Chủ đề 16 · Học kỳ 2 ⭐ Hay ra thi tốt nghiệp

Hàm số bậc hai

Nhận biết hàm số bậc hai, xác định đỉnh, trục đối xứng và bề lõm của parabol, lập bảng biến thiên, và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên ℝ hoặc trên một đoạn.

Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 16

⚡ Nhớ nhanh

1Hàm số bậc hai y = ax² + bx + c (a ≠ 0), đồ thị là một parabol.
2Đỉnh I(−b/2a; −Δ/4a) với Δ = b² − 4ac. Trục đối xứng là đường thẳng đứng x = −b/2a.
3a > 0: bề lõm hướng lên, hàm có giá trị nhỏ nhất tại đỉnh (không có giá trị lớn nhất trên ℝ). a < 0: lõm xuống, hàm có giá trị lớn nhất tại đỉnh (không có giá trị nhỏ nhất trên ℝ).
4Bảng biến thiên: trước xᵢ hàm đồng biến (hoặc nghịch biến), sau xᵢ ngược lại, tuỳ dấu a — đọc trực tiếp từ hình dáng parabol, không dùng đạo hàm.
5Max/min trên một đoạn [p; q]: nếu đỉnh xᵢ ∈ [p; q] thì giá trị tại đỉnh là max hoặc min; nếu xᵢ ∉ [p; q] thì hàm đơn điệu trên đoạn đó, max/min rơi vào hai đầu mút p, q.
6Số giao điểm với trục hoành theo dấu Δ: Δ > 0 có 2 điểm, Δ = 0 có 1 điểm (tiếp xúc), Δ < 0 không giao.

👀 Nhìn là hiểu

Kéo ba thanh a, b, c để thấy parabol đổi hình theo thời gian thực: đỉnh I(−b/2a; −Δ/4a), trục đối xứng, bề lõm hiện ngay cùng bảng biến thiên; kéo thêm hai đầu một đoạn trên trục x để đọc max/min trên đoạn đó. Mẫu 16: y = −x² + 4x − 1 có đỉnh I(2; 3), lõm xuống, max y = 3; thử thêm y = x² − 4x + 7 trên đoạn [0; 1] (đỉnh x = 2 nằm ngoài đoạn — bẫy lấy nhầm y(2) = 3 làm min, trong khi min thật là y(1) = 4) trước khi đọc lý thuyết.

▬ trục đối xứng x = 2 · ● giao Ox

y = −x² + 4x − 1

a = −1

b = 4

c = −1

Đỉnh I(2; 3) · Δ = 12 · bề lõm quay XUỐNG

Đồng biến trên (−∞; 2), nghịch biến trên (2; +∞) ⇒ giá trị lớn nhất 3, không có giá trị nhỏ nhất.

Δ > 0: cắt Ox tại x = 0,27 và x = 3,73.

y = −x² + 4x − 1

a = −1 < 0 ⇒ bề lõm quay XUỐNG. Đỉnh I(−b/2a; −Δ/4a) = I(2; 3), trục đối xứng x = 2. Hàm đồng biến trên (−∞; 2), nghịch biến trên (2; +∞) ⇒ giá trị lớn nhất bằng 3 tại x = 2, không có giá trị nhỏ nhất.

1 🅿️ Nhận biết hàm số bậc hai, đỉnh và trục đối xứng

Cần nhớ

✦Dạng: y = ax² + bx + c với a ≠ 0. Ví dụ: y = 2x² − 3x + 1 là hàm số bậc hai (a = 2, b = −3, c = 1).
✦Đỉnh I(−b/2a; −Δ/4a), Δ = b² − 4ac. Có thể tính yᵢ bằng cách thay xᵢ = −b/2a vào công thức hàm, không bắt buộc nhớ −Δ/4a.
✦Trục đối xứng: đường thẳng đứng x = −b/2a, đi qua đỉnh. Parabol đối xứng qua trục này.
✦Dấu trừ ở xᵢ = −b/2a rất dễ quên — thử lại bằng cách so hai điểm đối xứng qua trục (phải cho cùng một giá trị y) hoặc thay xᵢ vào công thức để kiểm yᵢ.

Dạng bài

Tìm đỉnh và trục đối xứng của một parabol

1 Xác định hệ số a, b, c từ công thức y = ax² + bx + c.
2 Tính hoành độ đỉnh xᵢ = −b/2a.
3 Thay xᵢ vào công thức hàm để tính tung độ đỉnh yᵢ.
4 Thử lại: trục đối xứng là x = xᵢ; kiểm bằng cách lấy hai điểm cách đều xᵢ, tính y phải bằng nhau.

⚠️ Bẫy hay gặp: Tính xᵢ = b/2a (quên dấu trừ) sẽ ra xᵢ = −2, lệch hẳn sang phía đối xứng qua trục tung — kéo theo yᵢ, bề lõm và mọi kết luận biến thiên đều sai theo.

🅿️

Làm mẫu

Tìm đỉnh và trục đối xứng của y = −x² + 4x − 1.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

2 📉 Bề lõm, bảng biến thiên và số giao điểm với Ox

Cần nhớ

✦a > 0: bề lõm lên, trước xᵢ hàm nghịch biến, sau xᵢ đồng biến, giá trị nhỏ nhất tại đỉnh.
✦a < 0: bề lõm xuống, trước xᵢ đồng biến, sau xᵢ nghịch biến, giá trị lớn nhất tại đỉnh.
✦Số giao điểm với trục hoành: Δ > 0 có 2 điểm, Δ = 0 có 1 điểm (parabol tiếp xúc Ox), Δ < 0 không có giao điểm nào.
✦Giao với trục tung luôn tại điểm (0; c) — thay x = 0 vào công thức.

Bảng biến thiên theo dấu của a

a	Bề lõm	Trước xᵢ	Sau xᵢ	Tại đỉnh
a > 0	Hướng lên	Nghịch biến	Đồng biến	Nhỏ nhất
a < 0	Hướng xuống	Đồng biến	Nghịch biến	Lớn nhất

Dạng bài

Vẽ phác parabol và lập bảng biến thiên

1 Tìm đỉnh I(xᵢ; yᵢ) và trục đối xứng x = xᵢ.
2 Xác định bề lõm theo dấu a.
3 Tìm thêm giao điểm với Ox (giải ax² + bx + c = 0) và giao với Oy (điểm (0; c)).
4 Thử lại: ghi bảng biến thiên (mũi tên lên/xuống hai phía đỉnh) và đối chiếu với các điểm vừa tìm.

⚠️ Bẫy hay gặp: Kết luận "a > 0 nên có giá trị lớn nhất" là sai hẳn: a > 0 cho bề lõm lên, hàm có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất trên ℝ.

📉

Làm mẫu

Khảo sát và vẽ phác parabol y = x² − 3x + 2.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

3 🎯 Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Cần nhớ

✦Trên ℝ: a > 0 chỉ có min = yᵢ (không có max); a < 0 chỉ có max = yᵢ (không có min).
✦Trên đoạn [p; q]: nếu đỉnh xᵢ ∈ [p; q] thì yᵢ là max (khi a < 0) hoặc min (khi a > 0) trên đoạn; giá trị còn lại (min hoặc max) so hai đầu mút y(p), y(q).
✦Nếu xᵢ ∉ [p; q] thì hàm đơn điệu suốt đoạn ⇒ max và min đều rơi vào hai đầu mút, không liên quan gì đến yᵢ.
✦Luôn tính cả y(p) và y(q) rồi so sánh, đừng đoán đầu mút nào lớn hơn.

Dạng bài

Tìm max hoặc min trên một đoạn

1 Tính đỉnh xᵢ = −b/2a và xét xᵢ có thuộc đoạn [p; q] đang xét không.
2 Nếu xᵢ ∈ [p; q]: giá trị tại đỉnh là max (a < 0) hoặc min (a > 0); giá trị còn lại so y(p) với y(q).
3 Nếu xᵢ ∉ [p; q]: tính y(p), y(q), so sánh trực tiếp để lấy max và min.
4 Thử lại: thay một điểm bất kì trong đoạn, kiểm y của nó nằm giữa min và max vừa tìm.

⚠️ Bẫy hay gặp: Lấy luôn yᵢ = 3 làm giá trị nhỏ nhất trên [0; 1] là sai, vì đỉnh xᵢ = 2 nằm ngoài đoạn này — min thật rơi vào đầu mút x = 1, cho y = 4.

🎯

Làm mẫu

Tìm giá trị nhỏ nhất của y = x² − 4x + 7 trên đoạn [0; 1].

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

4 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai

⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm

✦Chỉ cần nhìn dấu a là biết ngay hàm có max hay có min trên ℝ: a > 0 → min, a < 0 → max — không cần tính Δ.
✦Tính yᵢ nhanh bằng cách thay xᵢ vào công thức hàm, đỡ phải nhớ công thức −Δ/4a.
✦Trước khi tìm max/min trên đoạn, luôn kiểm xᵢ có nằm trong đoạn không — một bước này quyết định cả cách làm.
✦Giao với Oy luôn là (0; c), đọc thẳng từ hệ số, không cần giải phương trình.

⚠️ Lỗi hay sai nhất

✦Quên dấu trừ: xᵢ = b/2a thay vì −b/2a. Phản ví dụ: y = −x² + 4x − 1 có xᵢ = 2 (đúng), nếu quên dấu trừ sẽ ra xᵢ = −2, sai hẳn vị trí đỉnh.
✦Lấy luôn yᵢ làm min/max trên một đoạn mà không kiểm đỉnh có thuộc đoạn không. Phản ví dụ: y = x² − 4x + 7 trên [0; 1], đỉnh x = 2 ∉ [0; 1], min thật là y(1) = 4 chứ không phải yᵢ = 3.
✦Cho rằng a > 0 thì hàm có giá trị lớn nhất. Phản ví dụ: y = x² (a = 1 > 0) chỉ có giá trị nhỏ nhất y = 0 tại x = 0, không có giá trị lớn nhất trên ℝ.
✦Cho rằng số giao điểm với Ox luôn bằng 2. Phản ví dụ: y = x² + 1 có Δ = −4 < 0, không cắt Ox lần nào.
✦Trên đoạn [p; q] chỉ tính y(p), y(q) mà quên xét đỉnh khi đỉnh nằm trong đoạn. Phản ví dụ: y = −x² + 4x − 1 trên [0; 3], đỉnh x = 2 ∈ [0; 3] cho max = 3, lớn hơn cả y(0) = −1 và y(3) = 2.
✦Vẽ bề lõm sai chiều so với dấu a đã tính — luôn đối chiếu: a dương lõm lên (như cái chén), a âm lõm xuống (như mái nhà).

🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)

✦Chế độ giải phương trình bậc hai: nhập a, b, c để tìm nhanh nghiệm (giao với Ox) và kiểm dấu Δ.
✦Chế độ Bảng (TABLE): nhập f(x) = ax² + bx + c, cho x chạy quanh xᵢ để kiểm giá trị đỉnh và chiều tăng giảm hai bên.
✦Trên một đoạn: dùng chế độ Bảng tính thử vài điểm trong đoạn (gồm cả hai đầu mút) rồi so để chắc chắn không bỏ sót giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

✏️ Luyện tập

Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.

🅿️

Đỉnh và trục đối xứng

1
Nhận biết
Đồ thị hàm số y = ax² + bx + c (a ≠ 0) có bề lõm hướng lên khi
2
Nhận biết
Hoành độ đỉnh của parabol y = ax² + bx + c là
3
Thông hiểu
Đỉnh của parabol y = x² − 4x + 3 có hoành độ bằng
4
Thông hiểu Parabol y = x² − 6x + 5 có trục đối xứng là x = .
5
Vận dụng
Parabol y = −x² + 4x − 1 có đỉnh là
6
Vận dụng
Tung độ đỉnh của parabol y = 2x² − 8x + 5 bằng

📉

Bề lõm, bảng biến thiên

1
Nhận biết
Parabol không cắt trục hoành khi
2
Thông hiểu
Hàm y = −2x² + 8x − 3 đạt
3
Thông hiểu
Parabol y = x² − 4x + 3 cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ là
4
Thông hiểu Parabol y = x² − 2x + 5 có Δ = .
5
Vận dụng
Parabol y = x² − 2x + 1 cắt trục hoành tại
6
Thông hiểu
Số giao điểm của parabol y = −x² + 6x − 9 với trục hoành là

🎯

Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

1
Nhận biết
Hàm y = x² − 4x + 3 trên ℝ có
2
Nhận biết
Hàm y = −2x² + 5 trên ℝ có
3
Thông hiểu Hàm y = x² − 4x + 3 trên ℝ có giá trị nhỏ nhất bằng .
4
Thông hiểu
Hàm y = −x² + 2x + 3 trên ℝ đạt giá trị lớn nhất bằng
5
Vận dụng Hàm y = x² − 4x + 7 trên đoạn [0; 1] có giá trị nhỏ nhất bằng .
6
Vận dụng
Hàm y = −x² + 4x − 1 trên đoạn [0; 3] đạt giá trị lớn nhất bằng
7
Vận dụng
Hàm y = x² − 6x + 10 trên đoạn [4; 5] có giá trị nhỏ nhất bằng

🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp

Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.

🅰️

Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn

1
Thông hiểu
Parabol y = 2x² − 8x + 5 có trục đối xứng là
2
Vận dụng
Hàm số y = x² − 2x − 3 trên đoạn [0; 4] có giá trị nhỏ nhất bằng
3
Vận dụng
Parabol y = mx² − 2x + 1 (m ≠ 0) có đỉnh nằm trên trục hoành khi Δ bằng

✅

Phần II · Đúng / sai

1
Thông hiểu
Cho hàm số y = x² − 6x + 8.

a)Đỉnh của parabol là I(3; −1).

b)Hàm số nghịch biến trên khoảng (3; +∞).

c)Giá trị nhỏ nhất của hàm trên ℝ bằng −1.

d)Parabol cắt trục hoành tại hai điểm x = 2 và x = 4.
2
Vận dụng
Cho hàm số y = x² − 4x + 7 xét trên đoạn [0; 1].

a)Đỉnh của parabol có hoành độ xᵢ = 2.

b)Đỉnh xᵢ = 2 thuộc đoạn [0; 1].

c)Giá trị nhỏ nhất của hàm trên [0; 1] bằng 4, đạt tại x = 1.

d)Giá trị nhỏ nhất của hàm trên [0; 1] bằng yᵢ = 3.

🔢

Phần III · Trả lời ngắn

1
Vận dụng Hàm y = −x² + 6x − 5 trên ℝ đạt giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu? Đáp số:
2
Vận dụng Hàm y = x² − 2x + 3 trên đoạn [2; 4] có giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu? Đáp số:
3
Vận dụng Parabol y = x² − 5x + 6 cắt trục hoành tại hai điểm, tổng hai hoành độ đó bằng bao nhiêu? Đáp số:

🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?

•Là nền cho dấu của tam thức bậc hai ở bài sau (quy tắc "trong trái, ngoài cùng" dựa đúng vào hình dáng parabol vừa học) và cho khảo sát hàm số bằng đạo hàm ở lớp 12.
•Trong bài kiểm tra trên lớp thường có câu tìm đỉnh/trục đối xứng, câu đọc bảng biến thiên hoặc số giao điểm với Ox theo dấu Δ, và câu tìm max/min trên một đoạn cho trước.
•Dạng tìm max/min trên đoạn hay có bước dễ mất điểm là quên kiểm đỉnh có thuộc đoạn hay không trước khi kết luận.

Làm đề thi thử trọn bộ

Chủ đề tiếp theo
Dấu của tam thức bậc hai