Chủ đề 7 · Học kỳ 1

Các khái niệm mở đầu

Hiểu vectơ là đoạn thẳng có hướng, phân biệt cùng phương, cùng hướng, bằng nhau, biết vectơ-không và độ dài vectơ, rồi tìm các vectơ bằng nhau trong hình bình hành.

Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 7

⚡ Nhớ nhanh

1Vectơ là đoạn thẳng có hướng: có điểm đầu, điểm cuối. Kí hiệu $A B$ (đầu A, cuối B) hoặc $a$ . $A B$ và $B A$ là hai vectơ khác nhau.
2Độ dài $∣ A B ∣$ = độ dài đoạn AB, luôn không âm. Giá của $A B$ là đường thẳng AB.
3Ba mức quan hệ, mỗi mức chặt hơn mức trước: cùng phương (giá song song hoặc trùng nhau) ⊃ cùng hướng (cùng phương và cùng chiều) ⊃ bằng nhau (cùng hướng và cùng độ dài).
4Hai vectơ bằng nhau không cần chung điểm đầu. Trong hình bình hành ABCD: $A B = D C$ , còn $A B$ và $C D$ ngược hướng nên không bằng nhau.
5Vectơ-không $0$ (điểm đầu trùng điểm cuối, như $AA$ ) có độ dài 0 và cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ.

👀 Nhìn là hiểu

Kéo các đỉnh của hình bình hành ABCD, chọn hai vectơ tạo bởi 4 đỉnh và xem hình báo cùng phương? cùng hướng? cùng độ dài? bằng nhau? Nút mẫu AB và DC ra "bằng nhau" chỉ là điểm bắt đầu: thử AB và CD (ngược hướng, KHÔNG bằng), AB và AC (không cùng phương) và AA (vectơ-không) trước khi đọc lý thuyết.

Kéo A, B, D · ━▶ vectơ thứ nhất · ━▶ vectơ thứ hai

Vectơ 1 Vectơ 2

$A B$ : dài 5 · $D C$ : dài 5

✓ Cùng phương✓ Cùng hướng✓ Cùng độ dài✓ Bằng nhau

Hai vectơ bằng nhau.

AB và DC

ABCD là hình bình hành nên AB ∥ DC, AB = DC và đi cùng chiều từ trái sang phải: hai vectơ bằng nhau. Kéo các đỉnh: hình vẫn là hình bình hành nên chúng luôn bằng nhau.

1 ➡️ Vectơ, giá, độ dài, vectơ-không

Cần nhớ

✦Vectơ $A B$ là đoạn thẳng AB có hướng từ A đến B (A là điểm đầu, B là điểm cuối). Ví dụ: $B A$ có cùng đoạn thẳng nhưng hướng ngược lại.
✦Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối. Ví dụ: giá của $A B$ và $B A$ đều là đường thẳng AB.
✦Độ dài $∣ A B ∣ = A B \geq 0$ . Ví dụ: A cách B 5 cm thì $∣ A B ∣ = ∣ B A ∣ = 5$ cm.
✦Vectơ-không $0 = AA = B B = \dots$ có độ dài 0 và cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ.
✦Trong vật lí, vận tốc và lực là vectơ vì có hướng và độ lớn. Ví dụ: tàu chạy hướng đông 20 km/h khác tàu chạy hướng tây 20 km/h dù cùng tốc độ.

Đoạn thẳng và vectơ khác nhau ở đâu

	Đoạn thẳng	Vectơ
Đổi chỗ hai đầu	AB và BA là một	$A B$ và $B A$ khác nhau (ngược hướng)
Độ dài	AB	$∣ A B ∣ = A B$
Dời đi chỗ khác	Thành đoạn khác	Vẫn là cùng vectơ nếu giữ hướng và độ dài

Dạng bài

Tính độ dài một vectơ

1 Đổi $∣ A B ∣$ thành độ dài đoạn thẳng AB.
2 Tìm AB trong hình (cạnh, đường chéo, đường cao…).
3 Tính bằng các định lí đã biết (Pi-ta-go, tính chất hình).
4 Thử lại: độ dài phải không âm và hợp lí với hình.

⚠️ Bẫy hay gặp: Cộng độ dài $∣ A B ∣ + ∣ B C ∣ = 6 + 8 = 14$ rồi cho là $∣ A C ∣$ là sai: đường chéo là cạnh huyền, ngắn hơn đường đi theo hai cạnh. Đáp số đúng là 10.

