dụng
G là trọng tâm tam giác ABC. Khi đó $B G$ bằng
3
Vận dụng Cho $a$ , $b$ không cùng phương và $(m - 1) a + 3 b = 2 a + (n + 1) b$ . Khi đó m + n = .

🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp

Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.

🅰️

Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn

1
Thông hiểu
Tam giác đều ABC cạnh 2. Độ dài $∣ A B + A C ∣$ bằng
2
Vận dụng
Ba điểm A, B, C thỏa $A B = 3 A C$ và AC = 2. Khi đó BC bằng
3
Vận dụng
Điểm M thỏa $M A + 2 M B = 0$ thì $A M$ bằng

✅

Phần II · Đúng / sai

1
Thông hiểu
Cho tam giác ABC, M là trung điểm BC, G là trọng tâm.

a) $A M = \frac{1}{2} A B + \frac{1}{2} A C$ .

b) $A G = \frac{1}{2} A M$ .

c) $GB + GC = - G A$ .

d) $G A = 2 GM$ .
2
Vận dụng
Cho $a$ , $b$ không cùng phương và bốn điểm A, B, C, D có $A B = 2 a - b$ , $A C = 4 a - 2 b$ , $A D = a + b$ .

a)A, B, C thẳng hàng.

b)A, B, D thẳng hàng.

c)B là trung điểm của AC.

d) $C D = 3 a - 3 b$ .

🔢

Phần III · Trả lời ngắn

1
Thông hiểu Tam giác ABC có trung tuyến AM = 12, G là trọng tâm. Độ dài GM bằng bao nhiêu? Đáp số:
2
Vận dụng A, B, C phân biệt, thẳng hàng, A nằm giữa B và C, AB = 12, AC = 8. Biết $A B = k A C$ , tìm k. Đáp số:
3
Vận dụng Tam giác ABC, M là trung điểm BC, N là trung điểm AM. Biết $B N = x A B + y A C$ , tính x + y (viết số thập phân). Đáp số:

🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?

•Là nền cho vectơ trong mặt phẳng toạ độ (bài 10), nơi k $a$ = (kx; ky), và cho toạ độ Oxyz ở lớp 12: điều kiện cùng phương $b = k a$ và hệ thức trung điểm, trọng tâm dùng lại gần nguyên văn.
•Trong bài kiểm tra trên lớp thường có câu phân tích một vectơ theo $A B$ , $A C$ (trung điểm, trọng tâm, điểm chia theo tỉ lệ) và câu chứng minh ba điểm thẳng hàng.
•Dạng hay có là tìm tham số m để thẳng hàng hoặc khớp hệ số; chỗ dễ mất điểm là thiếu số 2 ở hệ thức trung điểm, đảo hệ số khi phân tích và dấu của k.

Làm đề thi thử trọn bộ

Chủ đề tiếp theo
Vectơ trong mặt phẳng toạ độ