Chủ đề 21 · Học kỳ 2 ⭐ Hay ra thi tốt nghiệp

Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ

Viết phương trình đường tròn ở hai dạng, nhận biết phương trình khai triển có phải đường tròn không, xét vị trí giữa một đường thẳng với đường tròn và viết được phương trình tiếp tuyến.

Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 21

⚡ Nhớ nhanh

1Dạng chính tắc: (x − a)² + (y − b)² = R², đọc thẳng ra tâm I(a; b) và bán kính R. Chú ý dấu ngược: (x + 3)² = (x − (−3))² cho a = −3.
2Dạng khai triển: x² + y² − 2ax − 2by + c = 0 là đường tròn khi và chỉ khi R² = a² + b² − c > 0 (tâm I(a; b) lấy từ nửa hệ số x, y rồi đổi dấu).
3Vị trí đường thẳng Δ và đường tròn so bằng d(I, Δ) với R: d > R không cắt, d = R tiếp xúc (1 điểm), d < R cắt (2 điểm).
4Tiếp tuyến tại điểm M trên đường tròn vuông góc với bán kính IM tại M, nên nhận $I M$ làm vectơ pháp tuyến.
5Đường tròn nhận AB làm đường kính có tâm I là trung điểm AB, bán kính R = AB/2.

👀 Nhìn là hiểu

Kéo tâm I và bán kính R: cột bên hiện cả dạng chính tắc lẫn dạng khai triển cùng lúc. Bấm "từ phương trình khai triển" rồi đổi hệ số để thấy khi a² + b² − c ≤ 0 thì không còn là đường tròn. Kéo thêm đường thẳng Δ để so d(I, Δ) với R — mẫu đầu x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0 cho I(3; −2), R = 5, thử trước khi đọc lý thuyết.

Tâm I(3; −2) · R = 5

D = −6

E = 4

F = −12

x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0

(x − 3)² + (y + 2)² = 25

R² = 25 ⇒ R = 5 (nhớ lấy căn).

x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0

Tâm lấy một nửa hệ số rồi ĐỔI DẤU: I(−D/2; −E/2) = I(3; −2). R² = 3² + (−2)² − (−12) = 9 + 4 + 12 = 25 nên R = 5. Bẫy: dừng ở 25 rồi ghi R = 25 — đó mới là R².

1 ⭕ Dạng chính tắc và nhận ra đường tròn

Cần nhớ

✦Dạng chính tắc: (x − a)² + (y − b)² = R², tâm I(a; b), bán kính R > 0.
✦Dấu trong ngoặc ngược với toạ độ tâm: (x + 3)² + (y − 1)² = 4 cho I(−3; 1), không phải I(3; 1).
✦Dạng khai triển x² + y² − 2ax − 2by + c = 0 là đường tròn khi R² = a² + b² − c dương; bằng 0 thì tập nghiệm chỉ một điểm, âm thì rỗng.
✦Hai hệ số của x² và y² phải bằng nhau và không có số hạng xy thì mới có dạng đường tròn.

Dạng bài

Tìm tâm, bán kính từ phương trình khai triển

1 Kiểm hệ số x² và y² bằng nhau, không có số hạng xy.
2 Lấy a = −hệ số x2, b = −hệ số y2.
3 Tính R² = a² + b² − c; dương mới kết luận là đường tròn, rồi lấy căn ra R.
4 Thử lại: thay I vào phương trình đã khai triển ngược từ (x − a)² + (y − b)² = R².

⚠️ Bẫy hay gặp: Lấy R = a² + b² − c = 25 làm bán kính. Đó là R², phải lấy căn mới ra R = 5.

⭕

Làm mẫu

Phương trình x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0 có phải đường tròn không? Nếu có, tìm tâm và bán kính.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Dấu của R² = a² + b² − c

R² = a² + b² − c	Kết luận
Dương	Là đường tròn tâm I(a; b), bán kính R = √(a² + b² − c)
Bằng 0	Tập nghiệm chỉ một điểm I(a; b), không phải đường tròn
Âm	Tập nghiệm rỗng, không tồn tại đường nào

2 ✍️ Viết phương trình đường tròn

Cần nhớ

✦Biết tâm I(a; b) và bán kính R: viết thẳng (x − a)² + (y − b)² = R².
✦Biết tâm I và một điểm A trên đường tròn: R = IA = √((x_A − a)² + (y_A − b)²).
✦Biết hai điểm A, B là đường kính: tâm I là trung điểm AB, R = AB/2.
✦Biết tâm I và một đường thẳng Δ tiếp xúc: R = d(I, Δ).

Dạng bài

Viết phương trình đường tròn đường kính AB

1 Tính tâm I là trung điểm AB: I = (x_A + x_B2; y_A + y_B2).
2 Tính R = AB/2 (hoặc R² = IA²).
3 Viết (x − a)² + (y − b)² = R².
4 Thử lại: thay A, B vào phương trình, phải thoả cả hai.

⚠️ Bẫy hay gặp: Lấy R = AB (quên chia 2). Đường kính AB = 4√2 thì bán kính chỉ bằng một nửa, R = 2√2.

✍️

Làm mẫu

Viết phương trình đường tròn nhận AB làm đường kính với A(1; 1), B(5; 5).

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

3 📏 Vị trí đường thẳng và đường tròn

Cần nhớ

✦So khoảng cách từ tâm d(I, Δ) với bán kính R: d > R không cắt, d = R tiếp xúc (đúng 1 điểm chung), d < R cắt (2 điểm chung).
✦Công thức khoảng cách từ điểm I(x₀; y₀) đến Δ: ax + by + c = 0 là d(I, Δ) = |ax₀ + by₀ + c|/√(a² + b²).
✦Tiếp tuyến tại điểm M₀(x₀; y₀) thuộc đường tròn tâm I: nhận $I M_{0}$ làm vectơ pháp tuyến, viết phương trình đi qua M₀.
✦Trước khi viết tiếp tuyến tại M₀, nên kiểm M₀ có thật sự thuộc đường tròn (thay vào phương trình, phải thoả) rồi mới làm tiếp.

Dạng bài

Xét vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một đường tròn

1 Xác định tâm I, bán kính R của đường tròn.
2 Tính d(I, Δ) bằng công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng.
3 So d với R để kết luận không cắt / tiếp xúc / cắt.
4 Thử lại: nếu tiếp xúc hoặc cắt, có thể thay toạ độ điểm chung (nếu tính được) vào cả hai phương trình.

⚠️ Bẫy hay gặp: Quên dấu trị tuyệt đối ở tử: tính 3 + 8 − 1 = 10 thì đúng vì kết quả dương, nhưng nếu đề cho ra số âm mà bỏ dấu trị tuyệt đối thì d sẽ âm, vô lí — khoảng cách luôn không âm.

📏

Làm mẫu

Xét vị trí của Δ: 3x + 4y − 1 = 0 với đường tròn tâm I(1; 2), bán kính R = 3.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Dạng bài

Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm trên đường tròn

1 Kiểm điểm M₀ cho trước có thuộc đường tròn không (thay vào phương trình).
2 Tính $I M_{0}$ = (x₀ − a; y₀ − b), đây là vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến.
3 Viết phương trình đường thẳng qua M₀ nhận $I M_{0}$ làm vectơ pháp tuyến.
4 Thử lại: kiểm d(I, Δ) = R.

⚠️ Bẫy hay gặp: Dùng toạ độ tâm I làm vectơ pháp tuyến thay vì $I M_{0}$ . Pháp tuyến phải là vectơ từ tâm đến điểm tiếp xúc, không phải toạ độ tâm.

📏

Làm mẫu

Viết phương trình tiếp tuyến tại A(4; 0) của đường tròn x² + y² = 16.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

4 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai

⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm

✦Thấy ngay hai hệ số x² và y² có bằng nhau và không có xy thì mới nghĩ tới đường tròn — loại ngay các đáp án vi phạm.
✦Đường tròn qua gốc O thường cho c = 0 trong dạng khai triển (vì thay (0;0) vào phải ra 0).
✦Đường tròn tiếp xúc với trục Ox thì R = |tung độ tâm|; tiếp xúc trục Oy thì R = |hoành độ tâm|.
✦Khi đề cho sẵn tâm và một điểm trên đường tròn, tính R² luôn nhanh hơn tính R rồi bình phương lại.

⚠️ Lỗi hay sai nhất

✦Đọc tâm quên đổi dấu: (x + 2)² + (y − 3)² = 9 cho I(2; 3). Phản ví dụ: đúng phải là I(−2; 3).
✦Lấy R = a² + b² − c thay vì lấy căn. Phản ví dụ: R² = 25 thì R = 5, không phải 25.
✦Kết luận là đường tròn mà không kiểm R² > 0. Phản ví dụ: x² + y² − 2x + 4y + 10 = 0 có R² = 1 + 4 − 10 = −5 < 0, không phải đường tròn.
✦Quên dấu trị tuyệt đối khi tính d(I, Δ), có thể ra khoảng cách âm — vô lí.
✦Viết tiếp tuyến dùng toạ độ tâm I làm vectơ pháp tuyến thay vì $I M_{0}$ .
✦Với đường kính AB, lấy R = AB thay vì R = AB/2.

🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)

✦Chế độ giải phương trình: thay toạ độ điểm nghi ngờ vào phương trình đường tròn để kiểm điểm có thuộc không.
✦Dùng chế độ tính căn bậc hai để kiểm R từ R² và kiểm khoảng cách d(I, Δ) sau khi cộng trừ nhân chia cẩn thận.
✦Bài xét dấu R² = a² + b² − c: tính tay từng số hạng rồi cộng, tránh nhầm dấu khi c âm.

✏️ Luyện tập

Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.

