Mệnh đề
Nhận ra mệnh đề và mệnh đề chứa biến, lập phủ định, xét đúng sai của mệnh đề kéo theo và mệnh đề tương đương, dùng đúng điều kiện cần – điều kiện đủ và lập phủ định của câu có ∀, ∃.
Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 1
⚡ Nhớ nhanh
- 1Mệnh đề là câu khẳng định hoặc đúng hoặc sai. Câu hỏi, câu cảm thán, câu cầu khiến không là mệnh đề. Mệnh đề chứa biến (như "n chia hết cho 3") chưa đúng chưa sai, thay giá trị cụ thể mới thành mệnh đề.
- 2Phủ định của P kí hiệu : P đúng thì sai và ngược lại.
- 3Kéo theo P ⇒ Q ("nếu P thì Q") chỉ sai ở đúng một trường hợp: P đúng mà Q sai. P sai thì P ⇒ Q luôn đúng.
- 4Đảo của P ⇒ Q là Q ⇒ P, có thể sai dù P ⇒ Q đúng. Tương đương P ⇔ Q chỉ đúng khi cả hai chiều cùng đúng.
- 5P ⇒ Q đúng thì P là điều kiện đủ của Q, Q là điều kiện cần của P. P ⇔ Q thì P là điều kiện cần và đủ của Q.
- 6∀ (với mọi), ∃ (tồn tại). Phủ định phải đổi cả lượng từ và tính chất phía sau: ∀ ↔ ∃, > ↔ ≤, < ↔ ≥, = ↔ ≠.
👀 Nhìn là hiểu
Bấm "Phủ định ∀, ∃" rồi bấm "Phủ định: bước 1", "bước 2" để thấy phủ định dựng từng bước và đúng sai đổi ngược. Chọn "Nếu x = 2 thì x² = 4" rồi bấm các giá trị x để thấy dòng nào của bảng chân trị sáng; so P ⇒ Q với mệnh đề đảo. Mẫu đầu chỉ là điểm bắt đầu: thử cả "P sai ⇒ Q bất kì" và bẫy "Phủ định x > 3".
- Gốc ∀x ∈ ℝ, x² ≥ 0 Đúng
- Gốc ∃n ∈ ℕ, n² = 5 Sai
Phủ định ∀, ∃
Hai bước: đổi lượng từ (∀ thành ∃, ∃ thành ∀) rồi phủ định tính chất phía sau. Bước giữa (chỉ đổi lượng từ) CHƯA phải phủ định: đúng sai chưa chắc đổi. Phủ định đúng thì gốc đúng ⇒ phủ định sai và ngược lại.
1 💬 Mệnh đề, mệnh đề chứa biến và phủ định
Cần nhớ
- ✦Mệnh đề là câu khẳng định có thể xét đúng hay sai. Ví dụ: "7 là số nguyên tố" (đúng), "2 + 3 = 6" (sai) đều là mệnh đề.
- ✦Không là mệnh đề: câu hỏi, cảm thán, cầu khiến. Ví dụ: "Bạn học bài chưa?", "Đẹp quá!", "Hãy mở cửa ra!".
- ✦Mệnh đề chứa biến P(n) có chữ cái chưa gán giá trị. Ví dụ: P(n): "n chia hết cho 3" thì P(6) đúng, P(7) sai.
- ✦Phủ định của P là , nói ngược lại P. Ví dụ: P: "2 là số chẵn" (đúng) thì : "2 không là số chẵn" (sai).
Dạng bài
Lập phủ định của một mệnh đề đơn rồi xét đúng sai
- 1 Xét P đúng hay sai trước (tính hoặc thử số).
- 2 Viết : thêm "không" hoặc đổi dấu so sánh: > thành ≤, < thành ≥, = thành ≠.
- 3 Đúng sai của luôn ngược với P.
- 4 Thử lại: P và không thể cùng đúng, cũng không thể cùng sai.
⚠️ Bẫy hay gặp: Phủ định của "x > 3" không phải "x < 3". Thử x = 3: "x > 3" sai, "x < 3" cũng sai, tức hai câu cùng sai nên chưa trái nhau. Phủ định đúng là "x ≤ 3" (có cả số 3).
Lập phủ định của mệnh đề P: "√2 > 1,5" rồi cho biết đúng hay sai.
Hướng dẫn giải
2 ➡️ Mệnh đề kéo theo và bảng chân trị
Cần nhớ
- ✦P ⇒ Q đọc "nếu P thì Q". Ví dụ: "Nếu 6 chia hết cho 4 thì 6 là số chẵn".
- ✦P ⇒ Q chỉ sai khi P đúng mà Q sai. Ba trường hợp còn lại đều đúng.
- ✦P sai thì P ⇒ Q luôn đúng, dù Q đúng hay sai. Ví dụ: "Nếu 2 = 3 thì 2 + 1 = 4" là mệnh đề đúng.
- ✦Muốn chứng tỏ "nếu P thì Q" sai chỉ cần một phản ví dụ: một trường hợp P đúng mà Q sai.
Bảng chân trị của P ⇒ Q (Đ = đúng, S = sai)
| P | Q | P ⇒ Q |
|---|---|---|
| Đ | Đ | Đ |
| Đ | S | S |
| S | Đ | Đ |
| S | S | Đ |
Dạng bài
Xét tính đúng sai của "nếu P thì Q"
- 1 Xác định P và Q.
- 2 Xét P: nếu P sai thì kết luận ngay P ⇒ Q đúng.
- 3 Nếu P đúng thì xét Q: Q đúng thì P ⇒ Q đúng, Q sai thì P ⇒ Q sai.
- 4 Thử lại bằng bảng chân trị: tìm đúng dòng (P, Q) vừa xét.
⚠️ Bẫy hay gặp: Nghĩ "P sai thì P ⇒ Q cũng sai" là nhầm. Thử "Nếu 7 > 10 thì 7 là số chẵn": P sai, Q sai, nhưng mệnh đề vẫn đúng. Chỉ có dòng P đúng, Q sai mới cho sai.
Xét "Nếu 7 > 10 thì 7 là số chẵn". Mệnh đề này đúng hay sai?
Hướng dẫn giải
3 🔁 Mệnh đề đảo, tương đương, điều kiện cần và đủ
Cần nhớ
- ✦Đảo của P ⇒ Q là Q ⇒ P. Ví dụ: "Nếu x = 2 thì x² = 4" có đảo là "Nếu x² = 4 thì x = 2".
- ✦Mệnh đề đúng thì đảo chưa chắc đúng. Ví dụ: "Nếu x = 2 thì x² = 4" đúng, nhưng đảo sai vì x = −2 cũng có x² = 4.
- ✦P ⇔ Q ("P khi và chỉ khi Q") đúng khi cả hai chiều P ⇒ Q và Q ⇒ P cùng đúng. Ví dụ: "x = 0 ⇔ 2x = 0".
- ✦P ⇒ Q đúng: P là điều kiện đủ để có Q, Q là điều kiện cần để có P. Ví dụ: "chia hết cho 6" là đủ để "chia hết cho 3", còn "chia hết cho 3" là cần để "chia hết cho 6".
Dạng bài
Lập mệnh đề đảo và xét đúng sai
- 1 Xác định P (vế sau "nếu") và Q (vế sau "thì").
- 2 Đổi chỗ thành "nếu Q thì P".
- 3 Tìm thử một giá trị làm Q đúng mà P sai. Có thì đảo sai; không có thì đảo đúng.
- 4 Thử lại: cả hai chiều đúng mới được viết P ⇔ Q.
⚠️ Bẫy hay gặp: Cho rằng "mệnh đề đúng thì đảo cũng đúng". Phản ví dụ: "Nếu x = 2 thì x² = 4" đúng nhưng đảo sai. Chỉ khi thử cả hai chiều đều đúng mới ghi ⇔.
Mệnh đề "Nếu x = 2 thì x² = 4" đúng. Phát biểu mệnh đề đảo và cho biết nó đúng hay sai.
