Chủ đề 15 · Học kỳ 2

Hàm số

Nhận biết hàm số, tìm tập xác định của hàm số cho bằng công thức, và xét tính đồng biến, nghịch biến trên một khoảng.

Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 15

⚡ Nhớ nhanh

1Hàm số là quy tắc cho mỗi x thuộc tập D đúng một giá trị y = f(x). Một x mà ra hai y thì không phải hàm số.
2Tập xác định D gồm mọi x làm công thức có nghĩa. Ba điều kiện: A/B cần B ≠ 0; √A cần A ≥ 0; A/√B cần B > 0 (dấu ngặt, vì vừa có nghĩa vừa khác 0).
3Hàm có nhiều ràng buộc thì D là giao các điều kiện, không phải hợp.
4Đồng biến trên khoảng K: x tăng thì y tăng (đồ thị đi lên). Nghịch biến: x tăng thì y giảm (đồ thị đi xuống). Luôn gắn với một khoảng cụ thể, không nói chung chung.
5Đọc đồ thị: kẻ một đường thẳng đứng bất kì chỉ cắt đồ thị một điểm — đó là dấu hiệu đồ thị của một hàm số (đường tròn không phải đồ thị hàm số).

👀 Nhìn là hiểu

Bật/tắt từng điều kiện (mẫu ≠ 0, biểu thức dưới căn ≥ 0) trên trục số để thấy tập xác định tô màu dần; đồ thị bên cạnh kéo khoảng để đọc đồng biến/nghịch biến bằng mắt, không dùng đạo hàm. Mẫu 15: y = √(x + 2)/(x − 1), D = [−2; +∞) \ {1}; thử thêm y = 2x − 5 (đồng biến trên ℝ) và y = 1/x (nghịch biến trên từng khoảng (−∞; 0), (0; +∞) riêng — bẫy tưởng nghịch biến trên cả ℝ) trước khi đọc lý thuyết.

Trục số: phần xanh là x được nhận · vòng tròn rỗng = điểm bị khoét

y = √(x + 2)/(x − 1)

Bật / tắt từng điều kiện để xem trục số hẹp lại:

D = [−2; +∞) \ {1}

Chọn hai mốc x₁ < x₂ rồi so y:

x₁ = 2

x₂ = 3

y(x₁) = 2

y(x₂) = 1,12

y giảm theo x trên khoảng này.

y = √(x + 2)/(x − 1)

Hai điều kiện phải thoả CÙNG LÚC: căn cho x ≥ −2 (lấy cả x = −2 vì √0 = 0), mẫu cho x ≠ 1. Giao lại được D = [−2; +∞) \ {1} — một điểm bị khoét, không phải cả khoảng.

1 🧩 Khái niệm hàm số

Cần nhớ

✦Định nghĩa: với mỗi x ∈ D có đúng một y = f(x) tương ứng. Chiều đúng là từ x sang y.
✦Bảng giá trị hoặc đồ thị cho sẵn: kiểm bằng cách xem mỗi x có lặp lại với hai y khác nhau không.
✦Đồ thị hàm số: đường thẳng đứng bất kì cắt đồ thị không quá một điểm. Ví dụ: đường tròn x² + y² = 1 không phải đồ thị hàm số vì đường thẳng x = 0 cắt nó tại hai điểm (0; 1) và (0; −1).
✦Tập giá trị là tập mọi y nhận được khi x chạy khắp D, khác với tập xác định D.

Dạng bài

Kiểm tra một quy tắc có là hàm số không

1 Xem với mỗi x cho trước, quy tắc cho ra bao nhiêu y.
2 Nếu có một x nào cho từ hai y trở lên thì không phải hàm số.
3 Với đồ thị: kẻ đường thẳng đứng, đếm số giao điểm.
4 Thử lại: lấy một giá trị x cụ thể và tính y để chắc chắn chỉ ra một kết quả.

⚠️ Bẫy hay gặp: Nhầm "đồ thị là đường liền nét" với "là đồ thị hàm số". Đường tròn là đường liền nét nhưng không phải đồ thị hàm số, vì có x ứng với hai y.

🧩

Làm mẫu

Quy tắc y² = x có là hàm số của x không?

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

2 📐 Tìm tập xác định

Cần nhớ

✦Phân thức A/B: điều kiện B ≠ 0.
✦Căn bậc hai √A: điều kiện A ≥ 0.
✦Căn dưới mẫu A/√B: điều kiện B > 0 (dấu ngặt — vừa phải có nghĩa vừa phải khác 0, gộp hai điều kiện B ≥ 0 và B ≠ 0 lại).
✦Hàm có nhiều điều kiện: giải từng cái rồi lấy giao (∩), không lấy hợp (∪).

Dạng bài

Tìm tập xác định của hàm số cho bằng công thức

1 Nhận ra các "chỗ nguy hiểm" trong công thức: mẫu số, biểu thức trong căn, căn ở mẫu.
2 Viết điều kiện cho từng chỗ (≠ 0, ≥ 0, hoặc > 0 với căn dưới mẫu).
3 Giải từng điều kiện rồi lấy giao tất cả.
4 Thử lại: lấy một giá trị x thuộc D vừa tìm, thay vào công thức xem có tính được không.

⚠️ Bẫy hay gặp: Lấy hợp hai điều kiện thay vì giao sẽ ra D = ℝ (vì mọi x đều thuộc [−2; +∞) hoặc thuộc ℝ \ {1}) — sai, vì x = −3 không thoả điều kiện căn.

📐

Làm mẫu

Tìm tập xác định của y = √x + 2x − 1.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Vài tập xác định hay gặp

Hàm số	Điều kiện	Tập xác định
y = 1x − 3	x − 3 ≠ 0	D = ℝ \ {3}
y = √(2x − 6)	2x − 6 ≥ 0	D = [3; +∞)
y = 1/√(x + 1)	x + 1 > 0	D = (−1; +∞)
y = √(4 − x²)	4 − x² ≥ 0	D = [−2; 2]

3 📈 Đồng biến, nghịch biến

Cần nhớ

✦Hàm đồng biến trên K: với x₁, x₂ ∈ K, x₁ < x₂ thì f(x₁) < f(x₂) — đồ thị đi lên khi nhìn từ trái sang phải.
✦Hàm nghịch biến trên K: x₁ < x₂ thì f(x₁) > f(x₂) — đồ thị đi xuống.
✦Tính đồng biến/nghịch biến luôn gắn với một khoảng K cụ thể, không nói "hàm này đồng biến" suông.
✦Lớp 10 chưa học đạo hàm: xét biến thiên bằng định nghĩa (so sánh f(x₂) − f(x₁)) hoặc bằng cách đọc đồ thị đã cho, không dùng dấu y′.

Dạng bài

Xét tính đồng biến, nghịch biến bằng định nghĩa

1 Lấy x₁, x₂ ∈ K tuỳ ý, giả sử x₁ < x₂.
2 Tính f(x₂) − f(x₁), rút gọn theo x₂ − x₁.
3 So sánh dấu: x₂ − x₁ > 0, xét dấu của cả biểu thức f(x₂) − f(x₁).
4 Thử lại: f(x₂) − f(x₁) cùng dấu (x₂ − x₁) thì đồng biến, trái dấu thì nghịch biến — khớp với kết luận.

⚠️ Bẫy hay gặp: Hàm y = 1/x nghịch biến trên (−∞; 0) và nghịch biến trên (0; +∞) riêng từng khoảng, nhưng KHÔNG nghịch biến trên ℝ \ {0}: lấy x₁ = −1 < x₂ = 1 thì f(x₁) = −1 < f(x₂) = 1, không giảm.

📈

Làm mẫu

Xét tính đồng biến, nghịch biến của y = 2x − 5 trên ℝ.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

4 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai

⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm

✦Thấy mẫu số có biến: điều kiện mẫu ≠ 0 trước, viết ngay.
✦Thấy căn: điều kiện trong căn ≥ 0; thấy căn ở mẫu: nhớ đổi thành > 0 (ngặt hơn).
✦Hàm bậc nhất y = ax + b: a > 0 đồng biến trên ℝ, a < 0 nghịch biến trên ℝ, đọc dấu a là xong, không cần chứng minh dài.
✦Đọc đồ thị: tay trỏ theo đồ thị từ trái sang phải, đi lên là đồng biến, đi xuống là nghịch biến, nằm ngang là không đổi.

⚠️ Lỗi hay sai nhất

✦Căn dưới mẫu lấy điều kiện ≥ 0 thay vì > 0. Phản ví dụ: y = 1/√(x + 1) mà cho x = −1 thì mẫu = √0 = 0, chia cho 0 vô nghĩa, nên phải loại x = −1 ⇒ điều kiện đúng là x + 1 > 0.
✦Lấy hợp thay vì giao khi hàm có nhiều điều kiện. Phản ví dụ: y = √x + 2x − 1 lấy hợp sẽ nhận nhầm x = −3 (không thoả điều kiện căn) vào D.
✦Kết luận "hàm đồng biến" mà không nói rõ trên khoảng nào. Phản ví dụ: y = x² nghịch biến trên (−∞; 0) nhưng đồng biến trên (0; +∞), nói chung chung là sai.
✦Coi mọi đường cong đều là đồ thị hàm số. Phản ví dụ: đường tròn x² + y² = 1, đường thẳng đứng x = 0 cắt nó tại hai điểm.
✦Hàm y = 1/x: tưởng nghịch biến trên cả ℝ \ {0}. Phản ví dụ: x₁ = −1 < x₂ = 1 nhưng f(x₁) = −1 < f(x₂) = 1, không giảm khi "nhảy" qua x = 0.
✦Dùng đạo hàm để xét dấu biến thiên ở lớp 10 — chưa học, phải xét bằng định nghĩa hoặc đọc đồ thị.

🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)

✦Chế độ Bảng (TABLE): nhập công thức f(x), cho x chạy quanh các mốc nghi ngờ (mẫu bằng 0, trong căn bằng 0) để kiểm máy có báo lỗi hay không, từ đó soát lại D.
✦Chế độ Bảng cũng dùng để kiểm đồng biến/nghịch biến: cho x tăng dần, nhìn cột f(x) tăng hay giảm theo.
✦Giải phương trình (trong căn = 0, mẫu = 0) bằng chế độ giải phương trình để tìm nhanh các mốc cần xét.

✏️ Luyện tập

Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.

🧩

Khái niệm hàm số

1
Nhận biết
Một quy tắc là hàm số của x khi
2
Nhận biết
Đường nào sau đây KHÔNG thể là đồ thị của một hàm số?
3
Thông hiểu
Quy tắc y² = x (x ≥ 0)
4
Thông hiểu Đường thẳng đứng cắt đồ thị của một hàm số tại nhiều nhất điểm.
5
Vận dụng
Một đường cong đi qua hai điểm A(2; 5) và B(2; −5). Khẳng định nào đúng?

📐

Tìm tập xác định

1
Nhận biết
Tập xác định của y = 1x − 3 là
2
Nhận biết
Tập xác định của y = √(2x − 6) là
3
Thông hiểu
Tập xác định của y = 1/√(x + 1) là
4
Thông hiểu
Tập xác định của y = √(4 − x²) là
5
Thông hiểu Tập xác định của y = √x + 1x − 5 viết dưới dạng [a; +∞) \ {b} với a = , b = .
6
Vận dụng
Tập xác định của y = √x + 2x − 1 là
7
Vận dụng
Tập xác định của y = 1/√(5 − x) là
8
Vận dụng
Tập xác định của y = √6 − xx + 2 là

📈

Đồng biến, nghịch biến

1
Nhận biết
Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K khi
2
Thông hiểu
Hàm số y = 2x − 5 trên ℝ
3
Thông hiểu
Hàm số y = −3x + 1 trên ℝ
4
Thông hiểu Hàm số y = x² nghịch biến trên khoảng (−∞; ).
5
Vận dụng
Hàm số y = 1/x trên (0; +∞)
6
Vận dụng
Khẳng định nào sau đây đúng về hàm số y = 1/x?
7
Thông hiểu
Hàm số y = 4 − 2x trên ℝ

🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp

Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.

🅰️

Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn

1
Thông hiểu
Tập xác định của y = √(3 − x) + 1 là
2
Vận dụng
Tập xác định của y = √x − 2x − 4 là
3
Vận dụng
Hàm số y = √x − 1x − 1 (tức 1/√(x − 1)) có tập xác định là

✅

Phần II · Đúng / sai

1
Thông hiểu
Cho hàm số y = f(x) = −2x + 3 xác định trên ℝ.

a)f(0) = 3.

b)f(1) = 1.

c)Hàm số đồng biến trên ℝ.

d)f(2) < f(0).
2
Vận dụng
Cho hàm số y = √x + 3x − 2.

a)Điều kiện của biểu thức trong căn là x + 3 ≥ 0.

b)Điều kiện của mẫu là x − 2 ≠ 0.

c)Tập xác định là D = [−3; +∞) \ {2}.

d)x = −5 thuộc tập xác định D.

🔢

Phần III · Trả lời ngắn

1
Vận dụng Tập xác định của y = 1/√(7 − 2x) là (−∞; a). Giá trị a bằng bao nhiêu? Đáp số:
2
Vận dụng Tập xác định của y = √(x² − 9) là (−∞; −3] ∪ [a; +∞). Giá trị a bằng bao nhiêu? Đáp số:
3
Vận dụng Với hàm số y = 3x − 7 trên ℝ, giá trị f(4) − f(1) bằng bao nhiêu? Đáp số:

🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?

•Là nền cho hàm số bậc hai và dấu của tam thức bậc hai (bài 16–17) — cách tìm tập xác định và đọc đồ thị dùng lại suốt chương, và lên lớp 12 là nền cho xét tính đơn điệu bằng đạo hàm.
•Trong bài kiểm tra trên lớp thường có câu tìm tập xác định (một hoặc nhiều điều kiện phải lấy giao) và câu xét đồng biến/nghịch biến của hàm bậc nhất hoặc đọc từ đồ thị cho sẵn.
•Dạng tìm tập xác định hay có bước dễ mất điểm là quên đổi dấu ≥ thành dấu > khi căn nằm dưới mẫu, hoặc lấy hợp thay vì giao khi có nhiều điều kiện.

Làm đề thi thử trọn bộ

Chủ đề tiếp theo
Hàm số bậc hai