Chủ đề 20 · Học kỳ 2 ⭐ Hay ra thi tốt nghiệp

Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách

Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng, tính góc giữa hai đường thẳng và khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.

Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 20

⚡ Nhớ nhanh

1Xét vị trí tương đối bằng cách giải hệ hai phương trình: một nghiệm ⇒ cắt, vô nghiệm ⇒ song song, vô số nghiệm ⇒ trùng.
2Nhận biết nhanh qua tỉ lệ hệ số: a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ ⇒ cắt; a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ ⇒ song song; cả ba tỉ lệ bằng nhau ⇒ trùng.
3Góc giữa hai đường thẳng: cos φ = | $n_{1} \cdot n_{2}$ | / (| $n_{1}$ |·| $n_{2}$ |), luôn lấy trị tuyệt đối ở tử nên φ ∈ [0°; 90°] (khác góc giữa hai vectơ, có thể tới 180°).
4Khoảng cách từ M(x_M; y_M) đến Δ: ax + by + c = 0 là d(M, Δ) = |ax_M + by_M + c| / √(a² + b²).
5Hai đường vuông góc khi $n_{1} \cdot n_{2}$ = 0.
6Thói quen chống sai: khoảng cách và cos φ luôn không âm; ra số âm là quên dấu trị tuyệt đối.

👀 Nhìn là hiểu

Kéo hai đường thẳng trên lưới Oxy: hình báo ngay cắt / song song / trùng theo tỉ lệ hệ số, hiện góc giữa chúng (luôn lấy góc nhọn ≤ 90°). Kéo điểm M để đo khoảng cách tới một đường, có đoạn vuông góc vẽ ra. Mẫu: d(M, Δ) với M(2; −3), Δ: 3x − 4y + 1 = 0: |6 + 12 + 1|/5 = 19/5 = 3,8.

▬ d₁ · ▬ d₂ · ⇢ đoạn vuông góc từ M tới d₁ · ● giao điểm

d₁: 3x − 4y + 1 = 0

a = 3

b = −4

c = 1

d₂: x + y − 1 = 0

a = 1

b = 1

c = −1

Vị trí tương đối: CẮT nhau tại đúng một điểm

Giao điểm (0,43; 0,57)

Góc giữa d₁ và d₂ ≈ 81,9°

cos góc = |a₁a₂ + b₁b₂| / (√(a₁² + b₁²) · √(a₂² + b₂²)) — có trị tuyệt đối nên góc luôn ≤ 90°.

d(M(2; −3), d₁) = 19 / √25 ≈ 3,8

d(M, d₂) ≈ 1,41

d(M, Δ) với M(2; −3)

d(M, Δ) = |3·2 − 4·(−3) + 1| / √(3² + (−4)²) = |6 + 12 + 1| / 5 = 19/5 = 3,8. Bẫy: quên lấy TRỊ TUYỆT ĐỐI ở tử, hoặc lấy √(3² + 4²) ở tử.

1 🔀 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cần nhớ

✦Cắt nhau: $n_{1}$ , $n_{2}$ không cùng phương, hệ có một nghiệm. Ví dụ: a₁/a₂ ≠ b₁/b₂.
✦Song song: pháp tuyến cùng phương nhưng hằng số c khác tỉ lệ, hệ vô nghiệm. Ví dụ: 2x + y − 3 = 0 và 4x + 2y − 5 = 0 (tỉ lệ a, b là 12, tỉ lệ c là 35 ≠ 12).
✦Trùng nhau: mọi hệ số cùng tỉ lệ, hệ vô số nghiệm. Ví dụ: 2x + 3y − 1 = 0 và 4x + 6y − 2 = 0 (tỉ lệ 12 ở cả ba hệ số).
✦Chỉ kiểm a₁/a₂ = b₁/b₂ mà không kiểm c₁/c₂ thì chưa phân biệt được song song hay trùng.