📏

Làm mẫu

Hình chữ nhật ABCD có AB = 6 và AD = 8. Tính $∣ A C ∣$ .

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

2 ↗️ Cùng phương và cùng hướng

Cần nhớ

✦Cùng phương: hai giá song song hoặc trùng nhau. Ví dụ: $A B$ và $B A$ có chung giá AB nên cùng phương.
✦Hai vectơ cùng phương thì hoặc cùng hướng hoặc ngược hướng. Ví dụ: $A B$ và $B A$ ngược hướng.
✦Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng ⇔ $A B$ và $A C$ cùng phương. Ví dụ: A, B, C là ba đỉnh tam giác thì $A B$ , $A C$ không cùng phương.
✦ $0$ cùng phương và cùng hướng với mọi vectơ. Ví dụ: $AA$ và $A B$ cùng phương.

Ba mức quan hệ, đừng lẫn

Quan hệ	Điều kiện	Ví dụ trong hình bình hành ABCD
Cùng phương	Giá song song hoặc trùng nhau (chưa nói gì về chiều)	$A B$ và $C D$
Cùng hướng	Cùng phương và cùng chiều	$A B$ và $D C$
Bằng nhau	Cùng hướng và cùng độ dài	$A B$ và $D C$
Không cùng phương	Hai giá cắt nhau	$A B$ và $A D$ , hoặc $A C$ và $B D$

Dạng bài

Xét quan hệ giữa hai vectơ

1 Xét giá: hai đường thẳng có song song hoặc trùng nhau không? Không thì không cùng phương, dừng.
2 Cùng phương thì xét chiều: đi từ đầu đến cuối của hai vectơ có cùng chiều không?
3 Cùng hướng thì so độ dài: bằng nhau thì hai vectơ bằng nhau.
4 Thử lại: vẽ hình, dời một vectơ song song cho chung điểm đầu rồi nhìn.

⚠️ Bẫy hay gặp: Thấy hai vectơ song song và cùng độ dài là kết luận bằng nhau: $A B$ và $C D$ đều thoả mà vẫn không bằng nhau, vì ngược hướng.

↗️

Làm mẫu

Hình bình hành ABCD. Nêu quan hệ giữa $A B$ và $C D$ .

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

3 🟰 Hai vectơ bằng nhau

Cần nhớ

✦ $a = b$ ⇔ cùng hướng và cùng độ dài. Ví dụ: $A B = D C$ trong hình bình hành ABCD.
✦Vectơ chỉ mang hướng và độ dài, không mang vị trí. Dời song song đi đâu vẫn là cùng vectơ. Ví dụ: $A B$ và $D C$ có bốn đầu mút khác nhau mà vẫn bằng nhau.
✦Cho vectơ $a$ và điểm O, có đúng một điểm M sao cho $O M = a$ .
✦ABCD là hình bình hành ⇔ $A B = D C$ (bốn điểm không thẳng hàng). Ví dụ: cạnh đối đi cùng chiều thì bằng nhau, còn $A B$ và $C D$ thì ngược hướng.

Dạng bài

Tìm vectơ bằng một vectơ cho trước trong hình bình hành

1 Tìm cạnh đối: nó song song và bằng cạnh đã cho.
2 Viết vectơ theo chiều cùng với vectơ đã cho (đúng thứ tự đầu – cuối).
3 Loại vectơ viết ngược chiều (đổi chỗ hai chữ cái).
4 Thử lại: dời $A B$ sao cho A trùng D thì B có trùng C không?

⚠️ Bẫy hay gặp: Chọn $C D$ vì "cũng là cạnh đối, cũng dài AB": sai. $C D$ ngược hướng với $A B$ nên không phải vectơ bằng (chỉ cùng độ dài).

🟰

Làm mẫu

Hình bình hành ABCD. Nêu các vectơ bằng $A B$ trong các vectơ tạo bởi bốn đỉnh.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

4 🧩 Trung điểm, tâm hình và đếm vectơ

Cần nhớ

✦M là trung điểm AB ⇔ $A M = M B$ (cùng hướng, cùng độ dài). Ví dụ: AB = 8 thì AM = MB = 4.
✦O là tâm hình bình hành ABCD (giao hai đường chéo) ⇒ $A O = O C$ và $B O = O D$ . Ví dụ: $A O$ và $C O$ thì ngược hướng.
✦Hình chữ nhật ABCD có $∣ A C ∣ = ∣ B D ∣$ nhưng $A C \neq = B D$ vì hai đường chéo cắt nhau (không cùng phương).
✦Đếm vectơ từ n điểm phân biệt: chọn điểm đầu (n cách), chọn điểm cuối khác điểm đầu (n − 1 cách) ⇒ n(n − 1) vectơ khác $0$ . Ví dụ: 3 điểm cho 6 vectơ.

