Chủ đề 14 · Học kỳ 1 ⭐ Hay ra thi tốt nghiệp

Các số đặc trưng đo độ phân tán

Tính khoảng biến thiên R, khoảng tứ phân vị ΔQ, phương sai s² và độ lệch chuẩn s của mẫu số liệu không ghép nhóm; dùng ΔQ để phát hiện giá trị bất thường và chọn đúng thước đo khi so sánh hai mẫu.

Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 14

⚡ Nhớ nhanh

1Khoảng biến thiên R = giá trị lớn nhất − giá trị nhỏ nhất. Dễ tính nhưng chỉ nhìn hai đầu mút.
2Khoảng tứ phân vị ΔQ = Q₃ − Q₁ (Q₁, Q₃ đã học ở bài 13). Bỏ 25% mỗi đầu nên không bị giá trị bất thường kéo lệch.
3Phương sai s² = (1/n)·Σ(xᵢ − x̄)², dùng mọi giá trị. SGK lớp 10 chia n (chưa chia n − 1).
4Độ lệch chuẩn s = √(s²), cùng đơn vị với số liệu nên dễ đọc hơn s².
5Giá trị bất thường: nằm ngoài [Q₁ − 1,5ΔQ; Q₃ + 1,5ΔQ]. Hệ số 1,5 chỉ đi với ΔQ, không đi với R.
6Hai mẫu cùng x̄ vẫn có thể khác hẳn nhau về độ phân tán: phải nhìn thêm s hoặc ΔQ mới biết mẫu nào "đều" hơn.

👀 Nhìn là hiểu

Kéo các điểm trên trục số: hộp Q₁–Q₃ và các ngưỡng Q₁ − 1,5ΔQ, Q₃ + 1,5ΔQ đổi theo, điểm vượt ngưỡng bật đỏ là bất thường. Nút mẫu đầu tiên dùng mẫu 2; 4; 6; 8 (x̄ = 5, s² = 5).

Chạm chấm để chọn · ▭ hộp Q₁–Q₃ · ┆ ngưỡng bất thường

Đã sắp xếp: 2; 4; 6; 8 (n = 4)

Số đang chọn: 8

Khoảng biến thiên R	6
Q₁; Q₃ · ΔQ	3; 7 · 4
x̄	5
s² = 20/4	5
s = √s²	≈ 2,24

Không có giá trị bất thường (ngoài [−3; 13])

2; 4; 6; 8

x̄ = 5. Độ lệch: −3; −1; 1; 3, bình phương: 9; 1; 1; 9. s² = (9 + 1 + 1 + 9)/4 = 5, s = √5 ≈ 2,24. R = 8 − 2 = 6, Q₁ = 3, Q₃ = 7, ΔQ = 4.

1 📏 Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

Cần nhớ

✦Khoảng biến thiên: R = xmax − xmin. Thước đo đơn giản nhất, chỉ dùng hai giá trị.
✦Khoảng tứ phân vị: ΔQ = Q₃ − Q₁, với Q₁, Q₂ (= trung vị Me), Q₃ tìm theo cách đã học ở bài 13 (sắp xếp, chia đôi mẫu quanh Me).
✦ΔQ luôn ≤ R, vì Q₁, Q₃ nằm trong đoạn [xmin; xmax].
✦R chỉ nhìn hai đầu mút nên rất nhạy với một giá trị lạ; ΔQ bỏ qua hai đầu nên bền hơn.

Dạng bài

Tính R và ΔQ của một mẫu số liệu

1 Sắp xếp mẫu theo thứ tự không giảm.
2 R = (giá trị cuối) − (giá trị đầu).
3 Tìm trung vị Me; chia mẫu làm hai nửa (bỏ Me nếu n lẻ); Q₁ = trung vị nửa dưới, Q₃ = trung vị nửa trên.
4 ΔQ = Q₃ − Q₁. Thử lại: Q₁ ≤ Me ≤ Q₃ và ΔQ ≤ R.

⚠️ Bẫy hay gặp: Mẫu 1; 5; 5; 5; 5; 100 có R = 99 (rất lớn) nhưng Q₁ = Q₃ = 5 nên ΔQ = 0: gần như mọi giá trị đều bằng 5, chỉ một số 100 kéo R lên. R lớn không có nghĩa mẫu phân tán rộng — phải xem thêm ΔQ.

