Chủ đề 11 · Học kỳ 1 ⭐ Hay ra thi tốt nghiệp

Tích vô hướng của hai vectơ

Xác định góc giữa hai vectơ, tính tích vô hướng bằng định nghĩa và bằng toạ độ, dùng nó để xét vuông góc, tính góc, tính độ dài và giải bài toán công của lực.

Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 11

⚡ Nhớ nhanh

1Góc giữa hai vectơ chỉ xét khi chúng chung gốc, nằm trong khoảng 0° đến 180°. Hai vectơ rời nhau phải dời về chung gốc trước.
2Định nghĩa: $a \cdot b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos (a, b)$ . Kết quả là một số, không phải vectơ.
3Toạ độ: $a = (a_{1}; a_{2})$ , $b = (b_{1}; b_{2})$ thì $a \cdot b = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}$ . Nhân thẳng rồi cộng.
4Dấu cho biết góc: tích > 0 góc nhọn, tích = 0 góc vuông ( $a ⊥ b$ ), tích < 0 góc tù.
5Góc và độ dài: $cos (a, b) = \frac{a _{1} b _{1} + a _{2} b _{2}}{a _{1}^{2} + a _{2}^{2} \cdot b _{1}^{2} + b _{2}^{2}}$ và $a^{2} = ∣ a ∣^{2}$ .
6Thói quen chống sai: luôn kiểm dấu của tích trước, rồi mới tính góc. Cos ra ngoài [−1; 1] là đã tính sai.

👀 Nhìn là hiểu

Kéo ngọn hai vectơ chung gốc, nhìn góc, hình chiếu của a lên giá của b và dấu của tích vô hướng đổi theo (dương nhọn, 0 vuông, âm tù). Bấm mẫu "Tam giác đều: AB và BC" để gặp bẫy 120° (không phải 60°); mẫu a = (3; 4), b = (−4; 3) chỉ là điểm bắt đầu.

Kéo ngọn a, b · ━ đậm: hình chiếu của a lên giá b

$a$ = (3; 4) · $b$ = (−4; 3)

$a \cdot b$ = 3·(−4) + 4·3 = 0

cos = 05·5 ≈ 0 ⇒ góc ≈ 90°

Tích bằng 0 ⇒ vuông góc

a = (3; 4), b = (−4; 3)

$a \cdot b$ = 3·(−4) + 4·3 = −12 + 12 = 0 ⇒ $a ⊥ b$ , góc 90°. Tích vô hướng bằng 0 là cách nhanh nhất kiểm hai vectơ vuông góc, không cần tính góc.

1 📐 Góc giữa hai vectơ

Cần nhớ

✦Định nghĩa: lấy điểm O, dựng $O A = a$ , $O B = b$ (hai vectơ khác $0$ ). Góc $A O B$ là góc giữa $a$ và $b$ , kí hiệu $(a, b)$ , nằm trong [0°; 180°].
✦Hai trường hợp đầu mút: cùng hướng thì góc 0°, ngược hướng thì góc 180°. Ví dụ: $(a, - a) = 180°$ .
✦Vuông góc: $(a, b) = 90°$ thì viết $a ⊥ b$ . Ví dụ: $A B ⊥ A D$ trong hình vuông ABCD.
✦Chung gốc mới có góc: hai vectơ nối đuôi (như $A B$ và $B C$ ) thì phải dời về chung gốc rồi mới đo. Ví dụ: tam giác đều ABC có $(A B, A C) = 60°$ nhưng $(A B, B C) = 120°$ .

Dạng bài

Tìm góc giữa hai vectơ trong hình

1 Kiểm hai vectơ có chung điểm đầu không. Chưa thì dời một vectơ (giữ nguyên hướng) về chung gốc.
2 Nhìn góc hình học tạo ra. Nếu phải đảo hướng một vectơ (đổi $A B$ thành $B A$ ) thì góc bù với 180°.
3 Kết luận số đo trong [0°; 180°].
4 Thử lại: cùng hướng ra 0°, ngược hướng ra 180°, hai cạnh vuông ra 90°.

⚠️ Bẫy hay gặp: Lấy luôn góc B của tam giác (60°) làm góc giữa $A B$ và $B C$ là sai. Góc B là góc giữa $B A$ và $B C$ (chung gốc B). Đổi $B A$ thành $A B$ thì góc bù: 180° − 60° = 120°.

📐

Làm mẫu

Tam giác ABC đều. Tìm góc giữa $A B$ và $B C$ .

