Chủ đề 25 · Học kỳ 2

Nhị thức Newton

Khai triển được (a + b)ⁿ với n nhỏ (n ≤ 5), viết được số hạng tổng quát và tìm hệ số của một số hạng cụ thể.

Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 25

⚡ Nhớ nhanh

1Nhị thức Newton: $(a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$ . Khai triển có n + 1 số hạng.
2Trong mỗi số hạng, tổng số mũ của a và b luôn bằng n (số mũ a giảm dần từ n về 0, số mũ b tăng dần từ 0 lên n).
3Số hạng tổng quát: $T_{k + 1} = C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$ , đánh số theo k chạy từ 0. Số hạng thứ k + 1 ứng với chỉ số k — lệch một đơn vị, dễ nhầm nhất.
4Hệ số nhị thức đối xứng: C(n, k) = C(n, n−k), và tổng tất cả hệ số bằng 2ⁿ: $\sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} = 2^{n}$ .
5Với (a − b)ⁿ, dấu đan xen theo (−1)ᵏ: số hạng ứng với k lẻ mang dấu âm.
6Tam giác Pascal: mỗi số bằng tổng hai số ngay phía trên, hàng thứ n chính là dãy hệ số C(n, 0), C(n, 1), …, C(n, n).

👀 Nhìn là hiểu

Bấm một ô trong tam giác Pascal (n ≤ 5) thấy nó là tổng hai ô trên; chọn n và dấu (a + b)ⁿ hay (a − b)ⁿ để xem khai triển hiện từng số hạng, bật "chỉ số hạng chứa xᵏ" để lọc riêng. Thử mẫu (x + 2)⁴ = x⁴ + 8x³ + 24x² + 32x + 16 trước khi đọc lý thuyết.

Hàng n = 4 là các hệ số C(n, k); ô vàng là số hạng đang chọn

n = 4

p = 1

q = 2

(x + 2)⁴ =

x⁴ + 8x³ + 24x² + 32x + 16

Chọn số hạng thứ k:

C(4, 0)·(x)⁴·(2)⁰ = 1 · 1 · 1 = 1 · x⁴

Luỹ thừa của x là n − k = 4: muốn tìm hệ số của một luỹ thừa thì cho n − k bằng luỹ thừa đó rồi suy ra k.

(x + 2)⁴

Hàng Pascal thứ 4 là 1, 4, 6, 4, 1. Nhân thêm luỹ thừa của 2: 1·1, 4·2, 6·4, 4·8, 1·16 ⇒ x⁴ + 8x³ + 24x² + 32x + 16. Bẫy: chép nguyên hàng Pascal mà quên luỹ thừa của 2.

1 🔺 Khai triển (a + b)ⁿ

Cần nhớ

✦ $(a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$ , có đúng n + 1 số hạng.
✦Số mũ của a giảm dần từ n về 0, số mũ của b tăng dần từ 0 lên n; tổng hai số mũ ở mọi số hạng luôn bằng n — cách kiểm nhanh có chép sót số hạng không.
✦Hệ số của số hạng là C(n, k), đọc trực tiếp từ hàng thứ n của tam giác Pascal.
✦Với (a − b)ⁿ: thay b bằng −b, dấu đan xen theo (−1)ᵏ (k lẻ thì âm).

Dạng bài

Khai triển nhị thức Newton

1 Xác định n (n ≤ 5), viết dãy hệ số C(n, 0), C(n, 1), …, C(n, n) (đọc từ tam giác Pascal hoặc tính trực tiếp).
2 Viết các số hạng theo thứ tự số mũ a giảm dần, số mũ b tăng dần.
3 Thay a, b cụ thể của đề (có thể là biểu thức, có hệ số) vào từng số hạng và rút gọn.
4 Thử lại: đếm số số hạng phải bằng n + 1, tổng hai số mũ mỗi số hạng phải bằng n.

⚠️ Bẫy hay gặp: Quên luỹ thừa của hệ số bên trong ngoặc: với (2x − 3)⁴ phải lấy cả (2x)⁴⁻ᵏ và (−3)ᵏ, không chỉ xᵏ. Bỏ sót luỹ thừa làm hệ số sai hàng chục lần — ví dụ hệ số x² đúng phải là C(4, 2)·2²·3² = 216, bỏ sót 2² thì chỉ ra 54.

🔺

Làm mẫu

Khai triển (x + 2)⁴.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Vài khai triển quen thuộc (n ≤ 4)

Biểu thức	Khai triển
(a + b)²	a² + 2ab + b²
(a + b)³	a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a + b)⁴	a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴
(a − b)³	a³ − 3a²b + 3ab² − b³
(a − b)⁴	a⁴ − 4a³b + 6a²b² − 4ab³ + b⁴

2 🎯 Số hạng tổng quát và hệ số

Cần nhớ

✦Số hạng tổng quát: $T_{k + 1} = C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$ , với k chạy từ 0 đến n.
✦Số hạng thứ k + 1 ứng chỉ số k: muốn tìm số hạng thứ 5 thì lấy k = 4, không phải k = 5.
✦Tìm hệ số của xᵐ: viết Tₖ₊₁, gom số mũ của x về một luỹ thừa duy nhất, cho số mũ đó bằng m, giải ra k.
✦k tìm được phải nguyên và 0 ≤ k ≤ n. Nếu không, kết luận hệ số của xᵐ bằng 0 (không có số hạng đó).

Dạng bài

Tìm hệ số của một số hạng

1 Viết số hạng tổng quát Tₖ₊₁ = C(n, k) aⁿ⁻ᵏ bᵏ với a, b cụ thể của đề (giữ cả hệ số đi kèm biến).
2 Gom các luỹ thừa của biến (và dấu) về một biểu thức duy nhất C(n, k) · (số) · xᵐ.
3 Cho số mũ m bằng số mũ cần tìm, giải ra k (kiểm k nguyên, 0 ≤ k ≤ n).
4 Thay k vào để tính hệ số bằng số.

⚠️ Bẫy hay gặp: Nhầm số hạng thứ k ứng với chỉ số k. Phản ví dụ: số hạng thứ 4 trong khai triển ứng với k = 3 (vì T₄ = Tₖ₊₁ với k + 1 = 4), không phải k = 4. Lấy sai k làm toàn bộ bài sai.

🎯

Làm mẫu

Tìm hệ số của x³ trong khai triển (2x − 1)⁵.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

3 ➕ Tính chất của hệ số nhị thức

Cần nhớ

✦Tính đối xứng: C(n, k) = C(n, n−k). Trong khai triển, hệ số số hạng đầu và cuối bằng nhau, số hạng thứ 2 và áp chót bằng nhau…
✦Tổng các hệ số: thay a = b = 1 vào (a + b)ⁿ được $\sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} = 2^{n}$ .
✦Thay a = 1, b = −1 vào (a + b)ⁿ được tổng có dấu đan xen bằng 0 (với n ≥ 1): C(n, 0) − C(n, 1) + C(n, 2) − … = 0.
✦Tam giác Pascal: mỗi số bằng tổng hai số ngay phía trên — cách tra nhanh hệ số mà không cần tính C(n, k) bằng công thức.

Dạng bài

Dùng tam giác Pascal để tra hệ số

1 Dựng tam giác Pascal đến hàng thứ n (mỗi số = tổng hai số ngay phía trên, hai đầu hàng luôn là 1).
2 Đọc hàng thứ n: đó chính là dãy C(n, 0), C(n, 1), …, C(n, n).
3 Ghép với luỹ thừa a, b giảm/tăng dần để viết khai triển.
4 Thử lại: tổng các số trên hàng thứ n phải bằng 2ⁿ.

⚠️ Bẫy hay gặp: Quên dấu khi khai triển (a − b)ⁿ: chỉ ghi hệ số dương hết. Dấu phải đan xen +, −, +, −, … theo (−1)ᵏ, bỏ dấu là sai một nửa số hạng.

🔺

Làm mẫu

Dùng tam giác Pascal viết khai triển (a − b)⁵.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

4 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai

⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm

✦Với n ≤ 5, nhớ sẵn hàng tương ứng của tam giác Pascal (1; 1,1; 1,2,1; 1,3,3,1; 1,4,6,4,1; 1,5,10,10,5,1) để tra hệ số không cần tính C(n, k).
✦Kiểm nhanh bài đã khai triển đúng chưa: đếm số số hạng = n + 1, và tổng hai số mũ mỗi số hạng = n.
✦Bài tìm hệ số: luôn viết số hạng tổng quát Tₖ₊₁ trước, gom mũ sau — tránh nhầm số hạng "thứ mấy" với chỉ số k.
✦Thay a = b = 1 (hoặc a = 1, b = −1) để kiểm nhanh tổng các hệ số bằng 2ⁿ (hoặc bằng 0).

⚠️ Lỗi hay sai nhất

✦Số hạng thứ k ứng với chỉ số k. Phản ví dụ: số hạng thứ 4 ứng k = 3 (vì T₄ = Tₖ₊₁ khi k = 3), không phải k = 4.
✦Quên luỹ thừa của hệ số trong ngoặc. Phản ví dụ: (2x)⁵⁻ᵏ phải lấy cả 2⁵⁻ᵏ, bỏ sót làm hệ số x³ trong (2x − 1)⁵ tụt từ 80 xuống 10.
✦Quên dấu khi khai triển (a − b)ⁿ. Phản ví dụ: (a − b)⁴ phải là a⁴ − 4a³b + 6a²b² − 4ab³ + b⁴, không phải toàn dấu cộng.
✦Nhận nghiệm k không nguyên hoặc ngoài [0; n]. Phản ví dụ: giải ra k = 2,5 nghĩa là KHÔNG có số hạng chứa luỹ thừa đó, kết luận hệ số bằng 0, không phải "làm tròn k".
✦Quên n ≤ 5 trong chương trình lớp 10: không tính các hệ số nhị thức với n lớn hoặc dùng công thức xác suất liên quan (chưa học ở bài này).

🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)

✦Chế độ tổ hợp (nCr): nhập n rồi k, bấm phím nCr để kiểm nhanh giá trị C(n, k) thay vì tính tay.
✦Chế độ tính toán thường: thay số a, b cụ thể vào (a + b)ⁿ rồi bấm máy, so với kết quả khai triển và rút gọn để kiểm.

✏️ Luyện tập

Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.

🔺

Khai triển (a + b)ⁿ

1
Nhận biết
Khai triển (a + b)ⁿ có bao nhiêu số hạng?
2
Nhận biết
(a + b)³ bằng
3
Thông hiểu Trong khai triển (x + 1)⁴, hệ số của x² là .
4
Thông hiểu
Khai triển (x − 2)³ bằng
5
Vận dụng Khai triển (x + 3)² bằng x² + x + 9.
6
Thông hiểu Trong khai triển (x − 1)⁴, hệ số của x³ là .

🎯

Số hạng tổng quát và hệ số

1
Nhận biết
Số hạng tổng quát của (a + b)ⁿ là
2
Thông hiểu
Số hạng thứ 3 trong khai triển ứng với chỉ số k bằng
3
Thông hiểu Hệ số của x² trong khai triển (x + 3)⁴ là .
4
Vận dụng
Hệ số của x³ trong khai triển (2x − 1)⁵ bằng
5
Vận dụng Hệ số của x³ trong khai triển (x + 1)⁵ là .
6
Nhận biết
Số hạng thứ 5 trong khai triển ứng với chỉ số k bằng
7
Vận dụng Hệ số của x² trong khai triển (3x − 1)⁴ là .

➕

Tính chất của hệ số nhị thức

1
Nhận biết
$\sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k}$ bằng
2
Thông hiểu C(5, 0) + C(5, 1) + C(5, 2) + C(5, 3) + C(5, 4) + C(5, 5) bằng .
3
Thông hiểu
Theo tính đối xứng, C(6, 2) bằng
4
Vận dụng Trong khai triển (a − b)⁴, hệ số của a²b² là .
5
Thông hiểu
Với n ≥ 1, tổng C(n, 0) − C(n, 1) + C(n, 2) − … (đan dấu đến C(n, n)) bằng
6
Vận dụng Theo tính đối xứng, C(7, 2) bằng C(7, ).

🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp

Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.

🅰️

Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn

1
Thông hiểu
Hệ số của x² trong khai triển (2x − 3)⁴ bằng
2
Thông hiểu
Trong khai triển (x − 1)⁵, số hạng thứ 4 (ứng k = 3) bằng
3
Vận dụng
Trong khai triển (3x − 1)⁴, hệ số của x³ bằng

✅

Phần II · Đúng / sai

1
Thông hiểu
Cho khai triển (x + 2)⁴ = x⁴ + 8x³ + 24x² + 32x + 16.

a)Khai triển có 5 số hạng.

b)Hệ số của x³ là 8.

c)Hệ số của x² là 12.

d)Số hạng không chứa x (hằng số) là 16.
2
Vận dụng
Cho khai triển (2x − 1)⁵.

a)Hệ số của x⁵ là 32.

b)Hệ số của x³ là 80.

c)Hệ số của x⁴ là 80.

d)Hệ số của số hạng không chứa x (ứng k = 5) là −1.

🔢

Phần III · Trả lời ngắn

1
Vận dụng Tìm hệ số của x² trong khai triển (x + 1)⁵. Đáp số:
2
Vận dụng Tìm hệ số của x³ trong khai triển (x − 2)⁵. Đáp số:
3
Vận dụng Tính tổng C(4, 0) + C(4, 1) + C(4, 2) + C(4, 3) + C(4, 4). Đáp số:

🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?

•Là nền cho xác suất cổ điển ở lớp 10 chương IX (dùng tổ hợp để đếm n(Ω), n(A)) và lên lớp 11–12 là nền cho các bài đếm, xác suất nhị thức phức tạp hơn.
•Trong bài kiểm tra trên lớp thường có câu khai triển trực tiếp (a + b)ⁿ hay (a − b)ⁿ với n nhỏ, câu tìm hệ số của một số hạng cụ thể, và câu dùng tính chất tổng các hệ số bằng 2ⁿ.
•Dạng hay gặp: cho một khai triển và hỏi ngược lại số hạng thứ mấy, hoặc đổi (a + b)ⁿ sang (a − b)ⁿ để kiểm học sinh có nhớ dấu đan xen không.

Làm đề thi thử trọn bộ

Chủ đề tiếp theo
Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất