Chủ đề 10 · Học kỳ 1

Vectơ trong mặt phẳng toạ độ

Tìm toạ độ và độ dài của vectơ, làm các phép toán vectơ theo toạ độ, xét hai vectơ cùng phương và ba điểm thẳng hàng, tính toạ độ trung điểm và trọng tâm.

Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 10

⚡ Nhớ nhanh

1Trên mặt phẳng Oxy, vectơ $a$ có toạ độ (a₁; a₂) khi $a = a_{1} i + a_{2} j$ . Toạ độ chính là "sang ngang bao nhiêu ô, lên dọc bao nhiêu ô".
2Cuối trừ đầu: $A B$ = (x_B − x_A; y_B − y_A). Làm ngược (đầu trừ cuối) ra $B A$ , vectơ đối, sai dấu cả hai thành phần.
3Phép toán theo từng thành phần: $a \pm b$ = (a₁ ± b₁; a₂ ± b₂), k $a$ = (ka₁; ka₂). Độ dài: $∣ a ∣ = a_{1}^{2} + a_{2}^{2}$ .
4Cùng phương: $a$ và $b$ cùng phương ⇔ a₁b₂ − a₂b₁ = 0 (không cần tìm k). Bằng 0 mới cùng phương; khác 0 là KHÔNG cùng phương.
5Trung điểm I của AB là trung bình cộng hai toạ độ; trọng tâm G của tam giác ABC là trung bình cộng ba toạ độ (chia 3, không chia 2).
6Thói quen chống sai: viết dòng "cuối − đầu" ra giấy, đặt dấu ngoặc khi trừ số âm (2 − (−2) = 4, không phải 0), rồi kiểm lại bằng cách đếm ô trên lưới.

👀 Nhìn là hiểu

Kéo A, B trên lưới Oxy (bắt lưới) và nhìn $\vec{AB}$ = (x_B − x_A; y_B − y_A), độ dài AB và trung điểm I cập nhật theo; hai đoạn gạch là bước ngang và bước dọc. Bấm nút "Trừ ngược" để thấy bẫy $\vec{BA}$ = (−3; −4), nút "a = (2; −3), b = (−4; 6)" để so cùng phương, nút "Trọng tâm G" để thêm C. Nút mẫu A(1; −2), B(4; 2) chỉ là điểm bắt đầu, hãy kéo thử cả vài vị trí khác.

Kéo các điểm (bắt lưới 0,5)· ┅ bước ngang, bước dọc

A(1; −2) · B(4; 2)

$A B$ = (4 − 1; 2 − (−2)) = (3; 4)

AB = 5

Trung điểm I(5/2; 0)

A(1; −2), B(4; 2)

$A B$ = (4 − 1; 2 − (−2)) = (3; 4): lấy ngọn trừ gốc. AB = √(3² + 4²) = 5. Trung điểm I = (1 + 42; −2 + 22) = (52; 0). Đếm ô trên lưới: sang phải 3, lên 4.

1 📍 Toạ độ và độ dài của vectơ

Cần nhớ

✦Toạ độ vectơ: $a = a_{1} i + a_{2} j$ ⇔ $a$ = (a₁; a₂). Ví dụ: $a = 2 i - 3 j$ có toạ độ (2; −3).
✦Cuối trừ đầu: $A B$ = (x_B − x_A; y_B − y_A). Ví dụ: A(1; −2), B(4; 2) ⇒ $A B$ = (3; 4).
✦Hai vectơ bằng nhau ⇔ hai thành phần bằng nhau từng cặp. Ví dụ: (a₁; a₂) = (3; 4) ⇔ a₁ = 3 và a₂ = 4.
✦Độ dài: $∣ a ∣ = a_{1}^{2} + a_{2}^{2}$ , và $A B = ∣ A B ∣ = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$ . Ví dụ: $∣ (3; 4) ∣$ = √(9 + 16) = 5.

Dạng bài

Tìm toạ độ và độ dài của $\vec{AB}$

1 Viết "cuối − đầu" cho từng thành phần: x_B − x_A và y_B − y_A (đặt ngoặc khi có số âm).
2 Tính hai hiệu để được toạ độ của vectơ.
3 Độ dài: bình phương hai thành phần, cộng lại, lấy căn.
4 Thử lại: đếm ô trên lưới, đi từ A sang B hết bao nhiêu ô ngang, bao nhiêu ô dọc.

