Chủ đề 19 · Học kỳ 2 ⭐ Hay ra thi tốt nghiệp

Phương trình đường thẳng

Phân biệt vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến, viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng, chuyển đổi giữa hai dạng.

Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 19

⚡ Nhớ nhanh

1Vectơ chỉ phương $u$ = (u₁; u₂) có giá song song hoặc trùng với đường thẳng. Vectơ pháp tuyến $n$ = (a; b) vuông góc với đường thẳng.
2Đổi qua lại: đảo chỗ hai toạ độ và đổi dấu một trong hai. $u$ = (u₁; u₂) ⇒ $n$ = (−u₂; u₁) hoặc (u₂; −u₁).
3Phương trình tổng quát ax + by + c = 0: đọc thẳng vectơ pháp tuyến $n$ = (a; b).
4Phương trình tham số: {x = x₀ + u₁t; y = y₀ + u₂t}, cần một điểm (x₀; y₀) và vectơ chỉ phương $u$ = (u₁; u₂).
5Qua hai điểm A, B thì lấy $u = A B$ làm chỉ phương rồi làm như bình thường.
6Thói quen chống sai: viết xong phương trình, thay toạ độ điểm đã biết vào kiểm lại cho ra 0.

👀 Nhìn là hiểu

Kéo điểm M và mũi tên vectơ trên lưới Oxy, bật "chỉ phương" hoặc "pháp tuyến" (hai mũi tên luôn vuông góc nhau) để thấy đồng thời phương trình tham số và tổng quát hiện ra. Chế độ "qua hai điểm" kéo A, B. Mẫu A(1; 2), B(3; −2): $\vec{AB}$ = (2; −4) là vtcp ⇒ vtpt (2; 1) ⇒ 2x + y − 4 = 0.

→ chỉ phương (1; −2) · ⇢ pháp tuyến (2; 1) (vuông góc với đường)

Qua A(1; 2) và B(3; −2)

Phương trình tham số:

x = 1 + t

y = 2 − 2t

Phương trình tổng quát (dùng pháp tuyến (2; 1)):

2x + y − 4 = 0

Qua A(1; 2), B(3; −2)

Vectơ chỉ phương AB = (2; −4), rút gọn thành (1; −2). Xoay 90° được pháp tuyến (2; 1) ⇒ phương trình tổng quát 2(x − 1) + 1(y − 2) = 0, tức 2x + y − 4 = 0. Thay B(3; −2): 6 − 2 − 4 = 0 đúng.

1 🧭 Vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến

Cần nhớ

✦Vectơ chỉ phương nằm dọc theo đường thẳng (song song hoặc trùng giá). Một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương, mọi vectơ cùng phương đều được.
✦Vectơ pháp tuyến vuông góc với đường thẳng, cũng có vô số, đọc thẳng từ hệ số a, b của phương trình ax + by + c = 0.
✦Đổi vtcp (u₁; u₂) sang vtpt: đảo chỗ hai toạ độ, đổi dấu một toạ độ ⇒ (−u₂; u₁) hoặc (u₂; −u₁). Kiểm bằng tích vô hướng: u₁·(−u₂) + u₂·u₁ = 0 ✓.
✦Ví dụ: đường 2x − 3y + 1 = 0 có $n$ = (2; −3), suy ra $u$ = (3; 2) (đảo chỗ, đổi dấu toạ độ đầu).

Dạng bài

Đổi giữa vtcp và vtpt

1 Xác định vectơ đã cho là chỉ phương hay pháp tuyến.
2 Đảo chỗ hai toạ độ, đổi dấu đúng một toạ độ (không đổi dấu cả hai).
3 Kiểm bằng tích vô hướng: vtcp · vtpt = 0.
4 Có thể rút gọn vectơ cho số nhỏ, dễ tính.

⚠️ Bẫy hay gặp: Lấy luôn $n$ = (3; −1) = $u$ (không đảo chỗ, không đổi dấu) là lẫn hai vectơ — đây là lỗi hay gặp nhất của cả chủ đề. Vectơ pháp tuyến phải vuông góc với vectơ chỉ phương.

🧭

Làm mẫu

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương $u$ = (3; −1). Tìm một vectơ pháp tuyến.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

2 📐 Phương trình tổng quát

Cần nhớ

✦Đường qua M(x₀; y₀) với vtpt $n$ = (a; b): a(x − x₀) + b(y − y₀) = 0, rút gọn thành ax + by + c = 0.
✦Qua hai điểm A, B: lấy $u = A B$ làm chỉ phương, đổi sang vtpt rồi viết như trên.
✦Nếu x_A = x_B thì đường thẳng đứng, phương trình là x = x_A (không dùng công thức phân số vì mẫu bằng 0).

Dạng bài

Viết phương trình tổng quát qua hai điểm

1 Tính $A B$ = (x_B − x_A; y_B − y_A), đó là vectơ chỉ phương.
2 Đổi sang vectơ pháp tuyến: đảo chỗ, đổi dấu một toạ độ.
3 Viết a(x − x_A) + b(y − y_A) = 0 với (x_A; y_A) là một điểm đã biết.
4 Rút gọn và thử lại: thay cả A và B vào phương trình, phải ra 0.

