Chủ đề 24 · Học kỳ 2 ⭐ Hay ra thi tốt nghiệp

Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Phân biệt được hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp qua câu hỏi "có cần thứ tự không", tính được số hoán vị / chỉnh hợp / tổ hợp và chọn đúng công cụ cho từng bài toán đếm.

Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 24

⚡ Nhớ nhanh

1Hoán vị Pₙ = n!: sắp xếp toàn bộ n phần tử (xếp hết, không bỏ ai).
2Chỉnh hợp $A_{n}^{k} = \frac{n !}{( n - k )!}$ : chọn k trong n phần tử và CÓ thứ tự (các vai trò khác nhau).
3Tổ hợp $C_{n}^{k} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$ : chọn k trong n phần tử và KHÔNG quan tâm thứ tự (vai trò như nhau).
4Câu hỏi quyết định: đổi chỗ hai phần tử đã chọn có ra kết quả khác không? Có ⇒ chỉnh hợp. Không ⇒ tổ hợp.
5Quan hệ: $A_{n}^{k} = C_{n}^{k} \cdot k!$ — mỗi tổ hợp k phần tử sinh ra k! chỉnh hợp khác nhau (do đổi chỗ trong k phần tử đó).
6Quy ước 0! = 1 (không phải 0). Tính chất đối xứng C(n, k) = C(n, n−k) giúp tính nhanh khi k gần n.

👀 Nhìn là hiểu

Chọn n, k rồi bật "có thứ tự?": hình liệt kê các bộ chọn được, nhóm nào chỉ khác thứ tự thì gom lại một ô, nên C = A/k! hiện rõ bằng mắt. Thử mẫu 10 học sinh, chọn lớp trưởng – lớp phó – thủ quỹ: A(10, 3) = 10 · 9 · 8 = 720; chọn 3 em trực nhật (không phân vai): C(10, 3) = 720/6 = 120, trước khi đọc lý thuyết.

n = 10

k = 3

Chỉnh hợp A(n, k) = 720

Tổ hợp C(n, k) = A/k! = 720/6 = 120

Đề phân vai ⇒ dùng A(10, 3) = 720

Ban cán sự: n = 10, k = 3

Lớp trưởng – lớp phó – thủ quỹ là ba vai trò KHÁC nhau nên đổi thứ tự là ra cách khác: chỉnh hợp A(10, 3) = 10 · 9 · 8 = 720.

n = 10, k = 3 cho tới 120 nhóm nên hình không liệt kê hết.

Cách đếm vẫn vậy: xếp có thứ tự được A(10, 3) = 10 · 9 · 8 = 720 bộ; gom các bộ chỉ khác thứ tự lại (mỗi nhóm 3! = 6 bộ) thì còn C(10, 3) = 120 nhóm.

Giảm n xuống 5–6 để hình liệt kê từng ô cho dễ hình dung.

1 🔀 Hoán vị

Cần nhớ

✦Hoán vị là cách sắp xếp toàn bộ n phần tử theo một thứ tự nào đó (không bỏ phần tử nào).
✦Pₙ = n! = n · (n − 1) · … · 2 · 1. Ví dụ: xếp 5 người thành hàng có P₅ = 5! = 120 cách.
✦Quy ước 0! = 1. Dùng để công thức chỉnh hợp, tổ hợp không bị chia cho 0 khi k = n.
✦Nhận ra bằng câu hỏi: đề có bắt xếp hết mọi phần tử vào các vị trí phân biệt không?

Dạng bài

Đếm số hoán vị

1 Xác định số phần tử n cần xếp hết vào các vị trí có thứ tự (hàng, ghế, vị trí xuất phát…).
2 Tính Pₙ = n!.
3 Đọc lại đề: nếu có ràng buộc thêm (hai người phải đứng cạnh nhau…) thì gộp nhóm trước rồi xếp.
4 Thử lại: với n nhỏ (3, 4) có thể liệt kê để kiểm.

⚠️ Bẫy hay gặp: Nhầm 0! = 0: nếu tính C(n, n) = n!/(n!·0!) mà lấy 0! = 0 thì chia cho 0, công thức hỏng ngay ở trường hợp chọn hết. Phải nhớ 0! = 1.

🚶

Làm mẫu

Có bao nhiêu cách xếp 4 bạn An, Bình, Chi, Dũng thành một hàng dọc?

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

2 🎯 Chỉnh hợp

Cần nhớ

✦Chỉnh hợp: chọn k trong n phần tử và sắp xếp có thứ tự (các vai trò khác nhau).
✦ $A_{n}^{k} = \frac{n !}{( n - k )!}$ = n · (n − 1) · … · (n − k + 1) (k thừa số liên tiếp giảm dần từ n).
✦Dấu hiệu: đề có các vai trò khác nhau (lớp trưởng – lớp phó – thủ quỹ, huy chương vàng – bạc – đồng, lập số có các hàng khác nhau).
✦Ví dụ: A(5, 3) = 5 · 4 · 3 = 60.