⚠️ Bẫy hay gặp: Lấy (x_A − x_B; y_A − y_B) = (−3; −4) rồi gọi đó là $A B$ là sai: đó là $B A$ . Bài chỉ hỏi độ dài thì không lộ lỗi (vẫn 5), bài hỏi toạ độ thì sai cả hai dấu. Thành phần thứ hai: 2 − (−2) = 4, không phải 0.

📍

Làm mẫu

Cho A(1; −2) và B(4; 2). Tìm toạ độ $A B$ , $B A$ và độ dài AB.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Dạng bài

Tìm một điểm khi biết vectơ

1 Gọi toạ độ điểm cần tìm là (x; y).
2 Viết toạ độ vectơ theo cuối trừ đầu, đặt bằng toạ độ đề cho.
3 Giải từng phương trình để được x, y.
4 Thử lại: tính lại vectơ từ hai điểm vừa có.

⚠️ Bẫy hay gặp: Lấy B = A − $A B$ = (−7; 7) (đi ngược chiều). Từ A đi theo $A B$ thì phải cộng: B = A + $A B$ .

🎯

Làm mẫu

Cho A(−2; 3) và $A B$ = (5; −4). Tìm toạ độ B.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

2 ➕ Phép toán vectơ theo toạ độ

Cần nhớ

✦Cộng, trừ: $a \pm b$ = (a₁ ± b₁; a₂ ± b₂). Ví dụ: (3; −1) + (−2; 5) = (1; 4).
✦Nhân với số: k $a$ = (ka₁; ka₂). Ví dụ: 2·(3; −1) = (6; −2).
✦Vectơ đối: $- a$ = (−a₁; −a₂). Ví dụ: vectơ đối của (3; −1) là (−3; 1).
✦Phân tích: $c = m a + n b$ cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn m, n (một phương trình cho mỗi thành phần).

Đề cho gì thì tính gì

Hỏi	Công thức
Toạ độ $A B$	(x_B − x_A; y_B − y_A)
Độ dài AB	√((x_B − x_A)² + (y_B − y_A)²)
Tổng, hiệu hai vectơ	Cộng, trừ từng thành phần
Trung điểm	Trung bình cộng hai toạ độ
Trọng tâm	Trung bình cộng ba toạ độ
Cùng phương?	a₁b₂ − a₂b₁ có bằng 0 không

Dạng bài

Tính toạ độ và độ dài của biểu thức vectơ

1 Nhân số k vào từng thành phần của vectơ đứng sau nó (nhớ dấu trừ).
2 Cộng hoặc trừ theo từng thành phần: thành phần thứ nhất với thứ nhất, thứ hai với thứ hai.
3 Cần độ dài thì tính √(x² + y²) của kết quả cuối cùng.
4 Thử lại: tính theo thứ tự khác (hoặc đổi dấu một vế) xem có ra cùng kết quả.

⚠️ Bẫy hay gặp: Tính $∣ a ∣ + ∣ b ∣$ thay cho $∣ a + b ∣$ là sai: độ dài của tổng không bằng tổng độ dài. Ở đây |a| = √10, |b| = √29 còn |a + b| = √17. Phải cộng toạ độ trước, lấy căn sau.

➕

Làm mẫu

Cho $a$ = (3; −1) và $b$ = (−2; 5). Tính $2 a + b$ , $a - b$ và độ dài $∣2 a + b ∣$ .

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Dạng bài

Tìm đỉnh còn lại của hình bình hành

1 Hình bình hành ABCD có $A B = D C$ (hai vectơ bằng nhau).
2 Gọi D(x; y), viết toạ độ hai vế rồi cho từng thành phần bằng nhau.
3 Giải được x, y.
4 Thử lại: trung điểm của AC trùng trung điểm của BD.

⚠️ Bẫy hay gặp: Viết $A B = C D$ là sai thứ tự: A, B, C, D theo chiều đi vòng thì $A B$ bằng $D C$ . Làm sai ra D(8; 9), là đỉnh của hình bình hành ABDC.

