Chủ đề 5 · Học kỳ 1

Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°

Hiểu sin, cos, tan, cot của góc từ 0° đến 180° qua nửa đường tròn đơn vị, dùng công thức hai góc bù nhau, nhớ giá trị các góc đặc biệt và tìm các giá trị còn lại khi biết một giá trị.

Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 5

⚡ Nhớ nhanh

1Trên nửa đường tròn đơn vị (tâm O, bán kính 1, nằm phía trên trục hoành), góc α ứng với điểm M(x₀; y₀). cos α = x₀ (hoành độ), sin α = y₀ (tung độ).
2tan α = sin α/cos α (chỉ khi α ≠ 90°), cot α = cos α/sin α (chỉ khi α ≠ 0° và α ≠ 180°). tan 90° và cot 0°, cot 180° là không xác định.
3Vì M ở nửa trên nên sin α ≥ 0 luôn; còn cos α đổi dấu tại 90°: dương khi α nhọn, âm khi α tù. Góc tù thì cos, tan, cot đều âm.
4Hai góc bù nhau (tổng 180°): sin(180° − α) = sin α, còn cos, tan, cot đều đổi dấu. Hình: M và M′ đối xứng qua trục tung.
5Hệ thức cơ bản: sin²α + cos²α = 1. Từ sin tìm cos phải lấy căn hai dấu rồi chọn theo điều kiện của góc; từ cos tìm sin thì sin luôn lấy dấu dương.
6Thói quen chống sai: gặp góc tù thì đưa về góc nhọn bù với nó, và kiểm dấu bằng hình (M bên trái trục tung ⇒ cos âm).

👀 Nhìn là hiểu

Kéo M trên nửa đường tròn (hoặc thanh trượt α) và nhìn cos α là hoành độ, sin α là tung độ, tan α = sin/cos; điểm M′ là điểm của góc bù 180° − α, đối xứng với M qua trục tung. Bấm nút "sin α = 3/5, α tù" để thấy cos α = −4/5 (bẫy: lấy 4/5), nút "30° và 150°" để thấy sin bằng nhau còn cos đối nhau, nút "90°" (tan không xác định) và "180°" (cot không xác định). Các nút mẫu chỉ là điểm bắt đầu, hãy kéo thử cả những góc khác.

Kéo M · ━ cos α · ━ sin α · M′ là góc bù

α = 143,13°

sin α	3/5
cos α	−4/5
tan α	−3/4
cot α	−4/3

Góc tù: sin dương, cos · tan · cot âm

sin α = 3/5, α tù

M có tung độ 3/5. Góc tù ⇒ M ở bên TRÁI trục tung ⇒ cos α < 0: cos α = −√(1 − 9/25) = −4/5, tan α = (3/5) : (−4/5) = −3/4. Bẫy: lấy cos α = 4/5 vì quên dấu (đó là góc nhọn ≈ 36,87°, điểm M′).

1 🌓 Nửa đường tròn đơn vị và định nghĩa

Cần nhớ

✦Điểm M ứng với góc α (0° ≤ α ≤ 180°): M nằm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho tia OM tạo với tia Ox góc α. Ví dụ: α = 90° ứng với M(0; 1).
✦sin α = tung độ y₀, cos α = hoành độ x₀. Ví dụ: M(0; 1) ⇒ sin 90° = 1, cos 90° = 0.
✦tan α = sin α/cos α (cos α ≠ 0), cot α = cos α/sin α (sin α ≠ 0). Ví dụ: tan 90° không xác định vì cos 90° = 0; cot 180° không xác định vì sin 180° = 0.
✦Dấu: sin α ≥ 0 với mọi α; cos α > 0 khi α nhọn, cos α < 0 khi α tù. Ví dụ: sin 150° = 12 > 0 còn cos 150° < 0.

