Dấu của tam thức bậc hai
Xét dấu của tam thức bậc hai theo dấu của Δ, giải bất phương trình bậc hai và tìm điều kiện của tham số để tam thức không đổi dấu.
Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 17
⚡ Nhớ nhanh
- 1Tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0). Dấu của f(x) đọc trực tiếp từ hình dáng parabol (trên hay dưới trục hoành).
- 2Quy tắc vàng — "trong trái, ngoài cùng": khi Δ > 0 (hai nghiệm x₁ < x₂), giữa hai nghiệm f(x) trái dấu với a; ngoài hai nghiệm f(x) cùng dấu với a.
- 3Δ = 0: f(x) cùng dấu a với mọi x ≠ x₀ = −b/2a, và f(x₀) = 0.
- 4Δ < 0: f(x) luôn cùng dấu với a, với mọi x, không đổi dấu lần nào.
- 5Giải bất phương trình bậc hai ax² + bx + c > 0 (hoặc <, ≥, ≤) là tìm tập x làm f(x) mang đúng dấu yêu cầu, dựa vào quy tắc trên.
- 6Dấu > hay < (ngặt) thì loại hai nghiệm (vì f = 0 tại đó); dấu ≥ hay ≤ thì lấy chúng vào tập nghiệm.
👀 Nhìn là hiểu
Đổi a và Δ để xem parabol cùng dải dấu trên trục x đổi theo ba trường hợp; chọn dấu bất phương trình (>, ≥, <, ≤) thì hình tô tập nghiệm, ngoặc tròn/vuông đổi theo. Mẫu 17: x² − 5x + 6 > 0 có Δ = 1 > 0, hai nghiệm 2 và 3, a > 0 ⇒ S = (−∞; 2) ∪ (3; +∞); thử thêm x² − 5x + 6 ≤ 0 (đổi dấu bất phương trình) và trường hợp a < 0 (bẫy "trong trái ngoài cùng" đảo chiều) trước khi đọc lý thuyết.
Dải + / − là dấu của f(x) · vùng xanh = phần thoả mãn · nghiệm rỗng ruột = KHÔNG lấy
x² − 5x + 6 > 0
a = 1 (lõm lên) · Δ = 1
Δ > 0: f(x) trái dấu a trong khoảng hai nghiệm, cùng dấu a ở ngoài ("trong trái ngoài cùng").
S = (−∞; 2) ∪ (3; +∞)
x² − 5x + 6 > 0
Δ = 25 − 24 = 1 > 0, hai nghiệm x = 2 và x = 3; a = 1 > 0 nên f(x) cùng dấu a (dương) ở NGOÀI hai nghiệm. Tập nghiệm S = (−∞; 2) ∪ (3; +∞).
1 🔀 Quy tắc xét dấu tam thức bậc hai
Cần nhớ
- ✦"Trong trái, ngoài cùng": giữa hai nghiệm x₁ < x₂ thì f(x) trái dấu a; ngoài đoạn [x₁; x₂] thì f(x) cùng dấu a. Cách nhớ chắc nhất là vẽ nhanh parabol rồi nhìn phần trên/dưới trục hoành.
- ✦Δ = 0: nghiệm kép x₀ = −b/2a, f(x) cùng dấu a tại mọi x ≠ x₀, và f(x₀) = 0 (không có khoảng "trong").
- ✦Δ < 0: f(x) không có nghiệm, luôn cùng dấu a với mọi x, không bao giờ đổi dấu.
- ✦Đọc bằng hình: parabol nằm trên trục hoành ⇒ f(x) > 0 (cùng dấu a khi a > 0); nằm dưới trục hoành ⇒ f(x) < 0.
Dạng bài
Xét dấu của một tam thức bậc hai
- 1 Xác định hệ số a, tính Δ = b² − 4ac.
- 2 Nếu Δ < 0: f(x) cùng dấu a với mọi x, kết luận ngay.
- 3 Nếu Δ ≥ 0: tìm nghiệm (một hay hai nghiệm), áp dụng "trong trái, ngoài cùng" (hoặc f ≥ 0/≤0 mọi nơi trừ nghiệm kép nếu Δ = 0).
- 4 Thử lại: thay một giá trị x cụ thể trong mỗi khoảng vào f(x), kiểm dấu có khớp kết luận không.
⚠️ Bẫy hay gặp: Nhớ quy tắc thành "trong cùng, ngoài trái" (đảo ngược) sẽ kết luận sai toàn bộ tập dấu — luôn kiểm lại bằng cách thử một điểm cụ thể như x = 2 ở ví dụ trên.
Xét dấu của f(x) = x² − 4x + 3.
Hướng dẫn giải
2 📏 Giải bất phương trình bậc hai
Cần nhớ
- ✦Giải ax² + bx + c > 0 (hoặc <, ≥, ≤) là tìm tập x làm f(x) mang đúng dấu, dựa vào bảng xét dấu vừa lập.
- ✦Dấu ngặt (>, <) thì loại hai nghiệm khỏi tập nghiệm (vì f = 0 ở đó, không thoả dấu ngặt).
- ✦Dấu không ngặt (≥, ≤) thì lấy hai nghiệm vào tập nghiệm (ngoặc vuông).
- ✦Δ < 0: bất phương trình f(x) > 0 (hay < 0) đúng với mọi x hoặc vô nghiệm, tuỳ dấu a — không cần tìm nghiệm.
Dạng bài
Giải bất phương trình bậc hai
- 1 Đưa bất phương trình về dạng f(x) so với 0, xác định a, tính Δ.
- 2 Tìm nghiệm của f(x) = 0 nếu Δ ≥ 0.
- 3 Dùng "trong trái, ngoài cùng" để xác định miền thoả dấu bất phương trình.
- 4 Thử lại: lấy một điểm trong tập nghiệm vừa tìm, thay vào bất phương trình gốc để kiểm đúng dấu.
⚠️ Bẫy hay gặp: Giải x² − 5x + 6 ≤ 0 (đổi dấu thành ≤) phải lấy phần trong kèm cả hai đầu mút: S = [2; 3], không phải (2; 3) — quên dấu bằng sẽ mất điểm.
Giải bất phương trình x² − 5x + 6 > 0.
Hướng dẫn giải
Bảng xét dấu khi Δ > 0, hai nghiệm x₁ < x₂
| x | (−∞; x₁) | x₁ | (x₁; x₂) | x₂ | (x₂; +∞) |
|---|---|---|---|---|---|
| Dấu f(x) | cùng dấu a | 0 | trái dấu a | 0 | cùng dấu a |
3 🧮 Tìm tham số để tam thức không đổi dấu
Cần nhớ
- ✦f(x) = ax² + bx + c > 0 với mọi x ⇔ a > 0 và Δ < 0 (hai điều kiện phải thoả đồng thời).
- ✦f(x) < 0 với mọi x ⇔ a < 0 và Δ < 0.
- ✦f(x) ≥ 0 với mọi x ⇔ a > 0 và Δ ≤ 0 (cho phép chạm trục hoành tại nghiệm kép).
- ✦Hệ số a chứa tham số (ví dụ (m − 1)x² + …): phải xét riêng trường hợp hệ số bằng 0, vì khi đó biểu thức không còn là tam thức bậc hai.
Dạng bài
Tìm m để tam thức mang một dấu cố định với mọi x
- 1 Xác định hệ số a (chứa m hay không); nếu a chứa m thì xét riêng trường hợp a = 0 trước.
- 2 Với a ≠ 0: viết điều kiện kép "a cùng dấu yêu cầu" và "Δ (< hoặc ≤) 0" theo đúng dấu bất phương trình.
- 3 Giải hệ điều kiện theo m.
- 4 Thử lại: lấy một giá trị m trong khoảng vừa tìm, tính f(x) tại vài điểm để kiểm luôn cùng dấu.
⚠️ Bẫy hay gặp: Với đề (m − 1)x² − 2x + 3 > 0 với mọi x: nếu quên xét m = 1 (khi đó biểu thức thành −2x + 3 > 0, bậc nhất, chỉ đúng với x < 1,5 chứ không phải mọi x) thì sẽ bỏ sót việc loại m = 1 khỏi đáp số.
Tìm m để f(x) = x² − 2mx + 4 > 0 với mọi x.
Hướng dẫn giải
4 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai
⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm
- ✦Nhớ "trong trái, ngoài cùng" bằng hình vẽ parabol trong đầu: a > 0 là chữ U, phần đáy (giữa hai nghiệm) nằm dưới trục nên âm — trái dấu a.
- ✦Δ < 0 thì khỏi cần tìm nghiệm: kết luận ngay dấu theo a, áp dụng cho cả xét dấu lẫn bất phương trình đúng với mọi x.
- ✦Bài "> 0 với mọi x" chỉ cần nhớ công thức kép: a > 0 và Δ < 0 — thiếu một trong hai là sai.
- ✦Dấu ngặt loại hai nghiệm, dấu có bằng giữ hai nghiệm — kiểm lại ngoặc tròn/vuông trước khi chọn đáp án.
⚠️ Lỗi hay sai nhất
- ✦Nhớ ngược thành "trong cùng, ngoài trái". Phản ví dụ: x² − 4x + 3 tại x = 2 (trong khoảng (1; 3)) cho f(2) = −1 < 0, trái dấu a = 1 > 0, đúng là "trong trái" chứ không phải "trong cùng".
- ✦Kết luận f(x) > 0 với mọi x chỉ từ Δ < 0 mà quên xét a. Phản ví dụ: f(x) = −x² + x − 3 có Δ = 1 − 12 = −11 < 0 nhưng a = −1 < 0, nên f(x) luôn âm, không phải luôn dương.
- ✦Quên xét trường hợp hệ số bằng 0 khi hệ số bậc hai chứa tham số. Phản ví dụ: (m − 1)x² + 2x + 1, với m = 1 biểu thức chỉ còn bậc nhất, không còn là tam thức bậc hai.
- ✦Lấy sai dấu ≥/> ở hai đầu mút khi đổi từ bất phương trình ngặt sang không ngặt. Phản ví dụ: x² − 5x + 6 ≤ 0 phải lấy S = [2; 3] (có ngoặc vuông), không phải (2; 3).
- ✦Áp quy tắc "trong trái, ngoài cùng" cả khi Δ ≤ 0 — chỉ áp dụng được khi Δ > 0 (có hai nghiệm phân biệt); Δ = 0 hoặc Δ < 0 phải xét riêng.
- ✦Khi giải bất phương trình bậc hai, quên đưa về dạng so với 0 trước khi xét dấu (ví dụ x² > 5x − 6 phải chuyển vế thành x² − 5x + 6 > 0 trước).
🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)
- ✦Chế độ giải phương trình bậc hai: tìm nhanh nghiệm và dấu Δ để lập bảng xét dấu.
- ✦Chế độ Bảng (TABLE): nhập f(x), cho x chạy quanh các nghiệm để kiểm dấu từng khoảng bằng cách nhìn trực tiếp giá trị.
- ✦Bài tìm tham số m: thử lại bằng cách thay một giá trị m cụ thể trong khoảng vừa tìm vào f(x) trên máy, xem có luôn cùng dấu không.
✏️ Luyện tập
Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.
Quy tắc xét dấu
- 1Nhận biết
Tam thức f(x) = ax² + bx + c có Δ < 0 thì f(x)
- 2Nhận biết
Quy tắc xét dấu tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt là
- 3Thông hiểu
Tam thức f(x) = x² − 4x + 3 có f(x) < 0 khi
- 4Thông hiểu Tam thức f(x) = x² − 4x + 4 có Δ = .