📏

Làm mẫu

Số lượng sản phẩm 9 công nhân làm trong một ca: 8; 10; 10; 13; 15; 17; 17; 19; 35. Tính R và ΔQ.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

2 📐 Phương sai và độ lệch chuẩn

Cần nhớ

✦Phương sai: $s^{2} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n (x_{i} - x)^{2}$
✦Dùng mọi giá trị của mẫu, không bỏ bớt như ΔQ.
✦Độ lệch chuẩn: s = √(s²), cùng đơn vị với số liệu gốc; s² có đơn vị bình phương nên khó hình dung hơn.
✦Lớp 10 chia cho n (cỡ mẫu). Chia cho n − 1 là công thức khác, chưa học ở bài này.

Dạng bài

Tính phương sai và độ lệch chuẩn

1 Tính số trung bình x̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ)/n.
2 Tính từng độ lệch xᵢ − x̄ rồi bình phương.
3 s² = tổng các bình phương đó, chia cho n.
4 Lấy căn: s = √(s²). Thử lại: tổng độ lệch Σ(xᵢ − x̄) (chưa bình phương) phải bằng 0.

⚠️ Bẫy hay gặp: Cộng thẳng các độ lệch −3; −1; 1; 3 không bình phương luôn ra 0, vì phần âm và phần dương triệt tiêu nhau — đó là lí do bắt buộc phải bình phương trước khi lấy trung bình.

📐

Làm mẫu

Cho mẫu 2; 4; 6; 8. Tính số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Hai mẫu cùng số trung bình mà khác hẳn nhau

Mẫu	x̄	s²	s
5; 5; 5; 5	5	0	0 (hoàn toàn đều)
1; 4; 6; 9	5	8,5	≈ 2,92 (phân tán rộng)

3 🚨 Giá trị bất thường

Cần nhớ

✦Một giá trị được coi là bất thường nếu nằm ngoài đoạn $[Q_{1} - 1, 5 Δ_{Q}; Q_{3} + 1, 5 Δ_{Q}]$
✦Hệ số 1,5 luôn đi kèm ΔQ, không bao giờ đi kèm R.
✦Muốn tìm giá trị bất thường thì phải có Q₁, Q₃ (ΔQ) trước — không tính được từ R.
✦Mẫu có giá trị bất thường thì số trung bình x̄ dễ bị kéo lệch; Me, Q₁, Q₃ ít bị ảnh hưởng hơn.

Dạng bài

Kiểm tra một giá trị có bất thường không

1 Tính Q₁, Q₃ và ΔQ = Q₃ − Q₁ của mẫu.
2 Tính ngưỡng dưới Q₁ − 1,5ΔQ và ngưỡng trên Q₃ + 1,5ΔQ.
3 So giá trị cần xét với hai ngưỡng: nằm ngoài đoạn thì là bất thường.
4 Thử lại: ngưỡng dưới phải nhỏ hơn Q₁, ngưỡng trên phải lớn hơn Q₃.

⚠️ Bẫy hay gặp: Dùng hệ số 1,5 với khoảng biến thiên R thay vì ΔQ, ví dụ tính 18 + 1,5·27 = 58,5 rồi kết luận 35 "bình thường" — sai vì phải dùng ΔQ = 8, không phải R = 27.

🚨

Làm mẫu

Với mẫu ở ví dụ trước (Q₁ = 10, Q₃ = 18, ΔQ = 8), giá trị 35 có phải là bất thường không?

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

4 ⚖️ So sánh và chọn thước đo

Cần nhớ

✦So sánh độ phân tán của hai mẫu cùng đơn vị: s (hoặc s²) lớn hơn ⇒ mẫu đó phân tán hơn.
✦Cộng cùng một số k vào mọi số liệu: x̄ tăng k, nhưng s không đổi (độ lệch xᵢ − x̄ không đổi).
✦Nhân mọi số liệu với k: x̄ nhân k, s nhân |k| (s² nhân k²).
✦Mẫu có thể lẫn giá trị bất thường thì nên so ΔQ thay vì s, vì s rất nhạy với giá trị lạ (bị bình phương).

Dạng bài

So sánh độ phân tán của hai mẫu cùng số trung bình

1 Kiểm tra hai mẫu có cùng x̄ không (hoặc cùng đơn vị).
2 Tính s² (hoặc s) của từng mẫu.
3 Mẫu nào có s lớn hơn thì phân tán hơn, mẫu có s nhỏ hơn thì đều (ổn định) hơn.
4 Thử lại: mẫu nào dồn các giá trị gần x̄ hơn thì phải có s nhỏ hơn.

⚠️ Bẫy hay gặp: Thấy hai mẫu cùng x̄ = 5 rồi kết luận "hai mẫu như nhau" là sai: số trung bình không cho biết số liệu dồn lại hay toé ra, phải tính thêm s hoặc s².