Dạng bài

Xét vị trí tương đối bằng tỉ lệ hệ số

1 Viết cả hai đường ở dạng tổng quát ax + by + c = 0.
2 So sánh a₁/a₂ với b₁/b₂. Khác nhau thì kết luận cắt nhau ngay.
3 Bằng nhau thì so tiếp với c₁/c₂: bằng ⇒ trùng, khác ⇒ song song.
4 Nếu a₂ hoặc b₂ bằng 0 thì xét bằng cách nhân chéo thay vì chia, tránh chia cho 0.

⚠️ Bẫy hay gặp: Thấy a₁/a₂ = b₁/b₂ = 12 rồi vội kết luận song song mà quên kiểm c₁/c₂. Nếu c₁/c₂ cũng bằng 12 thì hai đường trùng nhau, không phải song song.

🔀

Làm mẫu

Xét vị trí tương đối của d₁: 2x + 3y − 1 = 0 và d₂: 4x + 6y − 2 = 0.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

2 📐 Góc giữa hai đường thẳng

Cần nhớ

✦cos φ = | $n_{1} \cdot n_{2}$ | / (| $n_{1}$ |·| $n_{2}$ |). Trị tuyệt đối ở tử là bắt buộc.
✦Góc giữa hai đường thẳng luôn trong [0°; 90°], khác góc giữa hai vectơ (có thể tới 180°). Dấu trị tuyệt đối chính là để đảm bảo điều đó.
✦Hai đường vuông góc ⇔ $n_{1} \cdot n_{2}$ = 0 ⇔ cos φ = 0 ⇔ φ = 90°.
✦Hai đường song song hoặc trùng thì φ = 0°.

Dạng bài

Tính góc giữa hai đường thẳng

1 Xác định vectơ pháp tuyến $n_{1}$ , $n_{2}$ của hai đường (đọc từ hệ số a, b).
2 Tính $n_{1} \cdot n_{2}$ và lấy trị tuyệt đối.
3 Tính | $n_{1}$ |, | $n_{2}$ |, thay vào công thức cos φ.
4 Suy ra φ, kiểm φ ∈ [0°; 90°].

⚠️ Bẫy hay gặp: Quên trị tuyệt đối ở tử sẽ ra cos âm và góc tù (φ ≈ 108°) — sai, vì góc giữa hai đường thẳng theo định nghĩa không bao giờ quá 90°.

📐

Làm mẫu

Tính góc giữa d₁: x + y − 1 = 0 và d₂: x − 2y + 3 = 0.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Đọc nhanh góc từ tích vô hướng

$\vec n_1 \cdot \vec n_2$	Kết luận về góc
= 0	Vuông góc, φ = 90°
≠ 0, hai đường cắt nhau	cos φ = \| $n_{1} \cdot n_{2}$ \| / (\| $n_{1}$ \|\| $n_{2}$ \|), φ ∈ (0°; 90°)
Hai đường song song hoặc trùng	φ = 0°

3 📏 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cần nhớ

✦d(M, Δ) = |ax_M + by_M + c| / √(a² + b²), với Δ: ax + by + c = 0 và M(x_M; y_M).
✦Phương trình phải ở dạng tổng quát trước khi thay vào công thức. Ví dụ: y = 2x + 1 phải viết lại 2x − y + 1 = 0.
✦Khoảng cách luôn không âm — ra số âm là quên trị tuyệt đối ở tử.
✦d(M, Δ) = 0 khi và chỉ khi M thuộc Δ.

Dạng bài

Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

1 Đưa phương trình đường thẳng về dạng tổng quát ax + by + c = 0.
2 Thay toạ độ điểm M vào tử: tính |ax_M + by_M + c|.
3 Tính mẫu: √(a² + b²).
4 Chia tử cho mẫu, kết quả là một số không âm.