- 5Vận dụng
Tam thức f(x) = −2x² + x − 1 luôn
- 6Thông hiểu
Tam thức f(x) = −x² + 6x − 9
Giải bất phương trình bậc hai
- 1Nhận biết
Tập nghiệm của x² − 4 < 0 là
- 2Thông hiểu
Tập nghiệm của x² − 5x + 6 ≤ 0 là
- 3Thông hiểu Bất phương trình x² − 9 > 0 có tập nghiệm (−∞; −3) ∪ (a; +∞) với a = .
- 4Vận dụng
Tập nghiệm của x² − 2x − 3 ≥ 0 là
- 5Vận dụng
Bất phương trình −x² + 5x − 6 > 0 có tập nghiệm là
- 6Nhận biết
Tập nghiệm của x² − 1 ≥ 0 là
- 7Vận dụng
Bất phương trình −x² + 3x − 2 ≥ 0 có tập nghiệm là
Tìm tham số
- 1Thông hiểu
Để x² + 2x + m > 0 với mọi x thì
- 2Vận dụng Để x² − 2mx + 4 > 0 với mọi x thì m ∈ (−2; ).
- 3Vận dụng
Để −x² + 2x + m < 0 với mọi x thì cần
- 4Vận dụng
Tam thức (m − 1)x² − 2x + 3 không đổi dấu khi x chạy khắp ℝ. Bước đầu tiên cần làm là
- 5Thông hiểu
Để −x² + 4x + m < 0 với mọi x thì
- 6Vận dụng
Biểu thức (m + 2)x² − 4x + 1 là một tam thức bậc hai (không suy biến) khi
🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp
Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.
Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn
- 1Thông hiểu
Tập nghiệm của bất phương trình x² − x − 6 ≤ 0 là
- 2Vận dụng
Bất phương trình 2x² − 3x + 1 < 0 có tập nghiệm là
- 3Vận dụng
Để x² − (m + 2)x + m + 5 > 0 với mọi x thì điều kiện đúng là
Phần II · Đúng / sai
- 1Thông hiểu
Cho tam thức f(x) = x² − 5x + 6.
a)f(x) có hai nghiệm là 2 và 3.
b)f(x) > 0 với mọi x thuộc khoảng (2; 3).
c)f(4) > 0.
d)Tập nghiệm của f(x) ≥ 0 là (−∞; 2] ∪ [3; +∞).
- 2Vận dụng
Cho tam thức f(x) = x² − 2x + m, với m là tham số.
a)Δ của f(x) bằng 4 − 4m.
b)f(x) > 0 với mọi x khi và chỉ khi m > 1.
c)Khi m = 1, phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt.
d)Khi m = 0, f(x) đổi dấu khi x đi qua các nghiệm của f(x) = 0.
Phần III · Trả lời ngắn
- 1Vận dụng Bất phương trình x² − 7x + 10 ≤ 0 có tập nghiệm [a; b]. Giá trị b − a bằng bao nhiêu? Đáp số:
- 2Vận dụng Để x² − 4x + m > 0 với mọi x thì m > a. Giá trị a bằng bao nhiêu? Đáp số:
- 3Vận dụng Tam thức x² − 6x + 9 có nghiệm kép x₀. Giá trị x₀ bằng bao nhiêu? Đáp số:
🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?
- •Là nền cho phương trình quy về phương trình bậc hai ở bài sau (điều kiện xác định hay phải xét dấu tam thức) và cho lớp 12: xét dấu đạo hàm trên bảng biến thiên dùng lại đúng kỹ thuật "trong trái, ngoài cùng" này.
- •Trong bài kiểm tra trên lớp thường có câu xét dấu một tam thức cho sẵn, câu giải bất phương trình bậc hai, và câu tìm tham số m để tam thức không đổi dấu trên ℝ.
- •Dạng tìm tham số hay có bước dễ mất điểm là quên điều kiện a (chỉ xét Δ mà bỏ qua dấu a), hoặc quên xét riêng trường hợp hệ số bậc hai triệt tiêu khi nó chứa tham số.
Phương trình quy về phương trình bậc hai