▱

Làm mẫu

Cho A(1; −2), B(4; 2), C(5; 5). Tìm D để ABCD là hình bình hành.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

3 ↗️ Cùng phương và ba điểm thẳng hàng

Cần nhớ

✦Điều kiện cùng phương ( $a$ , $b$ khác $0$ ): a₁b₂ − a₂b₁ = 0. Ví dụ: (2; −3) và (−4; 6): 2·6 − (−3)(−4) = 12 − 12 = 0 ⇒ cùng phương.
✦Cùng phương thì có k để $b = k a$ : k > 0 cùng hướng, k < 0 ngược hướng. Ví dụ: (−4; 6) = −2·(2; −3) ⇒ ngược hướng.
✦Ba điểm thẳng hàng: A, B, C thẳng hàng ⇔ $A B$ và $A C$ cùng phương. Ví dụ: A(1; −2), B(4; 2), C(7; 6) có $A B$ = (3; 4), $A C$ = (6; 8) = 2 $A B$ .
✦Dùng định thức thay vì tỉ số a₁/b₁ = a₂/b₂, vì tỉ số hỏng khi có thành phần bằng 0. Ví dụ: (0; 2) và (0; −5) cùng phương, nhưng 00 vô nghĩa.

Dạng bài

Chứng minh ba điểm thẳng hàng hoặc tìm tham số m

1 Lập hai vectơ chung điểm đầu, ví dụ $A B$ và $A C$ (cuối trừ đầu).
2 Viết a₁b₂ − a₂b₁ và cho bằng 0 (có tham số thì giải ra m).
3 Bằng 0 ⇒ thẳng hàng; khác 0 ⇒ không thẳng hàng.
4 Thử lại: thay m vừa tìm, kiểm hai vectơ có tỉ lệ nhau không.

⚠️ Bẫy hay gặp: Kết luận "cùng phương khi định thức khác 0" là ngược. Với (2; −3) và (−4; 6) định thức bằng 0 nên cùng phương; với (2; −3) và (−4; 5) định thức 2·5 − (−3)(−4) = −2 khác 0 nên không cùng phương.

↗️

Làm mẫu

Cho A(1; −2), B(4; 2), C(7; m). Tìm m để A, B, C thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Dạng bài

Xét hai vectơ cùng hướng hay ngược hướng

1 Tính a₁b₂ − a₂b₁. Khác 0 thì dừng: không cùng phương.
2 Bằng 0 thì tìm k sao cho $b = k a$ (lấy tỉ số ở thành phần khác 0).
3 k > 0 ⇒ cùng hướng, k < 0 ⇒ ngược hướng.
4 Thử lại: nhân k vào $a$ ra đúng $b$ .

⚠️ Bẫy hay gặp: Thấy định thức bằng 0 rồi kết luận ngay "cùng hướng" là sai: cùng phương còn có thể ngược hướng. Phải xét dấu của k (ở đây k = −2).

🧭

Làm mẫu

Xét $a$ = (2; −3) và $b$ = (−4; 6).

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

4 🎯 Trung điểm và trọng tâm

Cần nhớ

✦Trung điểm I của AB: x_I = x_A + x_B2, y_I = y_A + y_B2. Ví dụ: A(1; −2), B(4; 2) ⇒ I(52; 0).
✦Trọng tâm G của tam giác ABC: x_G = x_A + x_B + x_C3, y_G = y_A + y_B + y_C3. Ví dụ: A(1; −2), B(4; 2), C(1; 3) ⇒ G(2; 1).
✦Ý nghĩa: toạ độ trung điểm là số ở giữa hai toạ độ, trọng tâm là trung bình của ba toạ độ nên chia 3.
✦Biết trung điểm hoặc trọng tâm thì tìm được điểm còn lại: x_B = 2x_I − x_A, x_C = 3x_G − x_A − x_B (y tương tự).

Dạng bài

Tìm trung điểm, trọng tâm hoặc điểm còn lại

1 Chọn công thức: hai điểm thì chia 2, ba điểm thì chia 3.
2 Cộng hoành độ với nhau rồi chia; cộng tung độ với nhau rồi chia.
3 Tìm điểm còn lại thì chuyển vế: nhân kết quả với 2 (hoặc 3) rồi trừ các điểm đã biết.
4 Thử lại: tính ngược trung điểm hoặc trọng tâm từ các điểm vừa có.

