Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Vẽ được miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, tìm đúng toạ độ các đỉnh và dùng định lí giá trị lớn nhất – nhỏ nhất để giải bài toán tối ưu thực tế.
Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 4
⚡ Nhớ nhanh
- 1Miền nghiệm của hệ là phần giao của các miền nghiệm từng bất phương trình trong hệ (điểm phải thoả mọi bất phương trình).
- 2Với các bất phương trình bậc nhất, miền giao đó (nếu bị chặn) là một đa giác, có các cạnh là một phần đường bờ và các đỉnh là giao điểm hai đường bờ liền kề.
- 3Định lí tối ưu tuyến tính: nếu miền nghiệm là đa giác kín thì F = ax + by đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất tại một đỉnh của đa giác ⇒ chỉ cần tính F tại từng đỉnh rồi so, không cần xét cả miền.
- 4Tìm toạ độ đỉnh bằng cách giải hệ hai phương trình của hai đường bờ cắt nhau tại đó — không đọc toạ độ bằng mắt trên hình.
- 5Bài toán thực tế (sản xuất, kinh doanh…) luôn có thêm điều kiện không âm x ≥ 0, y ≥ 0 vì số lượng không thể âm.
👀 Nhìn là hiểu
Chồng từng nửa mặt phẳng của hệ x ≥ 0, y ≥ 0, x + 2y ≤ 8, x + y ≤ 5 để thấy miền nghiệm là tứ giác OABC với toạ độ từng đỉnh; kéo đường F = 3x + 2y = k quét qua miền và xem bảng F tại bốn đỉnh để hiểu vì sao chỉ cần so đỉnh, không cần dò cả miền. Nút mẫu khác đổi sang bài xưởng bàn (F = 300x + 200y).
┅ đường F = k · ● đỉnh cho F lớn nhất · kéo M
x ≥ 0 · y ≥ 0 · x + 2y ≤ 8 · x + y ≤ 5
| Đỉnh | F |
|---|---|
| A(0; 4) | 8 |
| O(0; 0) | 0 |
| C(5; 0) | 15 ← lớn nhất |
| B(2; 3) | 12 |
M(2; 1): F(M) = 8
F = 3x + 2y
Miền nghiệm là tứ giác OABC với O(0; 0), A(0; 4), B(2; 3), C(5; 0). B là giao của x + 2y = 8 và x + y = 5. F tại các đỉnh: 0, 8, 12, 15 ⇒ F lớn nhất bằng 15 tại C(5; 0), nhỏ nhất bằng 0 tại O.
1 🗺️ Miền nghiệm của hệ
Cần nhớ
- ✦Miền nghiệm của hệ = giao các miền nghiệm thành phần. Một điểm thuộc miền nghiệm của hệ khi và chỉ khi nó thoả tất cả các bất phương trình.
- ✦Hệ càng nhiều bất phương trình thì miền càng bị "cắt gọt" nhỏ lại (giao thêm một nửa mặt phẳng chỉ có thể làm miền nhỏ đi hoặc giữ nguyên, không thể to ra).
- ✦Hệ có x ≥ 0, y ≥ 0 thì miền nghiệm luôn nằm trong góc phần tư thứ I (kể cả hai trục).
- ✦Miền nghiệm có thể là đa giác kín (bị chặn, như tứ giác OABC) hoặc không bị chặn (ví dụ hệ chỉ có x ≥ 0, y ≥ 0 không có cận trên).
Dạng bài
Vẽ miền nghiệm của một hệ bất phương trình
- 1 Vẽ từng đường bờ (thay bất phương trình bằng dấu "="); đường bờ nét liền nếu bất phương trình có dấu ≤, ≥, nét đứt nếu dấu <, >.
- 2 Với mỗi bất phương trình, thử một điểm không nằm trên đường bờ (thường là gốc O) để biết nửa mặt phẳng nào là miền nghiệm.