Dấu của giá trị lượng giác

Góc α	sin α	cos α	tan α	cot α
0° < α < 90° (nhọn)	+	+	+	+
α = 90°	1	0	không xác định	0
90° < α < 180° (tù)	+	−	−	−
α = 0°	0	1	0	không xác định
α = 180°	0	−1	0	không xác định

Dạng bài

Đọc giá trị lượng giác từ toạ độ điểm M

1 Kiểm M có nằm trên nửa đường tròn đơn vị không: x₀² + y₀² = 1 và y₀ ≥ 0.
2 Đọc: sin α = y₀ (tung độ), cos α = x₀ (hoành độ).
3 Tính tan α = y₀/x₀ (nếu x₀ ≠ 0) và cot α = x₀/y₀ (nếu y₀ ≠ 0).
4 Thử lại: M bên trái trục tung thì góc tù, khi đó cos, tan, cot phải âm.

⚠️ Bẫy hay gặp: Lấy sin α = hoành độ = −45 là sai: sin là tung độ 35. Một dấu hiệu bắt lỗi ngay: với 0° ≤ α ≤ 180° thì sin α không bao giờ âm, nên kết quả sin α = −45 chắc chắn sai.

🌓

Làm mẫu

Điểm M(−45; 35) nằm trên nửa đường tròn đơn vị, ứng với góc α. Tìm sin α, cos α, tan α, cot α.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

2 🪞 Hai góc bù nhau

Cần nhớ

✦sin(180° − α) = sin α, cos(180° − α) = −cos α. Ví dụ: sin 150° = sin 30° = 12, cos 150° = −cos 30° = −√32.
✦Suy ra tan(180° − α) = −tan α và cot(180° − α) = −cot α. Ví dụ: tan 120° = −tan 60° = −√3.
✦Hình: điểm M (góc α) và M′ (góc 180° − α) đối xứng qua trục tung: cùng tung độ (sin bằng nhau), hoành độ đối nhau (cos đối nhau).
✦Trong tam giác ABC có A + B + C = 180° nên A và B + C bù nhau: sin A = sin(B + C), cos A = −cos(B + C).

Dạng bài

Đưa góc tù về góc nhọn

1 Viết góc tù dưới dạng 180° − (góc nhọn): 150° = 180° − 30°, 120° = 180° − 60°.
2 Áp dụng công thức: sin giữ nguyên, còn cos, tan, cot đổi dấu.
3 Tra giá trị của góc nhọn rồi thay vào biểu thức.
4 Thử lại: góc tù thì cos phải âm (và sin dương).

⚠️ Bẫy hay gặp: Viết cos(180° − α) = cos α rồi cho cos 120° = cos 60° = 12 là sai, sẽ ra A = 12 + 12 = 1. Chỉ sin giữ nguyên; cos đổi dấu (M lật sang trái nên hoành độ đổi dấu).

🪞

Làm mẫu

Tính A = sin 150° + cos 120°.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Dạng bài

Triệt tiêu các cặp góc bù

1 Tìm các cặp góc có tổng bằng 180°.
2 Với mỗi cặp, đổi một góc về góc kia: cos đối nhau thì cộng ra 0, sin bằng nhau thì cộng ra gấp đôi.
3 Cộng tất cả các cặp.
4 Thử lại: kiểm tổng các góc trong mỗi cặp đúng bằng 180°.

⚠️ Bẫy hay gặp: Với sin thì không triệt tiêu: sin 20° + sin 160° = 2 sin 20° (hai số bằng nhau), khác 0. Cặp góc bù chỉ làm cos, tan, cot đối nhau.

🧮

Làm mẫu

Tính T = cos 20° + cos 40° + cos 140° + cos 160°.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

3 📐 Giá trị của các góc đặc biệt

Cần nhớ

✦Mẹo nhớ góc nhọn: sin của 0°, 30°, 45°, 60°, 90° lần lượt là $\frac{0}{2}, \frac{1}{2}, \frac{2}{2}, \frac{3}{2}, \frac{4}{2}$ (tức 0; 12; √22; √32; 1). cos viết ngược lại.
✦tan 45° = 1 và tan 30° · tan 60° = 1. Ví dụ: √33 · √3 = 1.
✦Góc tù không cần học thêm: dùng công thức góc bù. Ví dụ: 135° = 180° − 45° ⇒ cos 135° = −√22, tan 135° = −1.
✦Hai nút tới hạn: 0° và 180° (sin = 0, cot không xác định), 90° (cos = 0, tan không xác định).