⚠️ Bẫy hay gặp: Dùng công thức trung điểm cho ba điểm (chia 2): (62; 32) = (3; 32) là sai, đúng là chia 3 ra (2; 1). Cũng đừng lấy hiệu hai toạ độ cho trung điểm.

🎯

Làm mẫu

Cho A(1; −2), B(4; 2), C(1; 3). Tìm trung điểm I của AB, trọng tâm G của tam giác ABC, và tìm C′ biết G là trọng tâm của tam giác ABC′ (G ở trên).

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

5 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai

⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm

✦Hình bình hành ABCD: đỉnh còn lại D = A + C − B (hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm). Ví dụ: A(1; −2), B(4; 2), C(5; 5) ⇒ D(2; 1).
✦Thử nhanh phương án: thay vào định thức a₁b₂ − a₂b₁ thay vì giải hệ, nhất là câu cùng phương có tham số m.
✦Biết ba trung điểm các cạnh M, N, P thì đỉnh A đối diện M có A = N + P − M (và tương tự cho B, C).
✦Gặp điểm nằm trên trục: Ox thì tung độ bằng 0, Oy thì hoành độ bằng 0, giảm một ẩn trước khi giải.

⚠️ Lỗi hay sai nhất

✦Lấy đầu trừ cuối. Phản ví dụ: A(1; −2), B(4; 2) cho $A B$ = (3; 4), không phải (−3; −4).
✦Trừ số âm quên ngoặc: 2 − (−2) = 4, không phải 0.
✦Trung điểm lấy hiệu hai toạ độ. Phản ví dụ: trung điểm A(1; −2), B(4; 2) có hoành độ 1 + 42 = 52, không phải 3.
✦Trọng tâm chia 2. Phản ví dụ: G của A(1; −2), B(4; 2), C(1; 3) là (2; 1), chia 2 sẽ ra (3; 32).
✦Kết luận cùng phương khi a₁b₂ − a₂b₁ ≠ 0 (ngược). Phản ví dụ: (2; −3), (−4; 5) có định thức −2 ≠ 0 nên KHÔNG cùng phương.
✦Cộng độ dài thay cho độ dài tổng: |a + b| ≠ |a| + |b|. Phản ví dụ: a = (3; −1), b = (−2; 5) có |a + b| = √17 ≈ 4,12 còn |a| + |b| = √10 + √29 ≈ 8,5.

🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)

✦Chế độ Vectơ (VCT): nhập hai vectơ 2 chiều rồi cộng, trừ, nhân với số, gọi độ dài (giá trị tuyệt đối) để thử lại đáp số.
✦Bài cùng phương có tham số m: thay m vừa tìm vào, tính a₁b₂ − a₂b₁ ở màn hình tính thường, phải ra 0.
✦Bài tìm điểm: dùng chế độ giải phương trình bậc nhất một ẩn cho từng thành phần (hoành độ, rồi tung độ).

✏️ Luyện tập

Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.

📍

Toạ độ và độ dài của vectơ

1
Nhận biết
Cho A(2; 1) và B(5; 5). Toạ độ $A B$ là
2
Thông hiểu
Vectơ $a = 2 i - 3 j$ có toạ độ
3
Thông hiểu
Độ dài của $a$ = (−6; 8) bằng
4
Thông hiểu Cho A(−1; 2) và B(3; −1). Khoảng cách AB = .
5
Thông hiểu
Cho A(−2; 3) và $A B$ = (5; −4). Toạ độ điểm B là

➕

Phép toán vectơ theo toạ độ

1
Nhận biết
Cho $a$ = (1; 2) và $b$ = (3; −1). Toạ độ $a + b$ là
2
Thông hiểu
Cho $a$ = (3; −1), $b$ = (−2; 5). Toạ độ $2 a + b$ là
3
Thông hiểu Với $a$ = (3; −1), $b$ = (−2; 5) như câu trên, độ dài $∣2 a + b ∣$ = .
4
Thông hiểu
Cho $a$ = (2; −1), $b$ = (−1; 3). Toạ độ $a - 3 b$ là
5
Vận dụng Cho $a$ = (2; 1), $b$ = (1; −1), $c$ = (7; −1). Biết $c = m a + n b$ . Khi đó m + n = .
6
Vận dụng
Cho A(1; −2), B(4; 2), C(5; 5). Để ABCD là hình bình hành thì D có toạ độ