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Góc và vị trí của hai vectơ

Góc	Hai vectơ	Ví dụ
0°	Cùng hướng	$A B$ và $2 A B$
0° < góc < 90°	Hợp góc nhọn	$A B, A C$ trong tam giác đều
90°	Vuông góc	$A B, A D$ trong hình vuông
180°	Ngược hướng	$A B$ và $B A$

2 ✖️ Định nghĩa và tính chất của tích vô hướng

Cần nhớ

✦Định nghĩa: $a \cdot b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos (a, b)$ . Ví dụ: $∣ a ∣ = 3$ , $∣ b ∣ = 4$ , góc 60° thì tích = 3·4·cos 60° = 6.
✦Là một số thực (nên gọi "vô hướng"). Có thể âm, bằng 0 hoặc dương. Ví dụ: góc 120° thì cos < 0, tích âm.
✦Hai trường hợp đặc biệt: cùng hướng thì $a \cdot b = ∣ a ∣∣ b ∣$ , ngược hướng thì $a \cdot b = - ∣ a ∣∣ b ∣$ . Ví dụ: độ dài 3 và 4, ngược hướng ⇒ −12.
✦Bình phương vô hướng: $a \cdot a = a^{2} = ∣ a ∣^{2}$ . Ví dụ: $∣ a ∣ = 5$ thì $a^{2} = 25$ .
✦Tính chất: giao hoán $a \cdot b = b \cdot a$ , phân phối $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ , $(k a) \cdot b = k (a \cdot b)$ .
✦Hằng đẳng thức: $∣ a + b ∣^{2} = ∣ a ∣^{2} + 2 a \cdot b + ∣ b ∣^{2}$ và $∣ a - b ∣^{2} = ∣ a ∣^{2} - 2 a \cdot b + ∣ b ∣^{2}$ .

Dạng bài

Tính tích vô hướng bằng định nghĩa

1 Viết ra độ dài hai vectơ.
2 Dời về chung gốc, tìm góc giữa chúng (chú ý bẫy góc bù).
3 Thay vào $∣ a ∣∣ b ∣ cos (a, b)$ và tính.
4 Thử lại: kiểm dấu theo góc, hoặc tính lại bằng vectơ đối.

⚠️ Bẫy hay gặp: Tính $A B \cdot B C = 2 \cdot 2 \cdot cos 60° = 2$ (lấy góc B) là sai dấu. Góc giữa hai vectơ nối đuôi là 120°, cos 120° = −12, kết quả đúng là −2.

✖️

Làm mẫu

Tam giác ABC đều cạnh 2. Tính $A B \cdot A C$ và $A B \cdot B C$ .

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Dạng bài

Tính độ dài của tổng và hiệu bằng tích vô hướng

1 Tính $a \cdot b$ từ định nghĩa.
2 Bình phương: $∣ a \pm b ∣^{2} = ∣ a ∣^{2} \pm 2 a \cdot b + ∣ b ∣^{2}$ .
3 Lấy căn bậc hai.
4 Thử lại bằng định lí côsin: cạnh đối diện góc 180° − (a, b) của tam giác tạo bởi hai vectơ.

⚠️ Bẫy hay gặp: Viết $∣ a + b ∣^{2} = ∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2} = 25$ (quên số hạng $2 a \cdot b$ ) cho $∣ a + b ∣ = 5$ . Chỉ đúng khi $a ⊥ b$ (khi đó $a \cdot b = 0$ ); ở đây tích bằng 6 nên đúng là 37.

🧮

Làm mẫu

Cho $∣ a ∣ = 3$ , $∣ b ∣ = 4$ và $(a, b) = 60°$ . Tính $∣ a + b ∣$ và $∣ a - b ∣$ .

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

3 🧭 Tích vô hướng theo toạ độ

Cần nhớ

✦Công thức toạ độ: $a = (a_{1}; a_{2})$ , $b = (b_{1}; b_{2})$ thì $a \cdot b = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}$ . Ví dụ: (2; 3)·(1; −1) = 2 − 3 = −1.
✦Độ dài: $∣ a ∣ = a_{1}^{2} + a_{2}^{2}$ . Ví dụ: $a = (3; 4)$ ⇒ $∣ a ∣ = 5$ .
✦Côsin góc: $cos (a, b) = \frac{a _{1} b _{1} + a _{2} b _{2}}{a _{1}^{2} + a _{2}^{2} \cdot b _{1}^{2} + b _{2}^{2}}$ (hai vectơ khác $0$ ). Ví dụ: (1; 1) và (2; 0) có cos = 2√2·2 = √22 ⇒ 45°.
✦Vuông góc: $a ⊥ b ⟺ a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} = 0$ . Ví dụ: (3; 4)·(−4; 3) = −12 + 12 = 0 ⇒ vuông góc, góc 90°.

Hai điều kiện rất dễ lẫn

Muốn xét	Điều kiện	Cách nhớ	Ví dụ
Vuông góc	$a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} = 0$	Nhân thẳng, rồi cộng	(3; 4) và (−4; 3)
Cùng phương	$a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 0$	Nhân chéo, rồi trừ	(2; 4) và (1; 2)

Dạng bài

Tính góc giữa hai vectơ cho bằng toạ độ

1 Tính tích vô hướng $a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}$ và hai độ dài.
2 Thay vào công thức côsin, rút gọn (căn có mẫu viết √22).
3 Tra góc trong [0°; 180°] có côsin đó.
4 Thử lại: dấu của côsin phải khớp dấu của tích (dương nhọn, âm tù), côsin phải nằm trong [−1; 1].

⚠️ Bẫy hay gặp: Lấy cos = tích vô hướng = 2 là sai (quên chia cho hai độ dài). Côsin phải nằm trong [−1; 1]; ra 2 là dấu hiệu tính thiếu.

🧭

Làm mẫu

Tìm góc giữa $a = (1; 1)$ và $b = (2; 0)$ .

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Dạng bài

Phân biệt vuông góc và cùng phương

1 Đọc đề: "vuông góc" hay "cùng phương".
2 Vuông góc: cho $a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} = 0$ . Cùng phương: cho $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 0$ .
3 Giải ra điều kiện cần tìm.
4 Thử lại: thay vào, kiểm bằng công thức còn lại phải không cho 0 (trừ trường hợp đặc biệt).

⚠️ Bẫy hay gặp: Hai công thức giống nhau về mặt chữ nên nhớ theo cách làm: thẳng + cộng cho vuông, chéo − trừ cho cùng phương. Cùng phương không kéo theo vuông góc (cặp 2 chỉ cùng phương).

⚖️

Làm mẫu

Xét hai cặp vectơ: (3; 4), (−4; 3) và (2; 4), (1; 2). Cặp nào vuông góc, cặp nào cùng phương?

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

4 🏗️ Vuông góc, tìm tham số và công của lực

Cần nhớ

✦Tam giác vuông tại A ⇔ $A B \cdot A C = 0$ . Ví dụ: A(1; 2), B(5; 3), C(2; −2) có $A B = (4; 1)$ , $A C = (1; - 4)$ , tích = 4 − 4 = 0.
✦Tìm tham số m để hai vectơ vuông góc: cho $a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} = 0$ rồi giải phương trình theo m.
✦Hình chiếu: tích $a \cdot b$ bằng độ dài $b$ nhân với độ dài (có dấu) hình chiếu của $a$ lên giá của $b$ . Ví dụ: (1; 1), (2; 0): hình chiếu dài 1, độ dài b = 2 ⇒ tích = 2.
✦Công của lực: lực $F$ làm vật dịch chuyển $s$ thì công $A = F \cdot s = ∣ F ∣∣ s ∣ cos α$ (α là góc giữa lực và hướng dịch chuyển). Ví dụ: 50 N, 10 m, α = 60° ⇒ 250 J.

Dạng bài

Tìm m để hai vectơ vuông góc

1 Viết tích vô hướng theo toạ độ.
2 Cho bằng 0.
3 Giải phương trình, kiểm lại có cần điều kiện (khác $0$ ) không.
4 Thử lại: thay m vào, tích phải bằng 0.

⚠️ Bẫy hay gặp: Dùng điều kiện cùng phương $m \cdot (- 4) - 3 \cdot 2 = 0$ ra m = −32. Thử lại: (−1,5; 3)·(2; −4) = −3 − 12 = −15 ≠ 0, nên không vuông góc.

🔍

Làm mẫu

Tìm m để $a = (m; 3)$ vuông góc với $b = (2; - 4)$ .

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Dạng bài

Chứng minh tam giác vuông và tính diện tích

1 Tính toạ độ các vectơ cạnh xuất phát từ cùng một đỉnh (ví dụ $A B$ , $A C$ ).
2 Tính tích vô hướng của chúng. Bằng 0 thì tam giác vuông tại đỉnh đó.
3 Tính độ dài hai cạnh góc vuông, diện tích = ½ tích hai cạnh đó.
4 Thử lại bằng định lí Pitago với cạnh còn lại.