⚠️ Bẫy hay gặp: Dùng luôn $A B$ = (2; −4) làm vectơ pháp tuyến (quên đổi sang vtpt) sẽ ra 2x − 4y + c = 0 — sai hẳn phương đường thẳng. Phải đổi qua vtpt trước khi viết phương trình tổng quát.

📐

Làm mẫu

Viết phương trình tổng quát của đường thẳng qua A(1; 2) và B(3; −2).

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Dạng bài

Viết phương trình đường song song, vuông góc với d cho trước

1 Xác định vtpt $n_{d}$ của d (đọc từ hệ số a, b).
2 Song song với d: dùng cùng $n_{d}$ làm vtpt. Vuông góc với d: vtpt của đường mới chính là vtcp của d.
3 Viết phương trình qua điểm đã cho với vtpt vừa xác định.
4 Thử lại: thay điểm đã cho vào phương trình, phải ra 0.

⚠️ Bẫy hay gặp: Vuông góc mà vẫn lấy $n_{d}$ = (3; −1) làm vtpt của đường mới (giống hệt như bài song song) là nhầm — chỉ bài song song mới giữ nguyên vtpt, bài vuông góc phải hoán đổi vai trò hai vectơ.

⊥

Làm mẫu

Viết phương trình đường thẳng qua M(2; −1) và vuông góc với d: 3x − y + 5 = 0.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

3 🧵 Phương trình tham số

Cần nhớ

✦Đường qua M(x₀; y₀) với vtcp $u$ = (u₁; u₂): {x = x₀ + u₁t; y = y₀ + u₂t}, t ∈ ℝ.
✦Mỗi giá trị t cho một điểm trên đường thẳng. t = 0 cho đúng điểm (x₀; y₀).
✦Cần vectơ chỉ phương để viết tham số (khác với tổng quát cần pháp tuyến). Có vtpt thì đổi sang vtcp trước.

Dạng bài

Viết phương trình tham số

1 Xác định một điểm M(x₀; y₀) thuộc đường và vectơ chỉ phương $u$ = (u₁; u₂).
2 Có vtpt thì đổi sang vtcp (đảo chỗ, đổi dấu một toạ độ).
3 Viết {x = x₀ + u₁t; y = y₀ + u₂t}.
4 Thử lại: t = 0 phải cho đúng điểm M.

⚠️ Bẫy hay gặp: Dùng luôn vtpt (1; 1) làm hệ số t trong phương trình tham số (quên đổi sang vtcp) sẽ ra một đường vuông góc với đường đúng, không phải chính nó.

🧵

Làm mẫu

Viết phương trình tham số của đường thẳng qua M(1; 2) với vectơ pháp tuyến $n$ = (1; 1).

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

4 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai

⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm

✦Thấy ax + by + c = 0: đọc ngay vtpt (a; b), không cần tính gì.
✦Đổi vtcp ↔ vtpt chỉ cần nhớ một câu: "đảo chỗ, đổi dấu một đứa".
✦Vuông góc: đổi vai trò hai vectơ. Song song: giữ nguyên vtpt (hoặc vtcp).
✦Qua hai điểm: luôn lấy $A B$ làm chỉ phương trước, đừng vội coi là pháp tuyến.

⚠️ Lỗi hay sai nhất

✦Với d: ax + by + c = 0 lấy $u$ = (a; b). Phản ví dụ: (a; b) là pháp tuyến, chỉ phương là (−b; a) hoặc (b; −a).
✦Nghĩ đường thẳng chỉ có một vectơ chỉ phương. Phản ví dụ: (2; −4), (1; −2), (−1; 2) đều là chỉ phương của cùng một đường.
✦Song song mà dùng chỉ phương của d làm pháp tuyến của mình. Phản ví dụ: song song phải dùng cùng vtpt.
✦Vuông góc mà vẫn giữ nguyên vtpt của d. Phản ví dụ: vuông góc phải hoán đổi vai trò vtcp ↔ vtpt.
✦Viết phương trình qua hai điểm bằng công thức phân số mà không kiểm mẫu = 0. Phản ví dụ: x_A = x_B thì đường đứng x = x_A.
✦Dùng vtpt làm hệ số t trong phương trình tham số. Phản ví dụ: tham số cần vtcp, không phải vtpt.

🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)

✦Chế độ tính biểu thức: thay toạ độ điểm đã biết vào phương trình tổng quát vừa viết, kiểm ra 0.
✦Chế độ Vectơ (nếu máy có): tính tích vô hướng vtcp · vtpt để kiểm bằng 0.
✦Thay t = 0 vào phương trình tham số, kiểm ra đúng điểm đã cho.

✏️ Luyện tập

Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.