↗️

Cùng phương và thẳng hàng

1
Nhận biết
Cặp vectơ nào sau đây cùng phương?
2
Thông hiểu
Cho $a$ = (2; −3) và $b$ = (−4; 6). Khẳng định đúng là
3
Thông hiểu Hai vectơ $a$ = (m; 4) và $b$ = (3; 6) cùng phương khi m = .
4
Vận dụng
Ba điểm A(1; −2), B(4; 2), C(7; m) thẳng hàng khi m bằng
5
Vận dụng Hai vectơ $a$ = (m; 3) và $b$ = (12; m) cùng phương. Tích các giá trị của m là .

🎯

Trung điểm và trọng tâm

1
Nhận biết
Cho A(1; 3) và B(5; −1). Trung điểm của AB là
2
Thông hiểu
Tam giác ABC có A(1; −2), B(4; 2), C(1; 3). Trọng tâm G có toạ độ
3
Thông hiểu I(2; 1) là trung điểm AB, A(−1; 3). Khi đó B(x; y) có x + y = .
4
Vận dụng
Tam giác ABC có trọng tâm G(2; 1), A(1; −2), B(4; 2). Toạ độ C là
5
Vận dụng Cho A(1; −2), B(4; 2). Điểm M(x; 0) nằm trên trục hoành thẳng hàng với A, B. Hoành độ x = .

🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp

Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.

🅰️

Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn

1
Thông hiểu
Cho hình bình hành ABCD có A(−1; 2), B(2; 1), C(3; 4). Toạ độ đỉnh D là
2
Vận dụng
Cho $u$ = (m + 1; 4) và $v$ = (2; m − 1). Tập các giá trị m để hai vectơ cùng phương là
3
Vận dụng
Tam giác ABC có M(1; 0), N(2; 3), P(−1; 1) lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Toạ độ đỉnh A là

✅

Phần II · Đúng / sai

1
Thông hiểu
Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(1; −2), B(4; 2), C(1; 3).

a) $A B$ = (3; 4).

b) $B C$ = (3; −1).

c)Trọng tâm tam giác ABC là G(2; 1).

d)Độ dài cạnh BC bằng 10.
2
Vận dụng
Cho các vectơ $a$ = (2; −1), $b$ = (−4; 2), $c$ = (1; 3).

a) $a$ và $b$ cùng phương.

b) $a$ và $b$ cùng hướng.

c) $∣ b ∣ = 2∣ a ∣$ .

d)Có số m để $c = m a$ (ví dụ m = 12).

🔢

Phần III · Trả lời ngắn

1
Thông hiểu Tam giác ABC có A(−1; 5), B(3; 1), C(4; 6). Trọng tâm G(a; b). Tính a + b. Đáp số:
2
Vận dụng Cho A(2; 1), B(5; 5) và điểm M(x; y) thoả $A M = 2 A B$ . Tính x + y. Đáp số:
3
Vận dụng Ba điểm A(1; 2), B(3; 5), C(m; −4) thẳng hàng. Tìm m. Đáp số:

🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?

•Là nền trực tiếp cho vectơ trong không gian Oxyz ở lớp 12: thêm thành phần thứ ba nhưng giữ nguyên quy tắc cuối trừ đầu, trung điểm và trọng tâm là trung bình cộng, độ dài là căn của tổng bình phương.
•Bài sau (tích vô hướng) dùng ngay toạ độ vectơ ở đây để tính góc, xét vuông góc và độ dài; sang bài phương trình đường thẳng (lớp 10, bài 19) thì toạ độ vectơ là vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến.
•Trong bài kiểm tra trên lớp thường có các dạng: tìm toạ độ vectơ và độ dài, tìm đỉnh còn lại của hình bình hành, tìm m để cùng phương hoặc ba điểm thẳng hàng, tìm trung điểm và trọng tâm. Dạng hay mất điểm là làm ngược "cuối trừ đầu" và chia 2 thay vì chia 3 cho trọng tâm.

Làm đề thi thử trọn bộ

Chủ đề tiếp theo
Tích vô hướng của hai vectơ