- 3 Tô phần giao của tất cả các nửa mặt phẳng đó — chỉ phần nằm trong mọi miền mới là nghiệm của hệ.
- 4 Nếu miền tô được là đa giác kín thì xác định số đỉnh và chuẩn bị tính toạ độ từng đỉnh.
⚠️ Bẫy hay gặp: Chỉ vẽ một bất phương trình rồi dừng. Phải tô đủ cả bốn nửa mặt phẳng và lấy đúng phần chung — thiếu một bất phương trình thì miền vẽ ra rộng hơn miền nghiệm thật.
Vẽ miền nghiệm của hệ x ≥ 0, y ≥ 0, x + 2y ≤ 8, x + y ≤ 5.
Hướng dẫn giải
Dấu bất phương trình và đường bờ
| Dấu | Đường bờ | Điểm trên bờ |
|---|---|---|
| ≤ hoặc ≥ | Nét liền | Thuộc miền nghiệm |
| < hoặc > | Nét đứt | Không thuộc miền nghiệm |
2 ⭐ Định lí giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
Cần nhớ
- ✦Nếu miền nghiệm là đa giác kín, F = ax + by đạt max và min tại một đỉnh của đa giác — không bao giờ đạt ở điểm nằm hẳn trong lòng miền.
- ✦Vì vậy chỉ cần: liệt kê mọi đỉnh, tính F tại từng đỉnh, rồi so sánh để chọn max/min.
- ✦Nếu miền nghiệm không bị chặn, F có thể không có max (hoặc không có min) tuỳ hướng mở của miền.
- ✦Đỉnh cho F lớn nhất và đỉnh cho F nhỏ nhất thường là hai đỉnh khác nhau của cùng một đa giác.
Dạng bài
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của F trên miền nghiệm
- 1 Vẽ miền nghiệm (hoặc dùng miền đề đã cho) và liệt kê toạ độ mọi đỉnh.
- 2 Tính giá trị F tại từng đỉnh, ghi thành bảng cho dễ so sánh.
- 3 So sánh các giá trị: số lớn nhất là max, số nhỏ nhất là min.
- 4 Kết luận kèm đúng toạ độ đỉnh đạt được, không chỉ ghi mỗi con số.
⚠️ Bẫy hay gặp: Dò thử vài điểm bên trong miền (như (1;1), (2;2)…) để đoán max. Dò trong lòng miền vừa mất công vừa không bao giờ chắc chắn — luôn chỉ tính tại đỉnh.
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của F = 3x + 2y trên miền tứ giác OABC với O(0;0), A(0;4), B(2;3), C(5;0).
Hướng dẫn giải
Bảng thử các đỉnh với F = 3x + 2y
| Đỉnh | F = 3x + 2y |
|---|---|
| O(0;0) | 0 |
| A(0;4) | 8 |
| B(2;3) | 12 |
| C(5;0) | 15 — lớn nhất |
3 📐 Tìm toạ độ các đỉnh
Cần nhớ
- ✦Mỗi đỉnh của miền nghiệm là giao điểm của hai đường bờ liền kề (nhìn hình để biết hai đường bờ nào gặp nhau tại đỉnh đó).
- ✦Toạ độ đỉnh phải tính bằng cách giải hệ hai phương trình của hai đường bờ — nhìn hình chỉ để biết đỉnh nào cần tính, không dùng để lấy số.
- ✦Phải liệt kê đủ mọi đỉnh, kể cả đỉnh nằm trên trục toạ độ (như O, hay điểm trên Ox, Oy) — bỏ sót một đỉnh có thể mất đúng đỉnh cho kết quả tối ưu.
- ✦Thử lại bằng cách thay toạ độ vừa tìm vào cả hai phương trình đường bờ, phải ra đúng cả hai.
Dạng bài
Tìm toạ độ một đỉnh
- 1 Xác định hai đường bờ cắt nhau tại đỉnh cần tìm.
- 2 Viết hệ hai phương trình (thay bất phương trình bằng dấu "=").