🧭

Vectơ chỉ phương, pháp tuyến

1
Nhận biết
Đường thẳng 2x − 3y + 1 = 0 có vectơ pháp tuyến là
2
Thông hiểu
Đường thẳng có $u$ = (3; −1) thì một vectơ pháp tuyến là
3
Nhận biết
Một đường thẳng có bao nhiêu vectơ chỉ phương?
4
Thông hiểu Đường thẳng có vectơ pháp tuyến $n$ = (4; −2) thì một vectơ chỉ phương (rút gọn) là (1; ).
5
Thông hiểu
Hai vectơ nào sau đây vuông góc nhau?
6
Nhận biết
Đường thẳng x − 2y + 5 = 0 có vectơ pháp tuyến là
7
Vận dụng
Vectơ nào sau đây vuông góc với $n$ = (2; 3)?

📐

Phương trình tổng quát

1
Thông hiểu
Đường thẳng qua A(0; 1) với $n$ = (1; 2) có phương trình
2
Thông hiểu Đường thẳng qua A(1; 2) và B(3; −2) có phương trình 2x + y + c = 0 với c = .
3
Thông hiểu
Đường thẳng qua M(2; −1) và vuông góc với d: 3x − y + 5 = 0 có phương trình
4
Thông hiểu
Đường thẳng song song với d: 2x − y + 3 = 0 và đi qua A(1; 1) có phương trình
5
Vận dụng Đường thẳng đi qua A(2; 0) và B(2; 5) có phương trình x = (đường đứng).
6
Thông hiểu
Đường thẳng qua B(−2; 3) với vectơ pháp tuyến $n$ = (3; −1) có phương trình
7
Vận dụng Đường thẳng qua C(0; −3) song song với d: x − 2y + 1 = 0 có phương trình x − 2y + c = 0 với c = .

🧵

Phương trình tham số

1
Nhận biết
Đường thẳng qua M(2; 3) với vtcp $u$ = (1; −2) có phương trình tham số
2
Thông hiểu Đường thẳng tham số {x = 1 + 2t; y = −1 + t} đi qua điểm có t = 2 là (5; ).
3
Thông hiểu
Đường thẳng qua M(1; 2) với vtpt $n$ = (1; 1) có phương trình tham số là
4
Vận dụng Đường thẳng tham số {x = 3 − t; y = 1 + 2t} có một vectơ pháp tuyến là (2; ).
5
Nhận biết
Đường thẳng qua M(−1; 4) với vectơ chỉ phương $u$ = (2; −3) có phương trình tham số

🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp

Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.

🅰️

Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn

1
Thông hiểu
Đường thẳng qua hai điểm A(−1; 2) và B(3; 0) có phương trình
2
Vận dụng
Đường thẳng qua M(−2; 1) và song song với d: x − 3y + 2 = 0 có phương trình
3
Vận dụng
Đường thẳng qua N(1; −2) và vuông góc với d: x + 2y − 4 = 0 có phương trình

✅

Phần II · Đúng / sai

1
Thông hiểu
Cho đường thẳng d đi qua A(1; 2) và B(3; −2).

a) $A B$ = (2; −4).

b)Một vectơ pháp tuyến của d là (2; 1).

c)Phương trình tổng quát của d là 2x + y − 4 = 0.

d)Đường thẳng x − 2y + c = 0 song song với d với mọi c.
2
Vận dụng
Cho đường thẳng d: 3x − y + 5 = 0 và điểm M(2; −1).

a)d có vectơ pháp tuyến (3; −1).

b)d có vectơ chỉ phương (1; 3).

c)Đường thẳng qua M vuông góc với d nhận (3; −1) làm vectơ pháp tuyến.

d)Đường thẳng qua M vuông góc với d có phương trình x + 3y + 1 = 0.

🔢

Phần III · Trả lời ngắn

1
Vận dụng Đường thẳng qua A(1; 2), B(3; −2) có phương trình 2x + y + c = 0. Giá trị c là .
2
Vận dụng Đường thẳng qua M(2; −1) vuông góc với d: 3x − y + 5 = 0 có phương trình x + 3y + c = 0. Giá trị c là .
3
Vận dụng Đường thẳng qua A(−1; 2), B(3; 0) có phương trình x + 2y + c = 0. Giá trị c là .

🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?

•Là nền cho phương trình mặt phẳng và đường thẳng trong không gian Oxyz ở lớp 12: cùng cách nghĩ "điểm + vectơ pháp tuyến", chỉ thêm một chiều.
•Trong đề thường hỏi: một câu đọc hoặc đổi vectơ chỉ phương ↔ pháp tuyến (phần I), một câu viết phương trình qua điểm với điều kiện song song / vuông góc (phần I hoặc III), và câu đúng/sai gộp cả viết phương trình lẫn xét vectơ.
•Lỗi hay mất điểm nhất: lẫn vai trò vtcp và vtpt, nhất là ở bài vuông góc — phải nhớ vuông góc thì hoán đổi vai trò hai vectơ, song song thì giữ nguyên.

Làm đề thi thử trọn bộ

Chủ đề tiếp theo
Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách