Học liệu STEAM
Toán lớp 10
Chủ đề 3 · Học kỳ 1

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Nhận biết bất phương trình bậc nhất hai ẩn, biểu diễn miền nghiệm trên mặt phẳng toạ độ và áp dụng vào bài toán thực tế.

Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 3

⚡ Nhớ nhanh

  • 1Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng ax + by + c < 0 (hoặc >, ≤, ≥), với a, b không đồng thời bằng 0. Nghiệm là cặp (x₀; y₀) làm bất phương trình đúng.
  • 2Miền nghiệm là một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng ax + by + c = 0.
  • 3Dấu ≤, ≥ thì bờ thuộc miền nghiệm (vẽ nét liền); dấu <, > thì bờ không thuộc (vẽ nét đứt).
  • 4Xác định nửa nào: lấy một điểm thử không nằm trên bờ (thường là O(0; 0)), thay vào bất phương trình.
  • 5Bờ đi qua O thì phải đổi điểm thử khác, ví dụ (1; 0) hoặc (0; 1).
  • 6Bài toán thực tế (số sản phẩm, số giờ, số người…) luôn kèm thêm x ≥ 0, y ≥ 0: thói quen chống sai là viết đủ hai ràng buộc này trước khi nộp bài.

👀 Nhìn là hiểu

Đổi a, b, c của đường bờ ax + by = c, kéo điểm thử để xem nó thuộc hay không thuộc miền; dấu > / < thì bờ vẽ nét đứt, ≥ / ≤ thì nét liền. Mẫu 2x − y > 2: bờ nét đứt, thử O được 0 > 2 sai ⇒ tô nửa mặt phẳng không chứa O; thử thêm 2x − y ≥ 2 (nét liền), x + 2y < 0 (bờ qua O phải đổi điểm thử) và x ≤ 3 (bờ thẳng đứng) trước khi đọc lý thuyết.

xyO−3−2−11234−3−2−1123T

▇ miền nghiệm · bờ nét đứt (không lấy) · kéo T để thử

2x − y > 2

a = 2
b = −1
c = 2

Thử T(0; 0): 2·0 − 1·0 = 0 > 2?

Sai ⇒ T không thuộc miền nghiệm

2x − y > 2

Vẽ bờ 2x − y = 2 qua (1; 0) và (0; −2), NÉT ĐỨT vì dấu ">" không lấy bờ. Thử O(0; 0): 2·0 − 0 = 0 > 2 sai ⇒ miền nghiệm là nửa mặt phẳng KHÔNG chứa O.

1 📐 Nhận biết bất phương trình và nghiệm

Cần nhớ

  • ✦Dạng tổng quát: ax + by + c < 0 (hoặc >, ≤, ≥), a và b không đồng thời bằng 0. Ví dụ: 2x − y − 2 > 0 là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
  • ✦Nghiệm (x₀; y₀) là cặp số làm bất phương trình trở thành mệnh đề đúng. Ví dụ: (1; 2) có phải nghiệm của x + 2y ≤ 6 không? Thay vào: 1 + 4 = 5 ≤ 6 đúng ⇒ là nghiệm.
  • ✦Một bất phương trình bậc nhất hai ẩn có vô số nghiệm, khác phương trình bậc nhất hai ẩn (chỉ là một đường thẳng).
  • ✦Chỉ cần một đại diện a hoặc b khác 0 là đủ. Ví dụ: x ≤ 3 vẫn là bất phương trình bậc nhất hai ẩn (coi hệ số của y bằng 0).

Dạng bài

Kiểm tra một cặp số có là nghiệm không

  1. 1 Thay x₀, y₀ vào vế trái của bất phương trình.
  2. 2 Tính giá trị số.
  3. 3 So sánh với vế phải theo đúng dấu của bất phương trình.
  4. 4 Thử lại: đọc lại kết luận đúng/sai có khớp dấu đề cho không.

⚠️ Bẫy hay gặp: Thay nhầm thứ tự x, y (coi (1; 2) là x = 2, y = 1) sẽ tính ra 2 + 2 = 4, vẫn đúng dấu nhưng là nhầm may; với (4; 2) nếu đảo thành x = 2, y = 4 lại ra 2 + 8 = 10 sai, nên luôn ghi rõ (x; y) trước khi thay.

📐
Làm mẫu

Cặp số nào là nghiệm của x + 2y ≤ 6: (6; 1), (1; 2), (4; 2), (2; 3)?

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

2 🗺️ Biểu diễn miền nghiệm

Cần nhớ

  • ✦Ba bước: (1) vẽ bờ ax + by = c; (2) chọn một điểm thử không nằm trên bờ; (3) thay vào bất phương trình — thoả thì tô nửa chứa điểm thử, không thoả thì tô nửa còn lại.
  • ✦Dấu ≤, ≥ ⇒ bờ thuộc miền nghiệm, vẽ nét liền. Dấu <, > ⇒ bờ không thuộc, vẽ nét đứt.
  • ✦Điểm thử quen dùng là O(0; 0) vì thay vào rất nhanh (chỉ còn lại c). Bờ đi qua O (tức c = 0) thì phải đổi điểm thử khác, ví dụ (1; 0) hoặc (0; 1).
  • ✦Đường bờ dạng x = m hoặc y = n là đường thẳng đứng hoặc nằm ngang; vẫn vẽ bờ rồi thử điểm như bình thường.

Dạng bài

Vẽ miền nghiệm của một bất phương trình

  1. 1 Vẽ đường bờ ax + by = c (tìm hai điểm, ví dụ cho x = 0 tính y, cho y = 0 tính x).
  2. 2 Xác định nét vẽ: ≤, ≥ nét liền; <, > nét đứt.
  3. 3 Chọn điểm thử không nằm trên bờ (ưu tiên O nếu bờ không qua O), thay vào bất phương trình.
  4. 4 Thử lại: thoả thì tô nửa chứa điểm thử, không thoả thì tô nửa kia; kiểm thêm một điểm trong miền vừa tô.

⚠️ Bẫy hay gặp: Vẽ bờ nét liền cho mọi bất phương trình: 2x − y > 2 là dấu ngặt (>) nên các điểm trên bờ (ví dụ (1; 0)) không thoả 2·1 − 0 = 2 > 2 là sai, phải vẽ nét đứt.

🗺️
Làm mẫu

Biểu diễn miền nghiệm của 2x − y > 2.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Dạng bài

Vẽ miền nghiệm khi bờ đi qua gốc toạ độ

  1. 1 Nhận ra bờ qua O: thay (0; 0) vào ax + by, nếu bằng c (tức c = 0) thì không dùng O làm điểm thử được.
  2. 2 Chọn điểm thử khác không nằm trên bờ, ví dụ (1; 0) hoặc (0; 1).
  3. 3 Thay điểm đó vào bất phương trình, xét đúng/sai.
  4. 4 Thử lại: kiểm một điểm khác cùng phía để chắc chắn tô đúng nửa.

⚠️ Bẫy hay gặp: Vẫn thử O(0; 0) dù bờ đi qua O: thay vào được 0 < 0, là mệnh đề sai nhưng không nói lên nửa nào (điểm trên bờ, không thuộc hẳn nửa nào) — phải đổi điểm thử khác, không được kết luận vội.

🎯
Làm mẫu

Biểu diễn miền nghiệm của x + 2y < 0.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

3 🏭 Bài toán thực tế

Cần nhớ

  • ✦Gọi x, y là hai đại lượng cần tìm (số sản phẩm, số giờ…), luôn là số không âm: thêm ràng buộc x ≥ 0, y ≥ 0.
  • ✦"Không vượt quá", "tối đa", "nhiều nhất" ⇒ dấu ≤. "Ít nhất", "không nhỏ hơn", "tối thiểu" ⇒ dấu ≥.
  • ✦Các ràng buộc của một bài toán thực tế thường ghép thành một hệ (học ở bài sau); ở bài này mỗi ràng buộc được viết riêng thành một bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
  • ✦Đơn vị của x, y phải nhất quán với hệ số: cùng là kg, cùng là giờ…

Dạng bài

Lập bất phương trình từ bài toán thực tế

  1. 1 Gọi x, y là hai đại lượng cần tìm, nêu rõ đơn vị và điều kiện không âm.
  2. 2 Tính lượng tiêu hao hoặc lượng có được theo x, y.
  3. 3 So sánh với mức giới hạn của đề bằng dấu bất phương trình phù hợp.
  4. 4 Thử lại: kiểm một cặp (x; y) hợp lí xem có thoả không.

⚠️ Bẫy hay gặp: Quên x ≥ 0, y ≥ 0: thiếu hai ràng buộc này thì cặp (x; y) = (−10; 44) vẫn thoả 2x + 5y ≤ 200 trên giấy, nhưng số sản phẩm âm là vô lí.

