Chủ đề 18 · Học kỳ 2

Phương trình quy về phương trình bậc hai

Giải phương trình chứa căn bằng cách bình phương hai vế, đặt đúng điều kiện và loại nghiệm ngoại lai.

Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 18

⚡ Nhớ nhanh

1√(f(x)) = g(x) ⇔ {g(x) ≥ 0; f(x) = g(x)²}. Điều kiện vế phải không âm là bắt buộc, vì căn luôn không âm.
2√(f(x)) = √(g(x)) ⇔ {f(x) = g(x); f(x) ≥ 0} (hoặc g(x) ≥ 0, chọn vế đơn giản hơn để đặt điều kiện).
3Bình phương hai vế không phải phép biến đổi tương đương ⇒ có thể sinh nghiệm ngoại lai (nghiệm giả, không thoả phương trình gốc).
4Cách chắc ăn nhất: sau khi giải ra nghiệm, thay vào phương trình gốc (hoặc đối chiếu điều kiện) để loại nghiệm ngoại lai.
5√(x²) = |x|, không phải x. Với x âm thì √(x²) = −x.
6Thói quen chống sai: luôn viết điều kiện trước khi bình phương, và luôn thử lại ở bước cuối.

👀 Nhìn là hiểu

Hai cột song song: cột trái bình phương hai vế ra phương trình bậc hai, cột phải thử từng nghiệm vào phương trình gốc — nghiệm ngoại lai bị gạch đỏ. Bật "điều kiện vế phải" để thấy loại ngay từ đầu mà không cần thử. Mẫu √(x+3) = x−3: x = 1 bị loại vì vế phải −2 < 0, chỉ x = 6 ở lại.

Bước 1 — biến đổi

Bình phương hai vế: x + 3 = (x − 3)²

Bước 2 — thử lại vào phương trình GỐC

Bấm hết các bước biến đổi bên trái đã.

√(x + 3) = x − 3

Vế trái là căn nên luôn ≥ 0, kéo theo vế phải cũng phải ≥ 0. Với x = 1 thì vế phải bằng −2 < 0: nghiệm NGOẠI LAI, sinh ra do phép bình phương. Phương trình chỉ có một nghiệm x = 6.

1 🟰 Hai căn bằng nhau

Cần nhớ

✦√(f(x)) = √(g(x)) ⇔ {f(x) = g(x); f(x) ≥ 0}. Hai biểu thức dưới căn bằng nhau thì bản thân chúng không âm là đủ, không cần đặt riêng từng điều kiện.
✦Chọn vế nào đơn giản hơn để viết điều kiện không âm, miễn là đúng một vế.
✦Ví dụ: √(2x+1) = √(x+4) ⇔ {2x+1 = x+4; x+4 ≥ 0} ⇔ x = 3 (thoả x+4 = 7 ≥ 0).

Dạng bài

Giải phương trình hai căn bằng nhau

1 Đặt điều kiện: một trong hai biểu thức dưới căn không âm.
2 Bình phương hai vế: f(x) = g(x).
3 Giải phương trình, đối chiếu điều kiện.
4 Thử lại: thay nghiệm vào cả hai vế của phương trình gốc ✓.

⚠️ Bẫy hay gặp: Quên đặt điều kiện mà vẫn ra đúng nghiệm (vì hai vế cùng là căn, dễ "trùng hợp" đúng) — nhưng với đề khác thiếu điều kiện có thể nhận nhầm nghiệm ngoại lai. Luôn viết điều kiện trước khi bình phương.

🟰

Làm mẫu

Giải phương trình √(2x+1) = √(x+4).

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

2 🧩 Căn bằng một biểu thức

Cần nhớ

✦√(f(x)) = g(x) ⇔ {g(x) ≥ 0; f(x) = g(x)²}. Điều kiện g(x) ≥ 0 quan trọng hơn f(x) ≥ 0, vì f(x) ≥ 0 tự có sau khi bình phương.
✦Thiếu điều kiện g(x) ≥ 0 là lỗi hay gặp nhất của cả chủ đề: phương trình bậc hai sau khi bình phương có thể cho nghiệm mà vế phải âm — nghiệm đó phải loại.
✦Ví dụ: √(x+3) = x−3 cần x − 3 ≥ 0, tức x ≥ 3.

Dạng bài

Giải phương trình √(f(x)) = g(x)

1 Đặt điều kiện g(x) ≥ 0.
2 Bình phương hai vế: f(x) = g(x)².
3 Đưa về phương trình bậc hai, giải ra nghiệm.
4 Đối chiếu điều kiện g(x) ≥ 0 (hoặc thử lại vào phương trình gốc), loại nghiệm không thoả.

⚠️ Bẫy hay gặp: Giải ra x = 1 và x = 6 rồi nhận cả hai. Thử lại x = 1: vế phải 1 − 3 = −2 < 0, vô lí vì căn không âm ⇒ nghiệm ngoại lai, phải loại.

🧩

Làm mẫu

Giải phương trình √(x+3) = x−3.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Bình phương sinh nghiệm ngoại lai vì sao

Chiều	Đúng không
a = b ⇒ a² = b²	Luôn đúng
a² = b² ⇒ a = b	Sai — chỉ cho a = ±b, chiều ngược rộng hơn
√f = g với g < 0	Vô lí ngay từ đầu, nhưng sau bình phương lại "hợp lệ"

3 ✅ Giải phương trình đầy đủ bước

Cần nhớ

✦Quy trình chuẩn: đặt điều kiện → bình phương → giải → đối chiếu/thử lại → kết luận.
✦√(x²) = |x|, không phải x. Với x = −3 thì √9 = 3, không phải −3.
✦Thử lại phải cho đẳng thức đúng chính xác, không phải "gần đúng".

Dạng bài

Loại nghiệm ngoại lai khi cả hai nghiệm đều ra từ bình phương

1 Đặt điều kiện g(x) ≥ 0 trước khi bình phương.
2 Bình phương, giải phương trình bậc hai, có thể ra hai nghiệm.
3 Thử từng nghiệm vào điều kiện g(x) ≥ 0 (hoặc vào phương trình gốc).
4 Kết luận chỉ giữ nghiệm thoả.

⚠️ Bẫy hay gặp: Thấy phương trình bậc hai có hai nghiệm là vội kết luận phương trình căn cũng có hai nghiệm. Phải đối chiếu điều kiện cho từng nghiệm — có bài chỉ một nghiệm thoả, có bài không nghiệm nào thoả.

✅

Làm mẫu

Giải phương trình √(3x−2) = x.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

4 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai

⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm

✦Thấy √(f(x)) = g(x): viết ngay điều kiện g(x) ≥ 0 trước khi động vào biểu thức dưới căn.
✦Hai nghiệm từ phương trình bậc hai thì thử cả hai, đừng đoán nghiệm nào đúng.
✦Phương trình trắc nghiệm thường chỉ có một đáp số đúng sau khi loại — đáp án có hai nghiệm trở lên mà đề không nói "hoặc" thì nên nghi ngờ.
✦Thử lại bằng cách thế số, nhanh hơn đối chiếu điều kiện bằng chữ.

⚠️ Lỗi hay sai nhất

✦Bình phương rồi lấy luôn mọi nghiệm, không thử lại. Phản ví dụ: √(x+3) = x−3 nhận nhầm x = 1.
✦Với √(f(x)) = g(x) chỉ đặt điều kiện f(x) ≥ 0, quên g(x) ≥ 0. Phản ví dụ: g(x) ≥ 0 mới là điều kiện bắt buộc.
✦Viết √(x²) = x. Phản ví dụ: x = −3 cho √9 = 3 ≠ −3.
✦Thử lại bằng số gần đúng rồi chấp nhận. Đẳng thức phải đúng chính xác.
✦Quên đổi dấu khi chuyển vế trước khi bình phương, ví dụ viết nhầm (x−3)² thành x² − 9.
✦Kết luận "phương trình bậc hai có hai nghiệm nên phương trình căn cũng có hai nghiệm" mà không đối chiếu từng nghiệm.

🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)

✦Chế độ tính biểu thức: nhập trực tiếp cả hai vế của phương trình gốc với giá trị x vừa tìm, so hai kết quả có bằng nhau không.
✦Chế độ giải phương trình bậc hai: dùng để giải nhanh phương trình sau khi bình phương, rồi thử lại từng nghiệm bằng tay.

✏️ Luyện tập

Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.

🟰

Hai căn bằng nhau

1
Nhận biết
Phương trình √(f(x)) = √(g(x)) tương đương với hệ nào?
2
Thông hiểu Phương trình √(2x+1) = √(x+4) có nghiệm x = .
3
Thông hiểu
Giải √(3x−5) = √(x+1) được
4
Vận dụng
Phương trình √(x²−4) = √(3x) có bao nhiêu nghiệm thoả x ≥ 0?
5
Nhận biết
Phương trình √(x + 5) = √(2x − 1) có điều kiện là

🧩

Căn bằng một biểu thức

1
Nhận biết
Khi giải √(f(x)) = g(x), điều kiện bắt buộc là
2
Nhận biết
√(x²) bằng
3
Thông hiểu
Nghiệm của √(x+1) = x−1 là
4
Thông hiểu Phương trình √(x+3) = x−3 có nghiệm x = (sau khi loại nghiệm ngoại lai).
5
Thông hiểu
Nghiệm ngoại lai xuất hiện vì
6
Vận dụng Phương trình √(2x−1) = 1−x có nghiệm x = 2 − (loại nghiệm còn lại vì vế phải âm).
7
Thông hiểu
Phương trình √(4x + 1) = x + 1 có nghiệm là

✅

Giải đầy đủ bước

1
Thông hiểu Phương trình √(3x−2) = x có hai nghiệm là x = 1 và x = .
2
Thông hiểu
Giải √(x−1) = 3 được
3
Vận dụng
Phương trình √(x+6) = x có bao nhiêu nghiệm?
4
Vận dụng Phương trình √(x²−x−4) = √(2x−4) có nghiệm x = (sau khi loại nghiệm không thoả).
5
Vận dụng
Phương trình √(x²+2x−3) = √(3x−3) có nghiệm là
6
Thông hiểu
Phương trình √(x − 2) = 5 có nghiệm là
7
Vận dụng
Phương trình √(2x² − 3x − 5) = √(x² + 2x − 5) có nghiệm là

🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp

Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.

🅰️

Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn

1
Thông hiểu
Phương trình √(x+4) = x−2 có nghiệm là
2
Vận dụng
Phương trình √(2x²+x−1) = √(x²+2x−1) có nghiệm là
3
Vận dụng
Số nghiệm của phương trình √(x−2) = 4−x là

✅

Phần II · Đúng / sai

1
Thông hiểu
Cho phương trình √(x+3) = x−3.

a)Điều kiện của phương trình là x ≥ 3.

b)Bình phương hai vế được x² − 7x + 6 = 0.

c)Phương trình có hai nghiệm là x = 1 và x = 6, cả hai đều nhận.

d)Nghiệm duy nhất của phương trình là x = 6.
2
Vận dụng
Cho phương trình √(3x−2) = x.

a)Điều kiện của phương trình là x ≥ 0.

b)Bình phương hai vế được x² − 3x + 2 = 0.

c)Phương trình có đúng một nghiệm.

d)Tổng các nghiệm của phương trình bằng 3.

🔢

Phần III · Trả lời ngắn

1
Vận dụng Phương trình √(x+1) = x−1 có nghiệm duy nhất x = (sau khi loại nghiệm ngoại lai).
2
Vận dụng Phương trình √(2x+1) = √(x+4) có nghiệm x = .
3
Vận dụng Phương trình √(x²−4) = √(3x) có nghiệm x = (loại nghiệm âm).

🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?

•Là nền cho bất phương trình, hệ phương trình chứa căn ở lớp 11–12 và cho thói quen "đặt điều kiện trước, thử lại sau" dùng lại ở mọi phương trình không tương đương (phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, phương trình log).
•Trong đề thường hỏi: một câu nhận ra điều kiện đúng của phương trình chứa căn (phần I), và một câu giải trọn vẹn rồi chọn nghiệm đúng sau khi loại nghiệm ngoại lai (phần I hoặc III).
•Lỗi hay mất điểm nhất: quên đặt điều kiện vế phải không âm, hoặc bình phương xong lấy luôn cả hai nghiệm mà không thử lại.

Làm đề thi thử trọn bộ

Chủ đề tiếp theo
Phương trình đường thẳng