Bảng giá trị lượng giác của góc đặc biệt

α	sin α	cos α	tan α	cot α
0°	0	1	0	không xác định
30°	12	√32	√33	√3
45°	√22	√22	1	1
60°	√32	12	√3	√33
90°	1	0	không xác định	0
120°	√32	−12	−√3	−√33
135°	√22	−√22	−1	−1
150°	12	−√32	−√33	−√3
180°	0	−1	0	không xác định

Dạng bài

Tính biểu thức chứa góc đặc biệt

1 Tra bảng (hoặc dùng góc bù) để đổi từng giá trị lượng giác thành số.
2 Thay vào biểu thức, đặt dấu ngoặc quanh số âm.
3 Tính theo thứ tự nhân chia trước, cộng trừ sau.
4 Thử lại: tính lại từng số hạng, soát dấu của số hạng có cos 180° hoặc cos tù.

⚠️ Bẫy hay gặp: Cho cos 180° = 1 hoặc bỏ dấu ngoặc: 3 − 2·1 + 2 = 3 là sai (đúng là 7). Một dấu trừ ở cos 180° nhân với dấu trừ phía trước ra dấu cộng.

📐

Làm mẫu

Tính B = 3 tan 45° − 2 cos 180° + 4 sin 30°.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Dạng bài

Tìm góc khi biết một giá trị lượng giác

1 Bỏ dấu, tìm góc nhọn có giá trị lượng giác bằng giá trị đó (tra bảng).
2 Xét dấu: sin dương cho cả góc nhọn lẫn góc tù; cos âm thì chỉ có góc tù.
3 Nếu có cả góc tù thì thêm góc bù 180° − (góc nhọn).
4 Thử lại: tính lại giá trị lượng giác của từng góc vừa tìm.

⚠️ Bẫy hay gặp: Chỉ lấy 45° là thiếu nghiệm. Ngược lại với cos: cos α = √22 chỉ có một góc 45°, vì cos 135° = −√22 (khác dấu), không phải √22.

🔎

Làm mẫu

Tìm α ∈ [0°; 180°] biết sin α = √22.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

4 🧩 Hệ thức cơ bản

Cần nhớ

✦sin²α + cos²α = 1 (sin²α nghĩa là (sin α)²). Ví dụ: sin 30° = 12, cos 30° = √32 ⇒ 14 + 34 = 1. Lý do: M nằm trên đường tròn bán kính 1 nên x₀² + y₀² = 1.
✦tan α · cot α = 1 khi cả hai xác định (0° < α < 180°, α ≠ 90°). Ví dụ: tan 135° = −1, cot 135° = −1 ⇒ tích 1.
✦Biết sin tìm cos: cos α = ±√(1 − sin²α), chọn dấu theo góc. Ví dụ: sin α = 35, α tù ⇒ cos α = −45.
✦Biết cos tìm sin: sin α = +√(1 − cos²α), vì sin α ≥ 0 luôn. Ví dụ: cos α = −45 ⇒ sin α = 35.

Dạng bài

Biết một giá trị, tìm các giá trị còn lại

1 Dùng sin²α + cos²α = 1 để tìm bình phương của giá trị còn lại.
2 Lấy căn bậc hai được hai dấu ±. Chọn dấu theo điều kiện của góc (tù ⇒ cos < 0; sin luôn ≥ 0).
3 Tính tan α = sin α/cos α và cot α = cos α/sin α.
4 Thử lại: bình phương hai giá trị cộng lại phải bằng 1, và dấu hợp với góc.

⚠️ Bẫy hay gặp: Lấy luôn cos α = 45 (căn dương) rồi suy ra tan α = 34 > 0 là vô lí với góc tù. Bài cho sin α = 35 mà không nói nhọn hay tù thì có hai đáp án: cos α = 45 (α ≈ 36,87°) hoặc cos α = −45 (α ≈ 143,13°).