⚠️ Bẫy hay gặp: Thay phương trình chưa đưa về dạng tổng quát, ví dụ y = 2x + 1 lấy luôn a = 2, b = 1 (bỏ qua việc y phải chuyển vế). Phải viết lại 2x − y + 1 = 0 mới lấy a = 2, b = −1, c = 1.

📏

Làm mẫu

Tính khoảng cách từ M(2; −3) đến Δ: 3x − 4y + 1 = 0.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

4 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai

⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm

✦Thấy hỏi "vị trí tương đối": so tỉ lệ a, b trước — khác nhau thì chắc chắn cắt, khỏi tính tiếp c.
✦Thấy hỏi "góc giữa hai đường thẳng": luôn nhớ đặt trị tuyệt đối ở tử trước khi bấm máy.
✦d(M, Δ) = 0 là cách nhanh nhất để kiểm M có thuộc Δ không, khỏi thay trực tiếp vào phương trình.
✦Hai đường vuông góc thì tích vô hướng hai pháp tuyến bằng 0 — kiểm nhanh bằng cách nhân hệ số a₁a₂ + b₁b₂.

⚠️ Lỗi hay sai nhất

✦Quên trị tuyệt đối ở tử khi tính góc. Phản ví dụ: ra cos âm, φ ≈ 108° — sai vì góc giữa hai đường thẳng không quá 90°.
✦Quên trị tuyệt đối ở tử khi tính khoảng cách. Phản ví dụ: ra số âm là chắc chắn sai.
✦Kết luận song song chỉ từ a₁/a₂ = b₁/b₂, quên kiểm c₁/c₂. Phản ví dụ: 2x + 3y − 1 = 0 và 4x + 6y − 2 = 0 cùng tỉ lệ cả ba hệ số nên trùng, không phải song song.
✦Thay phương trình chưa ở dạng tổng quát vào công thức khoảng cách. Phản ví dụ: y = 2x + 1 phải viết lại 2x − y + 1 = 0 trước.
✦Nhầm góc giữa hai đường thẳng với góc giữa hai vectơ pháp tuyến (không lấy trị tuyệt đối thì hai góc có thể bù nhau).
✦Kết luận vuông góc chỉ vì "nhìn thấy hệ số nghịch đảo" mà không tính tích vô hướng cụ thể.

🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)

✦Chế độ tính biểu thức: tính trực tiếp |ax_M + by_M + c| và √(a² + b²) rồi chia, kiểm lại khoảng cách.
✦Chế độ Vectơ (nếu máy có): tính tích vô hướng và độ dài hai vectơ pháp tuyến để kiểm cos φ.
✦Dùng chế độ lượng giác ngược (cos⁻¹) để đổi cos φ ra số đo góc, kiểm φ ≤ 90°.

✏️ Luyện tập

Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.

🔀

Vị trí tương đối

1
Nhận biết
Hai đường thẳng có vectơ pháp tuyến không cùng phương thì
2
Thông hiểu
Hai đường thẳng 2x + 3y − 1 = 0 và 4x + 6y − 2 = 0
3
Thông hiểu
Hai đường thẳng 2x + y − 3 = 0 và 4x + 2y − 5 = 0
4
Thông hiểu Hai đường thẳng x − y + 1 = 0 và x + y − 3 = 0 cắt nhau tại điểm có hoành độ x = .
5
Thông hiểu
Hai đường thẳng x + 2y − 3 = 0 và 2x + 4y − 7 = 0
6
Vận dụng Hai đường thẳng 3x − y + 2 = 0 và 6x − 2y + m = 0 trùng nhau khi m = .

📐

Góc giữa hai đường thẳng

1
Nhận biết
Góc giữa hai đường thẳng luôn thuộc khoảng
2
Thông hiểu
Hai đường thẳng vuông góc khi
3
Thông hiểu
Hai đường thẳng 2x − y + 1 = 0 và x + 2y − 3 = 0
4
Vận dụng Góc giữa hai đường thẳng x + y − 1 = 0 và x − 2y + 3 = 0 gần bằng độ (làm tròn đến hàng phần trăm).
5
Nhận biết
Hai đường thẳng vuông góc nhau thì góc giữa chúng bằng
6
Vận dụng
Góc giữa hai đường thẳng 3x + y − 2 = 0 và x − 3y + 1 = 0 bằng

📏

Khoảng cách điểm đến đường thẳng

1
Nhận biết
Khoảng cách từ O(0; 0) đến 3x + 4y − 10 = 0 bằng
2
Thông hiểu Khoảng cách từ M(2; −3) đến Δ: 3x − 4y + 1 = 0 bằng .
3
Thông hiểu
Khoảng cách từ A(1; 2) đến đường thẳng x − y + 3 = 0 bằng
4
Vận dụng
Khoảng cách từ B(0; 1) đến đường thẳng y = 2x − 3 bằng
5
Vận dụng Điểm M(m; 1) cách đường thẳng x − y + 2 = 0 một khoảng bằng √2 khi m = (lấy nghiệm dương).
6
Thông hiểu Khoảng cách từ A(2; 1) đến đường thẳng 4x − 3y + 5 = 0 bằng .
7
Vận dụng
Khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng 6x + 8y − 20 = 0 bằng

🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp

Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.

🅰️

Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn

1
Thông hiểu
Khoảng cách từ M(1; −2) đến đường thẳng 3x + 4y − 1 = 0 bằng
2
Vận dụng
Hai đường thẳng x + my − 1 = 0 và 2x − y + 3 = 0 vuông góc khi m bằng
3
Vận dụng
Góc giữa d₁: 2x − y + 1 = 0 và d₂: x − 3y + 2 = 0 gần bằng

✅

Phần II · Đúng / sai

1
Thông hiểu
Cho hai đường thẳng d₁: x + y − 1 = 0 và d₂: x − 2y + 3 = 0.

a)Vectơ pháp tuyến của d₁ và d₂ không cùng phương nên hai đường cắt nhau.

b)cos φ giữa d₁ và d₂ bằng −1/√10.

c)Góc giữa d₁ và d₂ xấp xỉ 71,57°.

d)Hai đường thẳng này vuông góc với nhau.
2
Vận dụng
Cho đường thẳng Δ: 3x − 4y + 1 = 0 và điểm M(2; −3).

a)Giá trị |3·2 − 4·(−3) + 1| bằng 19.

b)√(3² + (−4)²) bằng 5.

c)Khoảng cách d(M, Δ) bằng 195.

d)Điểm M thuộc đường thẳng Δ.

🔢

Phần III · Trả lời ngắn

1
Vận dụng Khoảng cách từ O(0; 0) đến đường thẳng 3x + 4y − 10 = 0. Đáp số:
2
Vận dụng Góc giữa hai đường thẳng 2x − y + 1 = 0 và x − 3y + 2 = 0, làm tròn đến độ. Đáp số:
3
Vận dụng Khoảng cách từ M(2; −3) đến Δ: 3x − 4y + 1 = 0. Đáp số:

🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?

•Là nền cho vị trí tương đối, góc, khoảng cách trong không gian Oxyz ở lớp 12: cùng công thức cos φ và d(M, mặt phẳng) có trị tuyệt đối, chỉ thêm toạ độ z.
•Trong đề thường hỏi: một câu xét vị trí tương đối hoặc tính góc (phần I), một câu tính khoảng cách cụ thể (phần I hoặc III), và câu đúng/sai gộp cả ba: vị trí, góc, khoảng cách trên cùng một cặp đường thẳng.
•Lỗi hay mất điểm nhất: quên trị tuyệt đối ở tử (cả công thức góc lẫn khoảng cách), và kết luận song song mà không kiểm hết ba tỉ lệ hệ số.

Làm đề thi thử trọn bộ

Chủ đề tiếp theo
Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