🏭
Làm mẫu

Một xưởng có 200 kg nguyên liệu. Sản phẩm A tốn 2 kg, sản phẩm B tốn 5 kg mỗi cái. Viết bất phương trình mô tả số lượng A, B có thể làm.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

4 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai

⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm

  • ✦Nhớ nhanh "liền – đứt": ≤, ≥ liền (có dấu bằng thì bờ "dính" vào miền); <, > đứt.
  • ✦Thử nghiệm bằng cách thay số trực tiếp, không cần vẽ hình nếu chỉ hỏi đúng/sai của một cặp số.
  • ✦Điểm thử O(0; 0) chỉ dùng được khi bờ không đi qua O (tức c ≠ 0 trong ax + by = c); kiểm nhanh bằng cách nhìn hệ số tự do.
  • ✦Bài thực tế luôn rà lại hai ràng buộc không âm trước khi chọn đáp án.

⚠️ Lỗi hay sai nhất

  • ✦Lấy O(0; 0) làm điểm thử khi bờ đi qua gốc toạ độ. Phản ví dụ: bờ x + 2y = 0 qua O, thay O vào chỉ được 0 < 0 (mệnh đề sai mà không nói lên nửa nào); phải đổi sang (1; 0).
  • ✦Vẽ bờ nét liền cho mọi bất phương trình. Phản ví dụ: 3x − y < 5 là dấu ngặt, điểm trên bờ như (2; 1) cho 3·2 − 1 = 5, mà 5 < 5 là sai ⇒ phải vẽ nét đứt.
  • ✦Quên x ≥ 0, y ≥ 0 trong bài toán thực tế. Phản ví dụ: xưởng 200 kg nếu bỏ hai ràng buộc này, cặp (−10; 44) vẫn "thoả" 2x + 5y ≤ 200 nhưng vô nghĩa.
  • ✦Thử điểm xong tô nhầm nửa: thoả bất phương trình thì tô nửa chứa điểm thử, không phải nửa kia. Phản ví dụ: 2x − y > 2 thử O được 0 > 2 sai ⇒ tô nửa không chứa O, không phải nửa chứa O.
  • ✦Nhầm bất phương trình bậc nhất hai ẩn có một nghiệm duy nhất (giống phương trình). Phản ví dụ: x + 2y ≤ 6 có vô số nghiệm như (1; 2), (0; 0), (6; 0)…
  • ✦Coi x ≤ 3 không phải bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì "thiếu y". Đây vẫn là dạng ax + by + c ≤ 0 với b = 0, miền nghiệm là nửa mặt phẳng bên trái đường thẳng đứng x = 3.

🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)

  • ✦Chế độ Bảng (TABLE): nhập f(x, y) = ax + by, thử vài cặp (x; y) để kiểm nhanh có thoả bất phương trình không.
  • ✦Không có chế độ vẽ miền nghiệm trên máy cầm tay: dùng máy chỉ để thay số kiểm tra, còn vẽ hình làm trên giấy.
  • ✦Bài thực tế: dùng máy tính phép nhân — cộng để kiểm lại tổng nguyên liệu, tiền… trước khi so sánh với mức giới hạn.

✏️ Luyện tập

Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.

📐

Nhận biết bất phương trình và nghiệm

  1. 1
    Nhận biết

    Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

  2. 2
    Nhận biết

    Miền nghiệm của một bất phương trình bậc nhất hai ẩn là

  3. 3
    Thông hiểu

    Cặp số nào là nghiệm của x + 2y ≤ 6?

  4. 4
    Thông hiểu

    Cặp số (0; 0) là nghiệm của bất phương trình nào sau đây?

  5. 5
    Thông hiểu Cặp số (2; 1) có phải nghiệm của 3x − y < 5 không? Trả lời "có" hoặc "không":
  6. 6
    Thông hiểu

    Cặp số nào sau đây KHÔNG là nghiệm của 2x − y ≤ 5?

🗺️

Biểu diễn miền nghiệm

  1. 1
    Nhận biết

    Với bất phương trình 3x − y < 5, đường bờ được vẽ

  2. 2
    Nhận biết

    Để xác định nửa mặt phẳng nào là miền nghiệm, ta

  3. 3
    Thông hiểu

    Bất phương trình 2x − y ≥ 2 so với 2x − y > 2 khác nhau ở chỗ

  4. 4
    Thông hiểu

    Bất phương trình nào có đường bờ đi qua gốc toạ độ O?