⭕

Dạng chính tắc và nhận ra đường tròn

1
Nhận biết
Đường tròn (x − 1)² + (y + 2)² = 9 có tâm và bán kính là
2
Nhận biết
Đường tròn x² + y² = 16 có bán kính bằng
3
Thông hiểu
Đường tròn (x + 3)² + (y − 1)² = 4 có tâm là
4
Thông hiểu
Phương trình x² + y² − 2x + 4y + 10 = 0
5
Thông hiểu Phương trình x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0 là đường tròn có bán kính R = .
6
Thông hiểu
Đường tròn x² + y² + 4x − 2y − 4 = 0 có bán kính bằng

✍️

Viết phương trình đường tròn

1
Nhận biết
Đường tròn tâm I(2; −1), bán kính R = 3 có phương trình chính tắc là
2
Thông hiểu
Đường tròn tâm I(1; 1) đi qua điểm A(4; 5) có bán kính bằng
3
Thông hiểu Đường tròn nhận AB làm đường kính với A(0; 0), B(6; 8) có tâm I(; 4).
4
Vận dụng
Đường tròn nhận AB làm đường kính với A(1; 1), B(5; 5) có bán kính bằng
5
Vận dụng Đường tròn tâm I(1; −3), tiếp xúc với trục Ox có bán kính R = .
6
Thông hiểu Đường tròn tâm I(−2; 3) đi qua điểm A(1; −1) có bán kính R = .

📏

Vị trí đường thẳng và đường tròn

1
Nhận biết
Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn khi
2
Thông hiểu Khoảng cách từ tâm I(1; 2) đến Δ: 3x + 4y − 1 = 0 bằng .
3
Thông hiểu
Với I(1; 2), R = 3 và Δ: 3x + 4y − 1 = 0 (d = 2 đã tính ở câu trên), vị trí của Δ với đường tròn là
4
Vận dụng
Tiếp tuyến tại A(4; 0) của đường tròn x² + y² = 16 có phương trình là
5
Vận dụng Khoảng cách từ tâm I(0; 0) đến đường thẳng Δ: x + y − 4 = 0 làm tròn đến hàng phần trăm bằng .
6
Nhận biết
Đường thẳng không cắt đường tròn khi
7
Vận dụng
Đường tròn tâm I(1; −2), bán kính R = 5 và Δ: 3x + 4y − 1 = 0. Vị trí tương đối là

🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp

Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.

🅰️

Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn

1
Thông hiểu
Đường tròn x² + y² + 2x − 6y + 1 = 0 có tâm và bán kính là
2
Vận dụng
Để phương trình x² + y² − 2x + 4y + m = 0 là phương trình một đường tròn thì m phải thoả
3
Vận dụng
Đường tròn tâm I(2; 1), bán kính R = 5 và đường thẳng Δ: 3x − 4y + 1 = 0. Vị trí của Δ với đường tròn là

✅

Phần II · Đúng / sai

1
Thông hiểu
Cho đường tròn (C): x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0 và đường thẳng Δ: 3x + 4y − 1 = 0.

a)Đường tròn (C) có tâm I(3; −2).

b)Bán kính của (C) bằng 25.

c)Khoảng cách từ I đến Δ bằng 0, tức Δ đi qua tâm I.

d)Δ cắt (C) tại hai điểm đối xứng nhau qua I.
2
Vận dụng
Cho đường tròn (C): x² + y² − 2x + 4y + 10 = 0.

a)Hệ số x² và y² của (C) bằng nhau.

b)(C) có tâm I(1; −2).

c)(C) là một đường tròn với bán kính R = √5.

d)Nếu đổi hệ số tự do thành −5 (tức x² + y² − 2x + 4y − 5 = 0) thì phương trình mới là đường tròn.

🔢

Phần III · Trả lời ngắn

1
Vận dụng Đường tròn tâm I(3; −2), bán kính R = 5 có phương trình khai triển x² + y² − 6x + 4y + c = 0. Tìm c. Đáp số:
2
Vận dụng Đường tròn nhận AB làm đường kính với A(1; 1), B(5; 5) có bán kính R, làm tròn đến hàng phần trăm. Đáp số:
3
Vận dụng Khoảng cách từ tâm I(1; 2) đến Δ: 3x + 4y − 1 = 0 bằng bao nhiêu? Đáp số:

🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?

•Là nền cho phương pháp toạ độ trong không gian ở lớp 12 (phương trình mặt cầu dùng đúng cách kiểm R² > 0 và cách tìm tâm, bán kính tương tự).
•Trong bài kiểm tra trên lớp thường có câu nhận biết tâm, bán kính từ dạng khai triển, câu xét một phương trình có phải đường tròn không, và câu xét vị trí đường thẳng với đường tròn bằng khoảng cách.
•Phần III hay hỏi tìm một hệ số (như c) để phương trình thoả điều kiện cho trước (tâm, bán kính, hoặc đi qua một điểm) — bước dễ sai là quên đổi dấu khi tìm a, b.

Làm đề thi thử trọn bộ

Chủ đề tiếp theo
Ba đường conic