Dạng bài

Đếm số chỉnh hợp

1 Kiểm xem đổi chỗ hai phần tử đã chọn có ra kết quả khác không — có thì là chỉnh hợp.
2 Xác định n (tổng số phần tử) và k (số phần tử được chọn, có vai trò khác nhau).
3 Tính $A_{n}^{k} = \frac{n !}{( n - k )!}$ , hoặc nhân trực tiếp k thừa số liên tiếp giảm dần từ n.
4 Thử lại: với k = n thì A(n, n) phải bằng Pₙ = n!.

⚠️ Bẫy hay gặp: Dùng tổ hợp cho bài có vai trò khác nhau sẽ ra kết quả nhỏ hơn hẳn (sai): C(10, 3) = 120, trong khi đúng là A(10, 3) = 720 vì ba vai trò khác nhau, không thể dùng công thức "chọn nhóm".

🏅

Làm mẫu

Lớp có 10 học sinh. Có bao nhiêu cách chọn ban cán sự gồm lớp trưởng, lớp phó, thủ quỹ (ba vai trò khác nhau)?

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

3 🧺 Tổ hợp

Cần nhớ

✦Tổ hợp: chọn k trong n phần tử, KHÔNG quan tâm thứ tự (các phần tử được chọn có vai trò như nhau).
✦ $C_{n}^{k} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$ . Ví dụ: C(5, 3) = 5·4·33! = 10.
✦Tính chất đối xứng: C(n, k) = C(n, n−k). Ví dụ: C(20, 18) = C(20, 2) = 20·192 = 190 — nhanh hơn tính trực tiếp C(20, 18).
✦Quan hệ với chỉnh hợp: A(n, k) = C(n, k) · k!, vì mỗi tổ hợp k phần tử sinh ra k! cách sắp xếp (chỉnh hợp) khác nhau.

Dạng bài

Đếm số tổ hợp

1 Kiểm xem đổi chỗ hai phần tử đã chọn có ra kết quả khác không — không thì là tổ hợp.
2 Xác định n và k.
3 Tính $C_{n}^{k} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$ — dùng tính đối xứng C(n, k) = C(n, n−k) nếu k gần n để tính nhanh hơn.
4 Thử lại: kiểm A(n, k) = C(n, k) · k! có khớp không (nếu bài có cả hai loại).

⚠️ Bẫy hay gặp: C(n, k) và A(n, k) chỉ khác nhau một thừa số k! nhưng KHÔNG phải sai số nhỏ: với k = 3 chênh nhau gấp 6 lần (720 so với 120), với k = 5 chênh gấp 120 lần. Chọn nhầm công cụ làm kết quả sai hẳn, không phải "gần đúng".

🙋

Làm mẫu

Lớp có 10 học sinh. Có bao nhiêu cách chọn 3 em đi trực nhật (ba em có vai trò như nhau)?

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Cùng n = 5, k = 3 — ba kết quả khác hẳn nhau

Loại	Công thức	Kết quả
Hoán vị P₅	5!	120
Chỉnh hợp A(5, 3)	5 · 4 · 3	60
Tổ hợp C(5, 3)	5 · 4 · 33!	10

4 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai

⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm

✦Luôn tự hỏi "đổi chỗ hai phần tử đã chọn có ra cách khác không?" trước khi chọn công thức — đây là câu hỏi quyết định duy nhất.
✦Nhớ A(n, k) = C(n, k) · k! thì chỉ cần thuộc một công thức (tổ hợp), còn lại suy ra được.
✦k gần n thì dùng C(n, k) = C(n, n−k) để tính với số nhỏ hơn hẳn (vd C(20, 18) = C(20, 2)).
✦Xếp hết n phần tử vào n vị trí (không chọn bớt) luôn là hoán vị Pₙ = n!, không cần công thức chỉnh hợp.

⚠️ Lỗi hay sai nhất

✦Dùng tổ hợp cho bài có vai trò khác nhau. Phản ví dụ: chọn lớp trưởng và lớp phó từ 10 bạn phải dùng A(10, 2) = 90, dùng C(10, 2) = 45 là sai một nửa.
✦Nghĩ C(n, k) và A(n, k) chênh nhau "chút ít". Phản ví dụ: k = 3 chênh gấp 6 lần, k = 5 chênh gấp 120 lần.
✦Cho 0! = 0. Phản ví dụ: C(n, n) = n!/(n!·0!), lấy 0! = 0 thì chia cho 0, phải lấy 0! = 1 để C(n, n) = 1 (chỉ có một cách chọn hết).
✦Tính C(20, 18) bằng khai triển hết giai thừa thay vì dùng tính đối xứng C(n, k) = C(n, n−k), dễ bấm máy sai và mất thời gian.
✦Nhầm thứ tự công đoạn khi vừa chọn nhóm (tổ hợp) vừa xếp vai trò trong nhóm (hoán vị): quên nhân thêm k! khi đề yêu cầu cả chọn và xếp.

🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)

✦Chế độ thống kê / tổ hợp (nCr, nPr): nhập n rồi k, bấm phím chỉnh hợp (nPr) hoặc tổ hợp (nCr) để kiểm kết quả.
✦Phím giai thừa (x!): tính n! trực tiếp khi muốn kiểm từng bước của công thức.

✏️ Luyện tập

Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.

🔀

Hoán vị

1
Nhận biết
5! bằng
2
Nhận biết
Số cách xếp 6 người thành một hàng dọc là
3
Thông hiểu Số cách xếp 4 cuốn sách khác nhau lên một kệ là .
4
Thông hiểu
0! bằng
5
Thông hiểu Số cách xếp 7 quyển sách khác nhau lên một kệ là .

🎯

Chỉnh hợp

1
Nhận biết
Chỉnh hợp A(5, 3) bằng
2
Thông hiểu
Có 7 học sinh. Số cách chọn ra 2 bạn làm tổ trưởng và tổ phó (hai vai trò khác nhau) là
3
Thông hiểu Chỉnh hợp A(6, 2) bằng .
4
Vận dụng
Từ 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, số các số có 3 chữ số đôi một khác nhau được lập là
5
Vận dụng Có 8 vận động viên thi chạy. Số cách trao huy chương vàng, bạc, đồng (ba vận động viên khác nhau) là .
6
Nhận biết
Chỉnh hợp A(4, 2) bằng
7
Vận dụng Có 9 vận động viên thi đấu. Số cách trao cúp vô địch và á quân (hai vai trò khác nhau) là .

🧺

Tổ hợp

1
Nhận biết
C(6, 2) bằng
2
Thông hiểu
Chọn 3 bạn đi trực nhật (vai trò như nhau) từ 8 bạn — dùng
3
Thông hiểu Tổ hợp C(9, 2) bằng .
4
Vận dụng
C(20, 18) bằng
5
Vận dụng Một hộp có 7 quả bóng khác nhau. Số cách chọn ra 3 quả (không phân biệt thứ tự) là .
6
Thông hiểu
C(7, 2) bằng
7
Vận dụng Một đội bóng có 12 cầu thủ. Số cách chọn ra 5 cầu thủ đá chính (vai trò như nhau) là .

🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp

Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.

🅰️

Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn

1
Thông hiểu
Lớp có 9 học sinh. Số cách chọn ra 4 bạn tham gia đội văn nghệ (vai trò như nhau) là
2
Vận dụng
Có 6 nam và 4 nữ. Số cách lập một đội gồm 2 nam và 2 nữ là
3
Vận dụng
Số cách sắp xếp 3 bạn nam và 2 bạn nữ thành một hàng sao cho 3 bạn nam đứng cạnh nhau là

✅

Phần II · Đúng / sai

1
Thông hiểu
Một lớp có 12 học sinh.

a)Số cách xếp cả 12 bạn thành một hàng dọc là 12!.

b)Số cách chọn ra ban cán sự gồm lớp trưởng, lớp phó, thủ quỹ (3 vai trò khác nhau) là A(12, 3) = 1320.

c)Số cách chọn ra 3 bạn đi trực nhật (vai trò như nhau) là 1320.

d)C(12, 3) · 3! = A(12, 3).
2
Vận dụng
Xét các số A(7, 3), C(7, 3), P₇.

a)A(7, 3) = 210.

b)C(7, 3) = 35.

c)P₇ = 7! = 5040.

d)C(7, 3) và C(7, 4) là hai số khác nhau.

🔢

Phần III · Trả lời ngắn

1
Vận dụng Một đội có 10 vận động viên. Số cách chọn ra 3 người để trao huy chương vàng, bạc, đồng (ba vai trò khác nhau) là bao nhiêu? Đáp số:
2
Vận dụng Với 10 vận động viên ở câu trên, số cách chọn ra 3 người đi tập huấn chung (vai trò như nhau) là bao nhiêu? Đáp số:
3
Vận dụng Một tổ có 5 học sinh nam và 3 học sinh nữ. Số cách chọn ra một nhóm 2 người gồm 1 nam và 1 nữ là bao nhiêu? Đáp số:

🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?

•Là nền cho nhị thức Newton ở bài sau (hệ số nhị thức chính là C(n, k)) và lên lớp 11–12 là nền cho đếm số phần tử không gian mẫu trong các bài xác suất.
•Trong bài kiểm tra trên lớp thường có câu phân biệt chỉnh hợp/tổ hợp từ một tình huống cụ thể, câu tính trực tiếp Pₙ, A(n, k), C(n, k), và câu kết hợp quy tắc nhân với tổ hợp (chọn nhóm rồi chọn trong từng nhóm).
•Dạng hay gặp: đổi vai "chọn có phân vai" sang "chọn không phân vai" trên cùng một bộ số liệu để kiểm xem học sinh có phân biệt đúng chỉnh hợp và tổ hợp không.

Làm đề thi thử trọn bộ

Chủ đề tiếp theo
Nhị thức Newton