  5. 5
    Thông hiểu Thử điểm O(0; 0) vào bất phương trình 2x − y > 2 được 0 > 2, đây là mệnh đề .
  6. 6
    Vận dụng

    Miền nghiệm của x ≤ 3 là

  7. 7
    Vận dụng Với bất phương trình x + 2y < 0 (bờ qua O), nếu thử điểm (1; 0) thì được 1 < 0, là mệnh đề , nên miền nghiệm không chứa (1; 0).
  8. 8
    Thông hiểu

    Bất phương trình nào sau đây có đường bờ vẽ nét liền?

🏭

Bài toán thực tế

  1. 1
    Thông hiểu

    Một xưởng có 200 kg nguyên liệu, sản phẩm A tốn 2 kg, sản phẩm B tốn 5 kg mỗi cái. Gọi x, y là số sản phẩm A, B. Bất phương trình mô tả nguyên liệu là

  2. 2
    Thông hiểu

    Với bất phương trình 2x + 5y ≤ 200 ở trên, cần bổ sung ràng buộc nào cho hợp lí với bài toán thực tế?

  3. 3
    Thông hiểu Với 2x + 5y ≤ 200, cặp (x; y) = (20; 30) có thoả bất phương trình không? Trả lời "có" hoặc "không":
  4. 4
    Vận dụng Với 2x + 5y ≤ 200, cặp (x; y) = (30; 30) có thoả bất phương trình không? Trả lời "có" hoặc "không":
  5. 5
    Vận dụng

    Một người dự định đi xe máy x giờ và đi bộ y giờ, tổng thời gian không quá 3 giờ. Bất phương trình mô tả là

  6. 6
    Vận dụng

    Một quán ăn bán x suất cơm giá 30 nghìn đồng và y suất phở giá 25 nghìn đồng mỗi suất, muốn doanh thu không vượt quá 1500 nghìn đồng. Bất phương trình mô tả là

🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp

Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.

🅰️

Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn

  1. 1
    Thông hiểu

    Cho bất phương trình 2x + y − 4 < 0. Cặp số nào là nghiệm?

  2. 2
    Vận dụng

    Miền nghiệm của x − 2y ≥ 0 là nửa mặt phẳng có bờ x − 2y = 0, bờ này

  3. 3
    Vận dụng

    Một cửa hàng bán x áo và y quần, lãi mỗi áo 50 nghìn, mỗi quần 80 nghìn, muốn lãi ít nhất 800 nghìn. Bất phương trình mô tả là

✅

Phần II · Đúng / sai

  1. 1
    Thông hiểu

    Cho bất phương trình 2x − y > 2.

    a)Đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

    b)Cặp số (2; 0) là nghiệm.

    c)Đường bờ 2x − y = 2 được vẽ nét liền.

    d)Điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

  2. 2
    Vận dụng

    Một xưởng có 200 kg nguyên liệu, sản phẩm A tốn 2 kg, sản phẩm B tốn 5 kg mỗi cái. Gọi x, y là số sản phẩm A, B (x, y ≥ 0).

    a)Bất phương trình mô tả nguyên liệu là 2x + 5y ≤ 200.

    b)Cặp (x; y) = (50; 20) thoả mãn tất cả các ràng buộc.

    c)Cặp (x; y) = (−10; 44) là một nghiệm hợp lí của bài toán.

    d)Nếu bỏ ràng buộc x ≥ 0, y ≥ 0 thì miền nghiệm sẽ nhỏ hơn.

🔢

Phần III · Trả lời ngắn

  1. 1
    Thông hiểu Thay cặp (x; y) = (2; 3) vào bất phương trình x + y < 4. Vế trái bằng bao nhiêu? Đáp số:
  2. 2
    Vận dụng Với bất phương trình 2x + 5y ≤ 200 (x, y ≥ 0), nếu y = 0 thì x lớn nhất có thể nhận giá trị nguyên là bao nhiêu? Đáp số:
  3. 3
    Vận dụng Đường bờ của bất phương trình 3x + 4y = 12 cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bao nhiêu? Đáp số:

🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?

  • •Là nền cho hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn ở bài sau (chồng nhiều nửa mặt phẳng thành miền nghiệm chung) và cho bài toán tối ưu hoá (tìm max, min của F = ax + by trên miền đó).
  • •Trong bài kiểm tra trên lớp thường có câu kiểm tra một cặp số có là nghiệm không, câu xác định nét vẽ bờ (liền hay đứt) và câu lập bất phương trình từ bài toán thực tế.
  • •Bài toán thực tế hay có bước dễ mất điểm là quên thêm x ≥ 0, y ≥ 0, hoặc chọn nhầm chiều dấu ("không quá" là ≤, "ít nhất" là ≥).
Làm đề thi thử trọn bộ
Chủ đề tiếp theo
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn