Chủ đề 6 · Học kỳ 1 ⭐ Hay ra thi tốt nghiệp

Hệ thức lượng trong tam giác

Chọn đúng định lí côsin hay định lí sin theo dữ kiện, tính diện tích bằng ba cách, biết khi nào có hai tam giác, và giải bài toán đo đạc.

Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 6

⚡ Nhớ nhanh

1Quy ước: cạnh a đối diện đỉnh A, b đối diện B, c đối diện C. Mọi hệ thức dưới đây đều dựa vào quy ước này.
2Định lí côsin: a² = b² + c² − 2bc·cos A. Dùng khi biết hai cạnh và góc xen giữa, hoặc ba cạnh (tìm góc).
3Định lí sin: $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R$ , R là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Dùng khi biết một cạnh và hai góc, hoặc hai cạnh và góc đối của một cạnh.
4Diện tích: S = ½bc·sin A; Heron $S = p (p - a) (p - b) (p - c)$ với p là nửa chu vi; $S = \frac{ab c}{4 R}$ ; S = pr (r là bán kính nội tiếp).
5Hai cạnh và một góc đối có thể ra hai tam giác vì sin α = sin(180° − α). Còn lại các kiểu dữ kiện cho đúng một tam giác.
6Thói quen chống sai: xong bài thì thử lại bằng một định lí khác (tính cạnh bằng côsin thì kiểm góc bằng sin).

👀 Nhìn là hiểu

Chọn từng nút mẫu rồi bấm + / − đổi từng số và nhìn tam giác thay đổi cùng các kết quả a, S, r, R. Nút "A = 30°, a = 5, b = 8" là bẫy: hình hiện hai tam giác, không phải một. Thử cả "A = 120°" để thấy góc tù đối diện cạnh lớn nhất trước khi đọc lý thuyết.

b = 8

c = 5

A = 60°

Góc A, B, C	60° · 81,79° · 38,21°
Diện tích S	17,32
r = S/p	1,73
R = a/(2sin A)	4,04

b = 8, c = 5, A = 60°

Biết hai cạnh và góc XEN GIỮA ⇒ định lí côsin: a² = 8² + 5² − 2·8·5·cos 60° = 64 + 25 − 40 = 49 ⇒ a = 7. Diện tích S = ½·b·c·sin A = ½·8·5·(√3)/2 = 10√3 ≈ 17,32.

1 📐 Định lí côsin

Cần nhớ

✦a² = b² + c² − 2bc·cos A, và hai bản sao b² = a² + c² − 2ac·cos B, c² = a² + b² − 2ab·cos C. Ví dụ: b = 8, c = 5, A = 60° ⇒ a² = 64 + 25 − 40 = 49.
✦Cạnh a đứng cùng góc A đối diện nó; b, c là hai cạnh kẹp góc A. Ghép sai cặp thì công thức vô nghĩa.
✦Dạng đảo tìm góc khi biết ba cạnh: $cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$ . Ví dụ: 3; 5; 7 cho cos A = −1530 = −12.
✦cos A âm ⇔ A là góc tù. Góc tù luôn đối diện cạnh lớn nhất. Ví dụ: A = 90° thì cos A = 0 và công thức chính là Pythagore.

Dạng bài

Tính cạnh thứ ba khi biết hai cạnh và góc xen giữa

1 Xác định cạnh cần tìm và góc đối diện nó; hai cạnh còn lại là hai cạnh kẹp góc đó.
2 Viết a² = b² + c² − 2bc·cos A, thay số (chú ý dấu của cos A).
3 Tính a² rồi lấy căn.
4 Thử lại: cạnh vừa tìm phải nhỏ hơn tổng hai cạnh kia và lớn hơn hiệu của chúng.

⚠️ Bẫy hay gặp: Với A = 120° thì cos A = −0,5, dấu trừ trước 2bc·cos A đổi thành cộng: b = 3, c = 5 cho a² = 9 + 25 + 15 = 49, a = 7. Quên dấu của cos ra a² = 19, sai.

📐

Làm mẫu

Tam giác ABC có b = 8, c = 5, A = 60°. Tính a.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Dạng bài

Tìm góc khi biết ba cạnh

1 Chọn góc cần tìm, gọi cạnh đối diện là a (số nằm một mình ở tử số: b² + c² − a²).
2 Tính $cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$ .
3 Xét dấu: âm thì góc tù, dương thì góc nhọn; đổi ra độ.
4 Thử lại: góc lớn nhất đối diện cạnh lớn nhất; cos ra ngoài [−1; 1] thì ba cạnh không lập được tam giác.

⚠️ Bẫy hay gặp: Lấy nhầm cạnh a ở tử số: dùng 3² + 7² − 5² = 33 rồi chia 2·3·7 = 42 được cos ≈ 0,79, ra góc ≈ 38°. Đó là góc đối diện cạnh 5, không phải cạnh 7.

🎯

Làm mẫu

Tam giác có ba cạnh 3; 5; 7. Tìm góc đối diện cạnh 7.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Nhận dạng tam giác theo cạnh lớn nhất a

So sánh	Góc A	Ví dụ
a² < b² + c²	Nhọn (cos A > 0)	4; 5; 6: 36 < 41 nên nhọn
a² = b² + c²	Vuông (cos A = 0)	3; 4; 5: 25 = 9 + 16
a² > b² + c²	Tù (cos A < 0)	4; 5; 7: 49 > 41 nên tù

2 🌀 Định lí sin

Cần nhớ

✦a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R. Ví dụ: a = 10, A = 30° ⇒ 100,5 = 20 = 2R ⇒ R = 10.
✦Tỉ số này bằng 2R, không phải R. Nhầm chỗ này thì mọi bán kính ra đúng một nửa mà vẫn trông hợp lí.
✦Tổng ba góc bằng 180°: biết hai góc là tính được góc thứ ba. Ví dụ: A = 50°, B = 70° ⇒ C = 60°.
✦Bẫy hai đáp số: sin α = sin(180° − α), nên sin B = 0,8 cho B ≈ 53° hoặc B ≈ 127°. Phải kiểm cả hai bằng điều kiện A + B < 180°.

Dạng bài

Giải tam giác khi biết một cạnh và hai góc

1 Tính góc còn lại bằng 180° trừ hai góc đã biết.
2 Viết tỉ số a/sin A = 2R, từ đó tính 2R và R.
3 Mỗi cạnh còn lại bằng 2R·sin (góc đối diện).
4 Thử lại: dùng định lí côsin kiểm một cạnh vừa tìm.

⚠️ Bẫy hay gặp: Viết a/sin A = R rồi ra R = 8 là sai: tỉ số bằng 2R, nên R = 4. Kiểm nhanh: 2R·sin A = 8·0,5 = 4 = a ✓, còn với R = 8 thì 16·0,5 = 8 ≠ 4.

🌀

Làm mẫu

Tam giác ABC có A = 30°, B = 120°, a = 4. Tìm C, R và b.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Dạng bài

Hai cạnh và một góc đối: có mấy tam giác?

1 Tính sin của góc cần tìm: sin B = b·sin A/a.
2 Nếu sin B > 1 thì không có tam giác.
3 Nếu sin B ≤ 1, lấy cả góc nhọn B₁ và góc tù B₂ = 180° − B₁.
4 Giữ lại góc nào còn có A + B < 180°; nếu a ≥ b thì B không thể tù, chỉ còn một tam giác.

⚠️ Bẫy hay gặp: Bấm máy tính sin⁻¹(0,8) chỉ ra góc nhọn 53°, nên nhiều bạn bỏ sót tam giác thứ hai. Ngược lại, đừng lấy luôn hai nghiệm khi a ≥ b: A = 30°, a = 8, b = 5 cho sin B = 0,3125, nhưng b < a nên B < A = 30°, B chỉ có thể là góc nhọn ≈ 18,2° (một tam giác).

🎯

Làm mẫu

Tam giác ABC có A = 30°, a = 5, b = 8. Tìm góc B.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

3 🔺 Các công thức diện tích

Đề cho gì thì chọn công thức nào

Biết	Dùng	Ví dụ
Hai cạnh và góc xen giữa	S = ½bc·sin A	b = 8, c = 5, A = 60°: S = 10√3
Ba cạnh	Heron: S = √(p(p − a)(p − b)(p − c))	13; 14; 15: S = 84
Ba cạnh và R	S = abc/(4R)	6; 8; 10, R = 5: S = 24
Nửa chu vi và r	S = p·r	S = 84, p = 21: r = 4

Cần nhớ

✦Nửa chu vi p = a + b + c2. Ví dụ: 13; 14; 15 ⇒ p = 21.
✦S = pr với r là bán kính đường tròn nội tiếp, còn R (ngoại tiếp) nằm trong abc/(4R) và định lí sin. Hai chữ khác nhau, đừng lẫn.
✦Từ S suy ra hai bán kính: r = S/p và R = abc/(4S). Ví dụ: 13; 14; 15 ⇒ r = 8421 = 4, R = 2730336 = 8,125.

Dạng bài

Tính diện tích và các bán kính khi biết ba cạnh

1 Tính nửa chu vi p = a + b + c2.
2 Tính S bằng Heron.
3 Suy ra r = S/p và R = abc/(4S).
4 Thử lại: có góc vuông thì S = ½·(hai cạnh góc vuông), hoặc kiểm S = ½bc·sin A.

⚠️ Bẫy hay gặp: Lấy p = 42 (chu vi) vào Heron thì (42 − 13)(42 − 14)(42 − 15) rất lớn và S ra sai hẳn. Ba thừa số p − a, p − b, p − c là các số 8, 7, 6, cộng lại bằng đúng p = 21.

🔺

Làm mẫu

Tam giác có ba cạnh a = 13, b = 14, c = 15. Tính S, r và R.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Dạng bài

Tính diện tích khi biết hai cạnh và góc xen giữa

1 Xác định hai cạnh kẹp góc đã cho.
2 Viết S = ½·(cạnh)·(cạnh)·sin (góc).
3 Thay số, giữ nguyên căn nếu đề không yêu cầu làm tròn.
4 Thử lại: sin của góc tù và góc bù với nó bằng nhau nên S không đổi.

⚠️ Bẫy hay gặp: Dùng cos thay cho sin: ½·3·5·cos 120° = −3,75 ra diện tích âm, vô lí. Diện tích của hai cạnh kẹp góc luôn dùng sin.

🎯

Làm mẫu

Tam giác có b = 3, c = 5, A = 120°. Tính S.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

4 🏞️ Giải tam giác và bài toán đo đạc

Cần nhớ

✦Giải tam giác là tìm cả ba cạnh và ba góc từ vài dữ kiện.
✦Đề cho hai cạnh và góc xen giữa hoặc ba cạnh ⇒ bắt đầu bằng côsin. Ví dụ: 300 m, 400 m, kẹp góc 60°.
✦Đề cho một cạnh và hai góc ⇒ sin. Ví dụ: đứng ở hai điểm, đo hai góc nhìn tới cùng một vật.
✦Bài thực tế: vẽ hình, đặt tên a, b, c đúng quy ước, ghi đơn vị và làm tròn theo đề.

Dạng bài

Đo khoảng cách hai điểm không tới được

1 Chọn điểm C tới được cả hai điểm A, B; đo CA, CB và góc ACB.
2 Đặt cạnh cần tìm là AB, đối diện góc C, rồi dùng côsin: AB² = CA² + CB² − 2·CA·CB·cos C.
3 Tính, lấy căn, làm tròn theo đề.
4 Thử lại: AB phải nằm giữa |CA − CB| và CA + CB.

⚠️ Bẫy hay gặp: Dùng nhầm góc: cạnh AB phải ghép với góc C đối diện nó. Ghép với góc A hay B thì không có công thức nào đúng.

🏞️

Làm mẫu

Hai điểm A, B nằm hai bên một hồ. Từ C đo được CA = 200 m, CB = 300 m, góc ACB = 60°. Tính AB (làm tròn đến mét).

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Dạng bài

Đo chiều cao vật không tới được chân

1 Đứng ở A đo góc nâng tới đỉnh T, tiến thẳng về phía chân tháp tới B rồi đo lại, đo luôn đoạn AB.
2 Trong tam giác ABT, tìm góc ở T bằng góc ngoài ở B trừ góc ở A.
3 Dùng định lí sin hoặc tam giác cân để tìm BT.
4 Chiều cao h = BT·sin (góc nâng ở B). Thử lại bằng cách tính từ A.

⚠️ Bẫy hay gặp: Coi góc trong tam giác ABT tại B là 60° rồi cho góc T = 90° là sai. Góc nâng 60° là góc ngoài của tam giác ABT; góc trong tại B là 180° − 60° = 120°, góc T = 180° − 30° − 120° = 30°.

🗼

Làm mẫu

Từ A nhìn đỉnh tháp T thấy góc nâng 30°. Tiến thẳng về phía chân tháp 30 m tới B thì góc nâng là 60°. Tính chiều cao tháp (làm tròn phần mười).

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

5 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai

⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm

✦Nhìn dữ kiện chọn định lí: cạnh – góc – cạnh hoặc ba cạnh thì côsin; có một cặp (cạnh, góc đối) thì sin.
✦Muốn biết góc nhọn, vuông hay tù: so sánh bình phương cạnh lớn nhất với tổng bình phương hai cạnh kia. Ví dụ: 4; 5; 7 có 49 > 41 nên tù.
✦Tam giác 13; 14; 15 (S = 84, r = 4) và 3; 4; 5, 6; 8; 10 (vuông) hay gặp trong bài tập, nên nhớ sẵn S, r, R của chúng.
✦Cạnh a ≥ b thì góc A ≥ góc B: dùng để bỏ nghiệm B tù khi dùng định lí sin.

⚠️ Lỗi hay sai nhất

✦Viết a/sin A = R. Phản ví dụ: a = 10, A = 30° cho 100,5 = 20 = 2R, R = 10 chứ không phải 20.
✦Quên dấu của cos khi góc tù. Phản ví dụ: b = 3, c = 5, A = 120° cho a² = 9 + 25 + 15 = 49, không phải 19.
✦Lấy p là chu vi trong Heron. Phản ví dụ: 13; 14; 15 có p = 21, không phải 42.
✦Lấy luôn một đáp số góc khi dùng định lí sin với hai cạnh và góc đối. Phản ví dụ: sin B = 0,8 cho cả 53° và 127°.
✦Dùng sai cặp cạnh – góc: cạnh a phải đi với góc A đối diện nó, không phải với góc kề.
✦Lẫn R (ngoại tiếp) với r (nội tiếp). Ví dụ: 13; 14; 15 có r = 4 nhưng R = 8,125.

🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)

✦Đặt máy ở chế độ độ (Degree), không phải radian; tính sin, cos, và bấm hàm ngược để ra góc.
✦Chế độ tính toán thông thường với nút căn và nút nhớ (STO) để lưu p, S, rồi dùng lại cho r và R.
✦Hàm sin⁻¹ chỉ trả góc nhọn: nếu bài có thể có góc tù thì tự lấy thêm 180° trừ góc đó.

✏️ Luyện tập

Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.

📐

Định lí côsin

1
Nhận biết
Định lí côsin trong tam giác ABC (cạnh a đối diện A) là
2
Thông hiểu Tam giác có b = 6, c = 10, A = 60°. Khi đó a² = .
3
Thông hiểu
Tam giác ABC có AB = 5, AC = 8, BC = 7. Góc A bằng
4
Thông hiểu
Tam giác ABC có BC = 7, CA = 3, AB = 5. Góc A bằng
5
Thông hiểu
Tam giác có ba cạnh 4; 5; 7 là

🌀

Định lí sin

1
Nhận biết
Trong định lí sin, a/sin A bằng (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp)
2
Nhận biết Tam giác ABC có A = 50°, B = 70°. Khi đó C = độ.
3
Thông hiểu Tam giác ABC có a = 10, A = 30°. Bán kính đường tròn ngoại tiếp R = .
4
Thông hiểu
Tam giác ABC có A = 30°, B = 45°, a = 5. Cạnh b bằng
5
Vận dụng
Tam giác ABC có A = 30°, a = 5, b = 8. Số tam giác thoả mãn là
6
Vận dụng Tam giác ABC có A = 30°, a = 3, b = 8. Số tam giác thoả mãn là .

🔺

Diện tích và bán kính

1
Nhận biết
Trong công thức Heron, p là
2
Thông hiểu Tam giác có b = 8, c = 5, A = 60°. Diện tích S (làm tròn phần mười) = .
3
Thông hiểu Tam giác có ba cạnh 13; 14; 15. Diện tích S = .
4
Thông hiểu Tam giác 13; 14; 15 có S = 84. Bán kính đường tròn nội tiếp r = .
5
Thông hiểu
Tam giác có ba cạnh 6; 8; 10 và bán kính ngoại tiếp R = 5. Diện tích bằng
6
Vận dụng Tam giác 13; 14; 15 có S = 84. Bán kính ngoại tiếp R (làm tròn phần mười) = .
7
Vận dụng Tam giác có hai cạnh 6 và 8, diện tích 12√3, góc xen giữa là góc nhọn. Góc xen giữa bằng độ.

🏞️

Giải tam giác, đo đạc

1
Thông hiểu Tam giác có b = 3, c = 5, A = 120°. Diện tích S (làm tròn phần mười) = .
2
Thông hiểu
Tam giác đều cạnh 6 có bán kính đường tròn ngoại tiếp R bằng
3
Vận dụng Từ C đo CA = 300 m, CB = 400 m, góc ACB = 60°. Khoảng cách AB (làm tròn đến mét) = m.
4
Vận dụng Từ A nhìn đỉnh tháp thấy góc nâng 30°; tiến thẳng về phía chân tháp 40 m tới B thì góc nâng là 60°. Chiều cao tháp (làm tròn đến mét) = m.

🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp

Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.

🅰️

Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn

1
Thông hiểu
Tam giác có ba cạnh 13; 14; 15. Côsin của góc đối diện cạnh 15 bằng
2
Vận dụng
Tam giác ABC có B = 45°, C = 75°, a = 6. Cạnh b bằng
3
Vận dụng
Tam giác có ba cạnh 7; 8; 9. Diện tích bằng

✅

Phần II · Đúng / sai

1
Thông hiểu
Cho tam giác ABC có a = 13, b = 14, c = 15.

a)Góc C là góc lớn nhất của tam giác.

b)Nửa chu vi p = 42.

c)Diện tích S = 84.

d)Bán kính đường tròn ngoại tiếp R = 4.
2
Vận dụng
Cho tam giác ABC có A = 30°, a = 5, b = 8.

a)sin B = 0,8.

b)Góc B chỉ có thể bằng khoảng 53°.

c)Tồn tại tam giác thoả mãn đề với B ≈ 127°.

d)Nếu đổi b = 12 (giữ A = 30°, a = 5) thì vẫn có hai tam giác.

🔢

Phần III · Trả lời ngắn

1
Thông hiểu Tam giác có ba cạnh 3; 5; 7. Góc lớn nhất bằng bao nhiêu độ? Đáp số:
2
Thông hiểu Tam giác cân có ba cạnh 5; 5; 6. Diện tích bằng bao nhiêu? Đáp số:
3
Vận dụng Hai tàu rời cảng cùng lúc theo hai hướng lập góc 60°; tàu thứ nhất đi 30 km/h, tàu thứ hai đi 40 km/h. Sau 2 giờ hai tàu cách nhau bao nhiêu km (làm tròn đến km)? Đáp số:

🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?

•Là nền cho bài toán thực tế đo đạc (khoảng cách qua hồ, chiều cao tháp), cho hình học toạ độ Oxy ở chương sau (khoảng cách, góc giữa hai đường thẳng) và cho cách tính độ dài, góc bằng toạ độ trong Oxyz ở lớp 12.
•Trong bài kiểm tra trên lớp thường có câu giải tam giác (chọn côsin hay sin theo dữ kiện), câu tính diện tích, r, R của tam giác cho ba cạnh, và câu hỏi số tam giác khi cho hai cạnh với góc đối.
•Bài thực tế hay có phần làm tròn: bước dễ mất điểm là ghép sai cạnh với góc đối diện, quên dấu của cos khi góc tù, hay lấy p là chu vi.

Làm đề thi thử trọn bộ

Chủ đề tiếp theo
Các khái niệm mở đầu