Hướng dẫn giải
Dạng bài
Nói điều kiện cần, điều kiện đủ
- 1 Viết mệnh đề đúng dạng "nếu P thì Q".
- 2 P (vế trước) là điều kiện đủ; Q (vế sau) là điều kiện cần.
- 3 Thử chiều ngược lại: đảo đúng nữa thì nói "cần và đủ".
- 4 Thử lại bằng một ví dụ số.
⚠️ Bẫy hay gặp: Nhầm "cần" với "đủ" khi phát biểu. Cách nhớ: cái đứng trước "thì" là đủ. Từ a = 3 chia hết cho 3 (điều kiện cần có) cũng chưa suy ra được a chia hết cho 6.
Cho mệnh đề đúng "Nếu a chia hết cho 6 thì a chia hết cho 3". Phát biểu bằng điều kiện cần, điều kiện đủ và xét có cần và đủ không.
Hướng dẫn giải
4 🔣 Kí hiệu ∀, ∃ và phủ định của chúng
Cần nhớ
- ✦∀ đọc "với mọi", ∃ đọc "tồn tại (có ít nhất một)". Ví dụ: "∀x ∈ ℝ, x² ≥ 0" (đúng), "∃n ∈ ℕ, n² = 5" (sai).
- ✦Phủ định cần đổi cả hai chỗ: lượng từ (∀ ↔ ∃) và tính chất phía sau.
- ✦Mệnh đề "∀" chỉ cần một phản ví dụ là sai. Mệnh đề "∃" chỉ cần một ví dụ là đúng.
- ✦Ví dụ: phủ định của "∀x ∈ ℝ, x² ≥ 0" là "∃x ∈ ℝ, x² < 0".
Các cặp phủ định
| Gốc | Phủ định | Ví dụ |
|---|---|---|
| ∀ | ∃ | ∀x, … ⇒ ∃x, … |
| ∃ | ∀ | ∃n, … ⇒ ∀n, … |
| > | ≤ | x > 3 ⇒ x ≤ 3 |
| < | ≥ | x < 5 ⇒ x ≥ 5 |
| = | ≠ | n² = 5 ⇒ n² ≠ 5 |
Dạng bài
Lập phủ định của câu có ∀ hoặc ∃
- 1 Đổi lượng từ: ∀ thành ∃, ∃ thành ∀.
- 2 Giữ nguyên tập (ℝ, ℕ…) rồi phủ định phần tính chất: > ↔ ≤, < ↔ ≥, = ↔ ≠.
- 3 Xét đúng sai của câu gốc (tìm phản ví dụ với ∀, tìm ví dụ với ∃), suy ra phủ định ngược lại.
- 4 Thử lại: gốc và phủ định phải trái nhau.
⚠️ Bẫy hay gặp: Phủ định "∀x ∈ ℝ, x² ≥ 0" thành "∀x ∈ ℝ, x² < 0" (giữ ∀) là sai. Thử x = 1: câu "∀x, x² < 0" sai, và câu gốc cũng đúng với x = 1, nên hai câu không trái nhau. Phải đổi thành "∃x ∈ ℝ, x² < 0".
Lập phủ định của A: "∀x ∈ ℝ, x² ≥ 0" và B: "∃n ∈ ℕ, n² = 5", rồi xét đúng sai.
Hướng dẫn giải
5 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai
⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm
- ✦Chọn phủ định: loại ngay phương án giữ nguyên lượng từ, rồi xem dấu có đổi đúng cặp (> ↔ ≤) không. Ví dụ: phủ định của "∀x, x > 0" là "∃x, x ≤ 0".
- ✦Gặp "nếu P thì Q" có P sai rõ ràng thì mệnh đề đúng, không cần xét Q. Ví dụ: "Nếu 3 > 5 thì 2 > 7" đúng.
- ✦Muốn bác một mệnh đề có ∀ hoặc một đảo: thử 1–2 số cụ thể (thường là 0, −1, một số âm) tìm phản ví dụ. Ví dụ: x = −2 bác đảo "x² = 4 ⇒ x = 2".
- ✦Điều kiện cần – đủ: cái đứng trước "thì" là đủ, đứng sau "thì" là cần.
⚠️ Lỗi hay sai nhất
- ✦Phủ định "x > 3" thành "x < 3". Phản ví dụ: x = 3 làm cả hai cùng sai. Đúng là "x ≤ 3".
- ✦Phủ định "∀x, P(x)" bằng "∀x, không P(x)" (giữ ∀). Phản ví dụ: "∀x ∈ ℝ, x² ≥ 0" phủ định đúng là "∃x, x² < 0".
- ✦Cho rằng P sai thì P ⇒ Q sai. Phản ví dụ: "Nếu 2 = 3 thì 2 + 1 = 4" đúng.
- ✦Cho rằng mệnh đề đúng thì đảo cũng đúng. Phản ví dụ: "Nếu x = 2 thì x² = 4" đúng, đảo sai (x = −2).
- ✦Nhầm điều kiện cần với đủ. Ví dụ: "chia hết cho 6" là điều kiện đủ, không phải cần, để "chia hết cho 3" (a = 3 chia hết cho 3 mà không chia hết cho 6).
- ✦Coi câu hỏi hoặc câu cảm thán là mệnh đề, hoặc coi mệnh đề chứa biến như "x + 1 = 3" là mệnh đề (chưa đúng chưa sai khi chưa gán x).
🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)
- ✦Chế độ Bảng (TABLE): nhập f(x) về hai vế của tính chất rồi đọc giá trị với nhiều x để tìm phản ví dụ cho câu "∀".
- ✦Chế độ tính giá trị / gán biến (CALC): thay một giá trị cụ thể vào hai vế để xét P, Q đúng hay sai rồi tra dòng của bảng chân trị.
- ✦Bài "đúng với mọi x" có tham số: dùng chế độ Bảng thử vài giá trị x để loại bớt phương án trước khi giải.
✏️ Luyện tập
Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.
Mệnh đề, mệnh đề chứa biến, phủ định
- 1Nhận biết
Câu nào sau đây là mệnh đề?
- 2Thông hiểu
Câu nào sau đây KHÔNG phải là mệnh đề?
- 3Thông hiểu
Phủ định của mệnh đề "x > 3" (x ∈ ℝ) là
- 4Thông hiểu Trong các câu: (1) 3 + 4 = 8; (2) Mấy giờ rồi?; (3) 9 là số chính phương; (4) Học đi!; (5) Mọi số nguyên tố đều lẻ. Có mệnh đề.
- 5Vận dụng
Cho P(n): "n² − 1 chia hết cho 3" (n ∈ ℕ). Trong bốn mệnh đề P(2), P(3), P(4), P(5), mệnh đề sai là
Mệnh đề kéo theo, bảng chân trị
- 1Nhận biết
Mệnh đề P ⇒ Q sai khi và chỉ khi
- 2Thông hiểu
Mệnh đề nào sau đây đúng?
- 3Thông hiểu
Với a, b ∈ ℝ, mệnh đề "Nếu a > b thì a² > b²" bị bác bỏ (sai) khi chọn
- 4Thông hiểu Bảng chân trị của P ⇒ Q có 4 dòng. Số dòng cho kết quả "đúng" là .
- 5Vận dụng
Với x ∈ ℝ, mệnh đề nào sau đây SAI?
Đảo, tương đương, điều kiện cần – đủ
- 1Nhận biết
Mệnh đề đảo của P ⇒ Q là
- 2Thông hiểu
Mệnh đề đảo của "Nếu tam giác ABC đều thì tam giác ABC cân" là
- 3Thông hiểu
Mệnh đề "Nếu x = 2 thì x² = 4" đúng. Mệnh đề đảo của nó
- 4Thông hiểu
Cho mệnh đề đúng "Nếu a chia hết cho 6 thì a chia hết cho 3". Khẳng định nào đúng?
- 5Vận dụng Với x ∈ ℝ, xét bốn mệnh đề: (1) x = 1 ⇒ x² = 1; (2) x² = 1 ⇒ x = 1; (3) x = 0 ⇒ x² = 0; (4) x² = 0 ⇒ x = 0. Số mệnh đề đúng là .
Kí hiệu ∀, ∃ và phủ định
- 1Nhận biết
Kí hiệu ∀ đọc là
- 2Thông hiểu
Phủ định của mệnh đề "∀x ∈ ℝ, x² − 2x + 1 ≥ 0" là
- 3Thông hiểu
Phủ định của mệnh đề "∃x ∈ ℝ, 2x + 1 = 0" là
- 4Vận dụng
Mệnh đề nào sau đây đúng?
- 5Vận dụng
Phủ định của mệnh đề "Mọi học sinh lớp 10A đều đi học đúng giờ" là
- 6Vận dụng Có bao nhiêu số tự nhiên n để mệnh đề P(n): "n² − 4n + 3 = 0" đúng? Đáp số:
🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp
Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.
Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn
- 1Thông hiểu
Cho P: "x² = 9" và Q: "x = 3" (x ∈ ℝ). Mệnh đề P ⇒ Q sai khi x bằng
- 2Vận dụng
Cho A: "∃x ∈ ℝ, x² + x + 1 = 0". Khẳng định nào đúng?
- 3Vận dụng
Cho mệnh đề đúng "Nếu tứ giác là hình chữ nhật thì tứ giác có hai đường chéo bằng nhau". Khẳng định nào đúng?
Phần II · Đúng / sai
- 1Thông hiểu
Cho x ∈ ℝ, P: "x = 3" và Q: "x² = 9".
a)Khi x = 3, mệnh đề P ⇒ Q đúng.
b)Khi x = −3, mệnh đề P ⇒ Q đúng.
c)Khi x = −3, mệnh đề Q ⇒ P đúng.
d)Có thể viết P ⇔ Q với mọi x ∈ ℝ.
- 2Vận dụng
Cho mệnh đề A: "∀x ∈ ℝ, x² > 2x".
a)A là mệnh đề sai, vì x = 0 không thoả (0 > 0 sai).
b)Phủ định của A là "∀x ∈ ℝ, x² ≤ 2x".
c)Phủ định của A là "∃x ∈ ℝ, x² ≤ 2x".
d)Có đúng hai số thực x thoả x² ≤ 2x, đó là x = 0 và x = 2.
Phần III · Trả lời ngắn
- 1Vận dụng Với x ∈ {−3; −2; −1; 0; 1; 2; 3}, có bao nhiêu giá trị x làm cho mệnh đề "Nếu x² > 1 thì x > 1" sai? Đáp số:
- 2Vận dụng Có bao nhiêu số nguyên dương n ≤ 20 làm cho mệnh đề "Nếu n chia hết cho 4 thì n chia hết cho 6" sai? Đáp số:
- 3Vận dụng Số nguyên m nhỏ nhất để mệnh đề "∀x ∈ ℝ, x² − 6x + m > 0" đúng là .
🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?
- •Là nền cho bài 2 (tập hợp) và mọi bài chứng minh về sau: "nếu … thì …", "khi và chỉ khi", điều kiện cần – đủ gặp lại trong định nghĩa, định lí của lớp 11–12. Câu có ∀, ∃ cũng là cách nói của bài tham số: "bất phương trình đúng với mọi x", "tồn tại m" (bài dấu của tam thức bậc hai ở lớp 10, cực trị ở lớp 12).
- •Trong bài kiểm tra trên lớp thường có câu chọn phủ định của mệnh đề có ∀ hoặc ∃, câu xét đúng sai của P ⇒ Q (hay có trường hợp P sai) và câu phát biểu bằng điều kiện cần, điều kiện đủ.
- •Ở phần đúng/sai của đề tốt nghiệp, ý kiểu "tìm một phản ví dụ cho mệnh đề ∀" hay là cách nhanh để loại ý sai; bước dễ mất điểm là quên đổi lượng từ khi lập phủ định.
Tập hợp và các phép toán trên tập hợp