Dạng bài

Đếm vectơ thoả điều kiện

1 Liệt kê các điểm và vẽ hình để thấy đường thẳng nào song song, trùng nhau.
2 Đếm theo điểm đầu: với mỗi điểm đầu, xét từng điểm cuối khác.
3 Giữ lại những vectơ thoả đủ điều kiện (cùng phương? bằng nhau?), chú ý $A B$ và $B A$ là hai vectơ khác nhau.
4 Thử lại: đếm theo cách khác (theo đường thẳng) rồi so.

⚠️ Bẫy hay gặp: Chỉ đếm $A B$ và $D C$ (2 vectơ) là sót: $B A$ và $C D$ cũng cùng phương với $A B$ (chỉ ngược hướng).

🔢

Làm mẫu

Hình bình hành ABCD. Có bao nhiêu vectơ khác $0$ , có điểm đầu và điểm cuối thuộc {A; B; C; D}, cùng phương với $A B$ ?

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

5 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai

⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm

✦Hỏi theo thứ tự ba mức: giá có song song không? cùng chiều không? cùng độ dài không? Dừng ngay ở câu "không" đầu tiên.
✦Trong hình bình hành ABCD, vectơ bằng $A B$ : lấy cạnh đối và giữ chiều, chữ A đứng cạnh D, chữ B đứng cạnh C ⇒ $D C$ . Viết ngược $C D$ là sai.
✦Đổi chỗ hai chữ cái là đổi hướng. Ví dụ: $A B$ và $B A$ ngược hướng, độ dài như nhau.
✦Nói "trung điểm" thì viết ngay $A M = M B$ ; nói "tâm hình bình hành O" thì $A O = O C$ , $B O = O D$ .

⚠️ Lỗi hay sai nhất

✦Cho rằng cùng phương là cùng hướng. Phản ví dụ: $A B$ và $B A$ cùng phương nhưng ngược hướng.
✦Cho rằng cùng độ dài thì bằng nhau. Phản ví dụ: hình chữ nhật có $∣ A C ∣ = ∣ B D ∣$ nhưng $A C \neq = B D$ (đường chéo cắt nhau).
✦Cho rằng cùng phương và cùng độ dài thì bằng nhau. Phản ví dụ: $A B$ và $C D$ trong hình bình hành ngược hướng.
✦Tưởng hai vectơ bằng nhau phải chung điểm đầu. Phản ví dụ: $A B = D C$ , bốn điểm khác nhau.
✦Đếm vectơ từ 4 điểm ra 6 (như đếm đoạn thẳng). Đúng là 4·3 = 12, vì $A B$ và $B A$ là hai vectơ.
✦Viết $∣ a ∣ = - 3$ hoặc nói $0$ không cùng phương với vectơ nào. Độ dài luôn ≥ 0; $0$ cùng phương với mọi vectơ.

🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)

✦Bài này chủ yếu là lập luận trên hình, máy tính ít dùng. Chỉ cần máy để tính độ dài đường chéo √(a² + b²) và đổi giữa dạng căn với số thập phân (nút đổi dạng kết quả).
✦Chế độ Vector (VCT) của máy sẽ hữu ích từ bài toạ độ vectơ (Bài 10); bài này chưa cần.

✏️ Luyện tập

Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.

➡️

Vectơ, độ dài, vectơ-không

1
Nhận biết
Vectơ là
2
Nhận biết
Phát biểu nào đúng về độ dài của vectơ $A B$ ?
3
Thông hiểu
Cho hai điểm phân biệt A, B. Có bao nhiêu vectơ khác $0$ có điểm đầu và điểm cuối thuộc {A; B}?
4
Thông hiểu Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Số vectơ khác $0$ có điểm đầu và điểm cuối thuộc {A; B; C} là .

↗️

Cùng phương, cùng hướng

1
Nhận biết
Hai vectơ cùng phương khi và chỉ khi
2
Thông hiểu
Cho hình bình hành ABCD. Hai vectơ $A B$ và $C D$
3
Thông hiểu
Cho hình bình hành ABCD. Cặp vectơ nào sau đây không cùng phương?
4
Thông hiểu
Khẳng định nào sau đây sai?
5
Vận dụng Cho hình bình hành ABCD. Số vectơ khác $0$ , có điểm đầu và điểm cuối thuộc {A; B; C; D}, cùng phương với $A B$ là .

🟰

Hai vectơ bằng nhau

1
Nhận biết
Hai vectơ bằng nhau khi
2
Thông hiểu
Cho hình bình hành ABCD. Vectơ bằng $B C$ là
3
Thông hiểu
Tứ giác ABCD có $A B = D C$ . Khi đó ABCD là
4
Thông hiểu
Điểm M là trung điểm đoạn AB. Khẳng định nào đúng?
5
Thông hiểu
Cho vectơ $a$ và điểm O. Số điểm M sao cho $O M = a$ là
6
Vận dụng Cho hình bình hành ABCD. Số cặp vectơ bằng nhau (khác $0$ , mỗi cặp tính một lần) tạo từ bốn đỉnh là .

🧩

Trung điểm, tâm, độ dài

1
Thông hiểu Hình chữ nhật ABCD có AB = 6 và AD = 8. Khi đó $∣ A C ∣$ = .
2
Thông hiểu
Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Vectơ bằng $O C$ là
3
Vận dụng
Cho hình chữ nhật ABCD. Khẳng định nào sau đây đúng?
4
Vận dụng Tam giác ABC đều cạnh 2, M là trung điểm BC. Độ dài $∣ A M ∣$ làm tròn đến hàng phần mười là .
5
Thông hiểu
Tàu A chạy hướng đông với tốc độ 20 km/h, tàu B cũng chạy hướng đông với tốc độ 30 km/h. Hai vectơ vận tốc của hai tàu
6
Vận dụng
Cho hình bình hành ABCD, M là trung điểm AB, N là trung điểm CD. Vectơ bằng $A M$ là

🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp

Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.

🅰️

Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn

1
Thông hiểu
Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi
2
Vận dụng
Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Khẳng định nào sau đây sai?
3
Vận dụng
Tam giác ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Khẳng định nào đúng?

✅

Phần II · Đúng / sai

1
Thông hiểu
Cho hình bình hành ABCD có tâm O.

a) $A B$ và $C D$ cùng phương.

b) $A B = C D$ .

c) $A O = O C$ .

d)Luôn có $∣ A C ∣ = ∣ B D ∣$ .
2
Vận dụng
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 6, AD = 8 và tâm O.

a) $∣ A B ∣ = ∣ C D ∣$ .

b) $A C = B D$ .

c) $∣ A C ∣ = 10$ .

d) $∣ O A ∣ = 6$ .

🔢

Phần III · Trả lời ngắn

1
Thông hiểu Cho 5 điểm phân biệt, không có ba điểm nào thẳng hàng. Số vectơ khác $0$ có điểm đầu và điểm cuối thuộc 5 điểm đó là .
2
Vận dụng Tam giác ABC đều cạnh 6, M là trung điểm BC. Độ dài $∣ A M ∣$ làm tròn đến hàng phần mười là .
3
Vận dụng Lục giác đều ABCDEF có tâm O. Số vectơ bằng $A B$ (kể cả chính $A B$ ) trong các vectơ có điểm đầu và điểm cuối thuộc {A; B; C; D; E; F; O} là .

🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?

•Là nền cho cả chương vectơ: tổng, hiệu, tích với một số (Bài 8–9) đều dựa vào việc nhận ra hai vectơ bằng nhau hoặc ngược hướng; lên lớp 12, vectơ trong không gian (Oxyz) dùng lại đúng các khái niệm này.
•Trong bài kiểm tra trên lớp thường có câu trắc nghiệm chọn khẳng định đúng/sai về cùng phương, cùng hướng, bằng nhau trong hình bình hành, hình chữ nhật, tam giác đều; hay có thêm câu đếm vectơ.
•Có thể gặp ở phần đúng/sai (4 ý trên cùng một hình): ý đầu nhận biết cùng phương, ý cuối là bẫy $A B$ với $C D$ hoặc hai đường chéo cùng độ dài nhưng khác hướng.

Làm đề thi thử trọn bộ

Chủ đề tiếp theo
Tổng và hiệu của hai vectơ