🧩

Làm mẫu

Cho sin α = 35 và 90° < α < 180°. Tính cos α, tan α, cot α.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Dạng bài

Tính biểu thức khi biết tan α

1 Biểu thức có dạng phân số mà tử và mẫu cùng bậc theo sin, cos (đồng bậc).
2 Chia cả tử và mẫu cho cos α (được vì tan α có nghĩa nên cos α ≠ 0), dùng sin α/cos α = tan α.
3 Thay giá trị tan α vào.
4 Thử lại: lấy góc nhọn cụ thể có tan α đó (sin α, cos α bằng số) và tính trực tiếp.

⚠️ Bẫy hay gặp: Từ tan α = 2 = 21 mà cho sin α = 2 và cos α = 1 là sai (sin α không thể bằng 2). Cách đó chỉ ra đúng khi biểu thức đồng bậc; có số hạng tự do như sin α + 1 thì sai. Giá trị thật: sin α ≈ 0,894, cos α ≈ 0,447.

➗

Làm mẫu

Cho tan α = 2. Tính Q = 3 sin α − cos αsin α + cos α.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

5 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai

⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm

✦Góc bù: sin giữ nguyên, cos · tan · cot đổi dấu. Ví dụ: sin 135° = √22, cos 135° = −√22.
✦Gặp bài giá trị lượng giác thì phác M trên nửa đường tròn: sin là độ cao, cos là vị trí ngang, nhìn ra dấu ngay.
✦sin α = a (0 < a < 1) có hai góc bù nhau (tổng 180°); cos α = a (−1 < a < 1) chỉ có một góc. Ví dụ: sin α = 12 ⇒ 30° hoặc 150°; cos α = 12 ⇒ chỉ 60°.
✦Tổng cos của các góc đối xứng qua 90° bằng 0. Ví dụ: cos 10° + cos 20° + … + cos 170° = 0.

⚠️ Lỗi hay sai nhất

✦Viết cos(180° − α) = cos α. Phản ví dụ: cos 120° = −12, không phải cos 60° = 12.
✦Cho sin âm với góc tù. Phản ví dụ: sin 150° = 12 > 0 (sin không bao giờ âm trong [0°; 180°]).
✦Lấy căn của cos²α mà chọn luôn dấu dương. Phản ví dụ: sin α = 35, α tù thì cos α = −45.
✦Cho tan 90° = ∞ hoặc một số nào đó. Đúng là không xác định; cot 0° và cot 180° cũng vậy.
✦Tưởng tan(180° − α) = tan α. Phản ví dụ: tan 135° = −1 còn tan 45° = 1.
✦Tưởng sin α = a chỉ có một góc. Phản ví dụ: sin 30° = sin 150° = 12.

🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)

✦Đặt máy ở chế độ Độ (DEG), không phải Radian, rồi gọi sin, cos, tan để thử các giá trị đặc biệt; tan 90° máy báo lỗi (Math ERROR) đúng với "không xác định".
✦Hàm ngược sin⁻¹, cos⁻¹ tìm góc. Chú ý: sin⁻¹ chỉ trả về góc nhọn; góc tù cùng sin là 180° trừ góc máy cho. Ví dụ: sin⁻¹(0,6) ≈ 36,87° nên góc tù là ≈ 143,13°.
✦cot không có phím riêng: tính cot α bằng 1/tan α (hoặc cos α/sin α).

✏️ Luyện tập

Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.

🌓

Nửa đường tròn đơn vị và định nghĩa

1
Nhận biết
Điểm M(x₀; y₀) trên nửa đường tròn đơn vị ứng với góc α. Khi đó cos α bằng
2
Thông hiểu
Với 0° ≤ α ≤ 180°, khẳng định nào sau đây luôn đúng?
3
Thông hiểu
Góc α tù (90° < α < 180°). Dấu của sin α, cos α, tan α lần lượt là
4
Thông hiểu
Giá trị nào sau đây không xác định?
5
Nhận biết Điểm M(0; 1) thuộc nửa đường tròn đơn vị và ứng với góc α. Khi đó α = °.