- 3 Giải hệ (cộng, trừ hoặc thế) để ra x, y.
- 4 Thử lại: thay x, y vào cả hai phương trình đường bờ.
⚠️ Bẫy hay gặp: Đọc toạ độ B bằng mắt trên hình vẽ rồi lấy số lẻ, ví dụ đoán B(2,1; 2,9). Hình vẽ tay không chính xác tuyệt đối — bắt buộc giải hệ mới ra đúng số nguyên B(2;3).
Tìm toạ độ đỉnh B, là giao của hai đường bờ x + 2y = 8 và x + y = 5.
Hướng dẫn giải
4 🏭 Bài toán tối ưu thực tế
Bốn bước giải bài toán tối ưu
- ✦1. Đặt ẩn: gọi rõ x, y là đại lượng gì (đơn vị gì), kèm điều kiện không âm x ≥ 0, y ≥ 0.
- ✦2. Lập hệ: mỗi ràng buộc của đề (giờ công, nguyên liệu, số lượng tối đa…) viết thành một bất phương trình.
- ✦3. Vẽ miền: vẽ từng đường bờ, lấy phần giao, xác định toạ độ mọi đỉnh.
- ✦4. Thử các đỉnh: tính hàm mục tiêu F tại từng đỉnh, so sánh chọn max hoặc min, kết luận kèm đơn vị.
Dạng bài
Giải bài toán tối ưu tuyến tính
- 1 Đặt x, y là hai đại lượng cần tìm, kèm x ≥ 0, y ≥ 0.
- 2 Viết các ràng buộc của đề thành hệ bất phương trình, và hàm mục tiêu F cần max hoặc min.
- 3 Vẽ miền nghiệm, tìm toạ độ mọi đỉnh.
- 4 Tính F tại từng đỉnh, chọn max/min, kết luận bằng lời kèm đơn vị và giá trị x, y tương ứng.
⚠️ Bẫy hay gặp: Nếu đổi hàm mục tiêu thành F = x + y (chỉ đếm tổng số bàn) trên cùng miền: F(O) = 0, F(10;0) = 10, F(9;3) = 12, F(0;12) = 12 — hai đỉnh (9;3) và (0;12) cùng cho max 12, vì F = x + y song song với đúng cạnh nối hai đỉnh này. Khi đó max đạt trên cả đoạn thẳng nối hai đỉnh, không chỉ một điểm — kết luận vẫn đúng, chỉ không duy nhất điểm đạt.
Xưởng làm hai loại bàn. Loại I lãi 300 nghìn, cần 3 giờ; loại II lãi 200 nghìn, cần 1 giờ. Mỗi tuần có tối đa 30 giờ và làm được tối đa 12 bàn. Hỏi làm mỗi loại bao nhiêu bàn để lãi lớn nhất?
Hướng dẫn giải
5 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai
⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm
- ✦Đề cho sẵn toạ độ các đỉnh thì bỏ qua hẳn bước vẽ hình, vào thẳng bảng tính F tại từng đỉnh.
- ✦Tính F tại đỉnh trên trục toạ độ (như O, hay điểm trên Ox, Oy) trước — toạ độ đơn giản, dễ tính, có ngay một mốc để so sánh.
- ✦Hệ có x ≥ 0, y ≥ 0 thì chắc chắn miền nằm trong góc phần tư thứ I, không cần xét các góc phần tư khác.
- ✦Bài toán thực tế luôn có dấu hiệu "tối đa", "không quá" (bất phương trình ≤) hoặc "ít nhất" (≥) — đọc kỹ để lập đúng chiều bất phương trình.
⚠️ Lỗi hay sai nhất
- ✦Dò thử vài điểm bên trong miền để tìm max/min. Max và min của F = ax + by luôn rơi vào đỉnh của miền đa giác kín.
- ✦Bỏ sót một đỉnh khi lập bảng thử, đặc biệt đỉnh nằm trên trục toạ độ. Thiếu một đỉnh là có thể mất đúng đỉnh cho kết quả tối ưu.
- ✦Tìm toạ độ đỉnh bằng cách nhìn hình rồi đọc số lẻ, thay vì giải hệ hai phương trình của hai đường bờ cắt nhau tại đó.
- ✦Nhầm "giao" với "hợp": vẽ miền của từng bất phương trình riêng lẻ nhưng tô cả hai miền thay vì chỉ tô phần chung.
- ✦Quên điều kiện không âm trong bài toán thực tế — thiếu x ≥ 0, y ≥ 0 có thể khiến đỉnh "tối ưu" tính ra là điểm vô lí (số lượng âm).
- ✦Lập hệ thiếu một ràng buộc của đề (ví dụ quên ràng buộc tổng số lượng tối đa bên cạnh ràng buộc nguyên liệu).
🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)
- ✦Chế độ giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: nhập hai phương trình đường bờ để tìm nhanh toạ độ đỉnh, rồi thử lại bằng tay.
- ✦Tính tay từng giá trị F tại các đỉnh và ghi ra giấy thành bảng — tránh nhớ nhẩm rồi so nhầm số.
✏️ Luyện tập
Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.
Miền nghiệm của hệ
- 1Nhận biết
Miền nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là
- 2Nhận biết
Nếu miền nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn bị chặn thì miền đó có dạng
- 3Thông hiểu
Hệ x ≥ 0, y ≥ 0 có miền nghiệm là
- 4Thông hiểu
Trong các điểm sau, điểm nào thuộc miền nghiệm của hệ x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 4?
- 5Thông hiểu
Hệ x + 2y ≤ 8, x + y ≤ 5, x ≥ 0, y ≥ 0 có đường bờ nào đi qua gốc toạ độ O?
Định lí giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
- 1Nhận biết
Trên miền đa giác kín, giá trị lớn nhất của F = ax + by đạt tại
- 2Thông hiểu Trên tứ giác OABC với O(0;0), A(0;4), B(2;3), C(5;0), giá trị lớn nhất của F = 3x + 2y bằng .
- 3Thông hiểu Vẫn với tứ giác OABC ở trên, giá trị nhỏ nhất của F = 3x + 2y bằng .
- 4Vận dụng
Với cùng bốn đỉnh O(0;0), A(0;4), B(2;3), C(5;0), giá trị lớn nhất của F = x + 3y bằng
- 5Vận dụng
Với cùng bốn đỉnh trên, giá trị lớn nhất của F = 2x + y bằng
Tìm toạ độ các đỉnh
- 1Thông hiểu
Đỉnh là giao điểm của hai đường bờ x + 2y = 8 và x + y = 5 có toạ độ
- 2Thông hiểu
Cách tìm toạ độ một đỉnh của miền nghiệm đúng là
- 3Vận dụng Hệ x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + y ≤ 10, x + 2y ≤ 8 có một đỉnh là giao của 2x + y = 10 và x + 2y = 8. Tại đỉnh đó, x + y = .
- 4Thông hiểu
Vẫn hệ x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + y ≤ 10, x + 2y ≤ 8, điểm nào sau đây là một đỉnh của miền nghiệm?
- 5Thông hiểu
Lỗi nào sau đây khiến bài toán tìm max/min bị sai dù đã vẽ đúng miền nghiệm?
Bài toán tối ưu thực tế
- 1Thông hiểu
Xưởng làm hai loại bàn: loại I cần 3 giờ, loại II cần 1 giờ, tối đa 30 giờ/tuần; tổng tối đa 12 bàn/tuần. Gọi x, y là số bàn loại I, II. Hệ ràng buộc đúng là
- 2Vận dụng Với hệ ở câu trên và F = 300x + 200y (nghìn đồng), lãi lớn nhất bằng nghìn đồng.
- 3Vận dụng
Lãi lớn nhất 3300 nghìn đồng ở câu trên đạt được khi làm
- 4Thông hiểu
Trong bài toán tối ưu về sản phẩm, điều kiện luôn phải có thêm là
- 5Vận dụng Một cửa hàng bán hai loại bánh: bánh A lãi 20 nghìn/cái cần 2kg bột, bánh B lãi 15 nghìn/cái cần 1kg bột; mỗi ngày có tối đa 10kg bột và bán tối đa 8 cái (cả hai loại). Lãi lớn nhất mỗi ngày bằng nghìn đồng.
🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp
Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.
Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn
- 1Thông hiểu
Miền nghiệm của hệ x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 6 là hình gì?
- 2Vận dụng
Cho F = 2x + 5y và các đỉnh O(0;0), A(0;3), B(4;0). Giá trị lớn nhất của F là
- 3Thông hiểu
Trong bài toán thực tế về số sản phẩm x, y, nếu thiếu điều kiện x ≥ 0, y ≥ 0 thì
Phần II · Đúng / sai
- 1Thông hiểu
Cho hệ x ≥ 0, y ≥ 0, x + 2y ≤ 8, x + y ≤ 5, có miền nghiệm là tứ giác OABC với O(0;0), A(0;4), B(2;3), C(5;0).
a)Miền nghiệm của hệ là một tứ giác.
b)Đỉnh B có toạ độ (3;2).
c)Giá trị lớn nhất của F = 3x + 2y trên miền là 15, đạt tại C(5;0).
d)Giá trị nhỏ nhất của F = 3x + 2y trên miền là 8, đạt tại A(0;4).
- 2Vận dụng
Xưởng làm bàn có ràng buộc 3x + y ≤ 30 (giờ công), x + y ≤ 12 (số bàn), x,y ≥ 0, với F = 300x + 200y (nghìn đồng) là lãi.
a)Ràng buộc giờ công là 3x + y ≤ 30.
b)Các đỉnh của miền nghiệm gồm O(0;0), (10;0), (9;3), (0;12).
c)Lãi lớn nhất là 3000 nghìn đồng, đạt khi làm 10 bàn loại I.
d)Nếu đổi hàm mục tiêu thành F = x + y thì giá trị lớn nhất đạt tại nhiều điểm khác nhau trên miền, không chỉ một đỉnh.
Phần III · Trả lời ngắn
- 1Thông hiểu Trên tứ giác OABC với O(0;0), A(0;4), B(2;3), C(5;0), giá trị lớn nhất của F = 3x + 2y là bao nhiêu? Đáp số:
- 2Vận dụng Xưởng làm bàn với ràng buộc 3x + y ≤ 30, x + y ≤ 12, x,y ≥ 0 và F = 300x + 200y (nghìn đồng). Lãi lớn nhất là bao nhiêu nghìn đồng? Đáp số:
- 3Vận dụng Cửa hàng bán bánh A (lãi 20 nghìn/cái, 2kg bột) và bánh B (lãi 15 nghìn/cái, 1kg bột), mỗi ngày tối đa 10kg bột và 8 cái bánh. Lãi lớn nhất mỗi ngày là bao nhiêu nghìn đồng? Đáp số:
🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?
- •Là nền cho bài toán tối ưu tuyến tính ở các lớp sau (quy hoạch sản xuất, kinh doanh): đề tốt nghiệp thường gài dưới dạng bài toán thực tế tìm lãi/chi phí lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
- •Trong bài kiểm tra trên lớp thường có câu vẽ miền nghiệm của hệ, câu tìm toạ độ một đỉnh bằng cách giải hệ hai đường bờ, và câu tính giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của F tại các đỉnh.
- •Bài toán thực tế (sản xuất, kinh doanh) hay có bước dễ mất điểm: thiếu điều kiện không âm khi lập hệ, hoặc bỏ sót một đỉnh (đặc biệt đỉnh trên trục toạ độ) khi lập bảng thử.
Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°