⚠️ Bẫy hay gặp: Tính $A B \cdot B C = (4; 1) \cdot (- 3; - 5) = - 17$ rồi kết luận góc B tù là sai. $A B$ và $B C$ không chung gốc. Phải dùng $B A \cdot B C = 17 > 0$ ⇒ góc B nhọn (thực ra 45°).

🔺

Làm mẫu

Cho A(1; 2), B(5; 3), C(2; −2). Chứng minh tam giác ABC vuông tại A và tính diện tích.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Dạng bài

Bài toán công của lực

1 Xác định độ lớn lực F, quãng đường s và góc α giữa lực và hướng chuyển động.
2 Dùng $A = F \cdot s \cdot cos α$ .
3 Tính và ghi đơn vị (jun, J).
4 Thử lại: α = 0° cho công lớn nhất F·s, α = 90° cho công 0.

⚠️ Bẫy hay gặp: Quên nhân cos α và viết A = F·s = 500 J. Chỉ phần lực dọc theo hướng chuyển động mới sinh công; lực vuông góc với hướng đi (α = 90°) không sinh công.

🛒

Làm mẫu

Một người kéo xe bằng lực 50 N hợp với phương ngang góc 60°, xe đi được 10 m trên mặt phẳng ngang. Tính công của lực kéo.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

5 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai

⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm

✦Đề nói "vuông góc" là nghĩ ngay tích vô hướng = 0. Đề nói "cùng phương" là nhân chéo trừ.
✦Dấu của tích cho biết góc ngay: dương nhọn, âm tù. Nhiều câu loại được phương án chỉ nhờ dấu. Ví dụ: tích −4 thì loại mọi đáp án góc nhọn.
✦Gặp $∣ a \pm b ∣$ thì bình phương hai vế: $∣ a \pm b ∣^{2} = ∣ a ∣^{2} \pm 2 a \cdot b + ∣ b ∣^{2}$ .
✦Bài hình có góc vuông (hình vuông, chữ nhật, tam giác vuông): gắn hệ Oxy vào hình rồi tính bằng toạ độ, đỡ phải tìm góc.

⚠️ Lỗi hay sai nhất

✦Coi $a \cdot b$ là vectơ. Phản ví dụ: (2; 3)·(1; −1) = −1 là một số, viết (…; …) là sai.
✦Lẫn vuông góc với cùng phương. Phản ví dụ: (2; 4) và (1; 2) cùng phương nhưng tích = 10 ≠ 0, không vuông góc.
✦Lấy góc của hai vectơ không chung gốc. Phản ví dụ: tam giác đều có $(A B, B C) = 120°$ , không phải 60°.
✦Quên số hạng $2 a \cdot b$ khi khai triển $∣ a + b ∣^{2}$ . Phản ví dụ: $∣ a ∣ = 3$ , $∣ b ∣ = 4$ , góc 60° cho 37, không phải 25.
✦Nghĩ $a \cdot b = 0$ thì $a = 0$ hoặc $b = 0$ (như phép nhân số). Phản ví dụ: (3; 4)·(−4; 3) = 0 mà cả hai khác $0$ .
✦Giữ nguyên côsin ngoài [−1; 1] rồi tiếp tục giải. Ra 1,2 là đã sai, phải quay lại kiểm.

🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)

✦Máy có chế độ Vector: nhập hai vectơ rồi dùng phép tích vô hướng (Dot) để thử lại $a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}$ .
✦Tính góc từ côsin: đặt máy ở đơn vị độ (Degree), không để radian, rồi dùng hàm arccos.
✦Kiểm độ dài $a_{1}^{2} + a_{2}^{2}$ bằng phím căn, và nhớ côsin phải nằm trong [−1; 1].

✏️ Luyện tập

Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.

📐

Góc giữa hai vectơ

1
Nhận biết
Góc giữa hai vectơ cùng hướng (khác $0$ ) bằng
2
Nhận biết
Với $a \neq = 0$ , góc giữa $a$ và $- a$ bằng
3
Thông hiểu
Tam giác ABC đều. Góc giữa $A B$ và $B C$ bằng
4
Thông hiểu
Tam giác ABC vuông tại A có $B = 30°$ . Góc giữa $A B$ và $B C$ bằng
5
Vận dụng Hình vuông ABCD. Góc giữa $A B$ và $C A$ bằng độ.

✖️

Định nghĩa tích vô hướng

1
Nhận biết
Tích vô hướng của hai vectơ là
2
Thông hiểu Cho $∣ a ∣ = 3$ , $∣ b ∣ = 4$ , $(a, b) = 60°$ . Khi đó $a \cdot b =$ .
3
Thông hiểu
Cho $∣ a ∣ = 2$ , $∣ b ∣ = 5$ và $a$ , $b$ ngược hướng. Tích $a \cdot b$ bằng
4
Thông hiểu
Nếu $a \cdot b < 0$ (hai vectơ khác $0$ ) thì
5
Vận dụng Cho $∣ a ∣ = 2$ , $∣ b ∣ = 3$ , $(a, b) = 120°$ . Khi đó $∣ a - b ∣^{2} =$ .

🧭

Theo toạ độ

1
Nhận biết
Cho $a = (2; 3)$ , $b = (1; - 1)$ . Tích $a \cdot b$ bằng
2
Thông hiểu
Cho $a = (3; 4)$ . Độ dài $∣ a ∣$ bằng
3
Thông hiểu
Góc giữa $a = (1; 1)$ và $b = (2; 0)$ bằng
4
Thông hiểu Cho $a = (1; - 2)$ , $b = (3; 4)$ . Khi đó $a \cdot b =$ .
5
Vận dụng
Cho $a = (3; 1)$ , $b = (- 2; 2)$ . Góc giữa hai vectơ (làm tròn đến độ) là

🏗️

Vuông góc, tham số, công

1
Nhận biết
Hai vectơ $a$ , $b$ khác $0$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi
2
Thông hiểu
Với $a = (m; 3)$ , $b = (2; - 4)$ , hai vectơ vuông góc khi m bằng
3
Thông hiểu Một lực 50 N kéo vật đi 10 m, lực hợp với hướng chuyển động góc 60°. Công của lực là J.
4
Vận dụng
Cho A(1; 2), B(5; 3), C(2; −2). Tam giác ABC là tam giác
5
Vận dụng Cho $a = (m; 4)$ , $b = (m; - 9)$ . Giá trị dương của m để $a ⊥ b$ là m = .

🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp

Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.

🅰️

Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn

1
Thông hiểu
Tam giác ABC đều cạnh 4. Tích $A B \cdot B C$ bằng
2
Vận dụng
Cho A(1; −2), B(4; 2), C(1; 3). Côsin của góc $B A C$ bằng
3
Vận dụng
Cho $∣ a ∣ = 2$ , $∣ b ∣ = 3$ và $∣ a + b ∣ = 7$ . Góc giữa $a$ và $b$ bằng

✅

Phần II · Đúng / sai

1
Thông hiểu
Cho hai vectơ $a = (2; 1)$ và $b = (1; - 3)$ .

a) $a \cdot b = - 1$ .

b) $a$ và $b$ vuông góc.

c) $∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣ = 52$ .

d) $cos (a, b) = \frac{2}{10}$ .
2
Vận dụng
Trong mặt phẳng Oxy cho A(0; 0), B(4; 2), C(−1; 2).

a) $A B = (4; 2)$ và $A C = (- 1; 2)$ .

b)Tam giác ABC vuông tại A.

c)Tam giác ABC cân tại A.

d)Diện tích tam giác ABC bằng 10.

🔢

Phần III · Trả lời ngắn

1
Vận dụng Cho A(1; 1), B(4; −1), C(m; 4). Tam giác ABC vuông tại A khi m = ? Đáp số:
2
Vận dụng Góc giữa $a = (1; 1)$ và $b = (- 1; 0)$ bằng bao nhiêu độ? Đáp số:
3
Vận dụng Cho $∣ a ∣ = 2$ , $∣ b ∣ = 3$ , $(a, b) = 120°$ . Tính $∣2 a + b ∣^{2}$ . Đáp số:

🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?

•Là nền cho vectơ trong không gian Oxyz ở lớp 12: tích vô hướng thêm toạ độ thứ ba nhưng dùng đúng ý tưởng, nên xét vuông góc giữa hai đường thẳng, giữa đường và mặt, và tính góc đều quay lại bài này.
•Ở lớp 10, bài này dùng ngay ở phương trình đường thẳng (bài 19–20): góc giữa hai đường thẳng và điều kiện vuông góc đều tính qua vectơ chỉ phương hoặc pháp tuyến.
•Trong bài kiểm tra trên lớp thường có câu tính tích vô hướng và góc bằng toạ độ, tìm m để vuông góc, chứng minh tam giác vuông. Dạng hay có là công của lực; chỗ dễ mất điểm là góc của hai vectơ không chung gốc và quên số hạng 2a·b khi bình phương.

Làm đề thi thử trọn bộ