🪞

Hai góc bù nhau

1
Nhận biết
sin(180° − α) bằng
2
Thông hiểu
cos 135° bằng
3
Thông hiểu Giá trị của A = sin 150° + cos 120° bằng .
4
Thông hiểu
Biết sin 20° ≈ 0,342 và cos 20° ≈ 0,940. Khi đó cos 160° xấp xỉ
5
Vận dụng
Giá trị của A = sin 30° + sin 150° + cos 60° + cos 120° bằng
6
Vận dụng
Trong tam giác ABC, sin A bằng

📐

Giá trị của các góc đặc biệt

1
Thông hiểu
tan 120° bằng
2
Thông hiểu Giá trị của sin 90° + cos 180° + cos 0° bằng .
3
Thông hiểu
Góc α ∈ [0°; 180°] có cos α = −12 thì α bằng
4
Vận dụng Có bao nhiêu góc α ∈ [0°; 180°] thoả sin α = 12? Đáp số:

🧩

Hệ thức cơ bản

1
Nhận biết
Hệ thức nào sau đây đúng với mọi góc α?
2
Thông hiểu
Cho sin α = 35 với 90° < α < 180°. Khi đó cos α bằng
3
Thông hiểu
Cho cos α = −45 với 0° ≤ α ≤ 180°. Khi đó sin α bằng
4
Vận dụng Giá trị của sin²30° + cos²150° + sin²150° + cos²30° bằng .
5
Vận dụng
Cho sin α = 45 (không biết α nhọn hay tù). Giá trị của cos α là

🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp

Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.

🅰️

Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn

1
Thông hiểu
Cho cos α = −513 với 0° ≤ α ≤ 180°. Khi đó sin α và tan α lần lượt là
2
Vận dụng
Cho tan α = −2 với 90° < α < 180°. Giá trị của cos α là
3
Vận dụng
Cho sin α = 13 với α là góc tù. Giá trị của tan α là

✅

Phần II · Đúng / sai

1
Thông hiểu
Xét góc α = 150°.

a)sin 150° = 12.

b)cos 150° = √32.

c)tan 150° = −√33.

d)cos 30° + cos 150° = √3.
2
Vận dụng
Cho góc α ∈ [0°; 180°] thoả sin α = 35.

a)Nếu α nhọn thì cos α = 45.

b)Nếu α tù thì cos α = 45.

c)Nếu α tù thì tan α = −34.

d)Chỉ có đúng một góc α ∈ [0°; 180°] thoả sin α = 35.

🔢

Phần III · Trả lời ngắn

1
Thông hiểu Cho sin α = 0,6 với α là góc tù. Tính 10·cos α. Đáp số:
2
Vận dụng Tính T = cos 10° + cos 20° + cos 30° + … + cos 170° (các góc cách nhau 10°). Đáp số:
3
Vận dụng Cho tan α = 3. Tính P = 2 sin α + cos αsin α − cos α. Đáp số:

🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?

•Là nền trực tiếp cho bài 6 (hệ thức lượng trong tam giác): định lí côsin cần cos của góc tù (âm), định lí sin và diện tích ½bc sin A cần sin; sang tích vô hướng (bài 11) công thức $a \cdot b = ∣ a ∣∣ b ∣ cos (a, b)$ dùng chính cos của góc 0° đến 180° ở đây.
•Lên lớp 11, 12 các giá trị này tiếp tục dùng khi tính góc giữa hai vectơ, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng; bài kiểm tra trên lớp thường có câu tính giá trị biểu thức chứa góc đặc biệt và góc bù, câu cho sin (hoặc cos) rồi tìm các giá trị còn lại, và câu tìm góc.
•Hay có bẫy chọn dấu của cos theo khoảng của góc, và bẫy "sin = a có hai góc": đây là chỗ dễ mất điểm của bài.

Làm đề thi thử trọn bộ

Chủ đề tiếp theo
Hệ thức lượng trong tam giác