⚖️

Làm mẫu

Mẫu A: 2; 4; 6; 8. Mẫu B: 2; 2; 2; 8; 8; 8. Cả hai cùng số trung bình 5. Mẫu nào phân tán hơn?

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

📐 s và s² đi cặp với x̄

x̄ cho biết trung tâm, s (hay s²) cho biết độ tản. Báo cáo chỉ có x̄ là thiếu một nửa.

📦 ΔQ và Me bền với bất thường

Khi mẫu có thể lẫn giá trị lạ (như lương, điểm cực đoan), Me và ΔQ đáng tin hơn x̄ và s.

5 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai

⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm

✦Hai mẫu cùng x̄: không cần tính hết, nhìn mẫu nào dồn ra hai rìa xa x̄ hơn thì s lớn hơn.
✦Cộng thêm hằng số vào mọi số liệu: s không đổi, chỉ x̄ đổi. Không cần tính lại cả mẫu.
✦Đề cho sẵn Q₁, Q₃ thì chỉ cần nhớ công thức ngưỡng, không cần sắp xếp lại mẫu.
✦Thấy một giá trị "nhô hẳn" lên so với phần còn lại thì nên nghi là giá trị bất thường, kiểm bằng ΔQ cho chắc.

⚠️ Lỗi hay sai nhất

✦Dùng hệ số 1,5 với R thay vì ΔQ khi tìm giá trị bất thường — sai công thức, ngưỡng rộng ra rất nhiều.
✦Quên bình phương độ lệch khi tính phương sai: tổng độ lệch không bình phương luôn bằng 0, không đo được gì.
✦Chia cho n − 1 thay vì n: chương trình lớp 10 luôn chia n (công thức n − 1 học ở bậc cao hơn).
✦Đề hỏi s mà trả lời s² (hoặc ngược lại): s² = 5 nhưng s = √5 ≈ 2,24, không phải 5.
✦Kết luận "R lớn thì mẫu phân tán rộng" mà không xem ΔQ hay s: R chỉ nhìn hai đầu mút, dễ bị một giá trị lạ làm méo.
✦So hai mẫu khác đơn vị (ví dụ cm với kg) bằng s trực tiếp — chỉ so được khi cùng đơn vị.

🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)

✦Chế độ Thống kê một biến: nhập từng số liệu (không cần cột tần số nếu mẫu không có giá trị lặp nhiều).
✦Máy đọc ngay số trung bình x̄ và độ lệch chuẩn — chọn loại chia cho n (thường kí hiệu σ), không chọn loại chia n − 1.
✦Bình phương kết quả độ lệch chuẩn để kiểm lại s², và tự sắp xếp mẫu để kiểm Q₁, Q₃ bằng tay (máy không luôn cho sẵn tứ phân vị).

✏️ Luyện tập

Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.

📏

Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

1
Nhận biết Mẫu số liệu 4; 9; 2; 15. Khoảng biến thiên R = .
2
Thông hiểu
Vì sao khoảng tứ phân vị ΔQ ít bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường hơn khoảng biến thiên R?
3
Thông hiểu Mẫu số liệu 2; 5; 5; 8; 9; 12. Khoảng tứ phân vị ΔQ = .
4
Thông hiểu
Mẫu 1; 5; 5; 5; 5; 100 có khoảng biến thiên R = 99 và khoảng tứ phân vị ΔQ = 0. Kết luận nào đúng?
5
Vận dụng Số sản phẩm 9 công nhân làm trong một ca: 8; 10; 10; 13; 15; 17; 17; 19; 35. Khoảng tứ phân vị ΔQ = .

📐

Phương sai và độ lệch chuẩn

1
Nhận biết Một mẫu có phương sai s² = 16. Độ lệch chuẩn s = .
2
Thông hiểu
Phương sai của một mẫu số liệu không ghép nhóm là
3
Thông hiểu Mẫu số liệu 1; 3; 5; 7; 9. Phương sai s² = .
4
Thông hiểu
Mẫu số liệu 2; 2; 2; 8; 8; 8 có số trung bình x̄ = 5. Phương sai s² bằng
5
Thông hiểu Mẫu số liệu 3; 4; 5; 6; 7. Độ lệch chuẩn s ≈ (làm tròn đến hàng phần trăm).
6
Vận dụng
Thêm một giá trị rất lớn, cách xa hẳn các số còn lại, vào một mẫu số liệu. Phương sai s² sẽ

🚨

Giá trị bất thường

1
Nhận biết Một mẫu có Q₁ = 10, Q₃ = 18 (ΔQ = 8). Ngưỡng trên để phát hiện giá trị bất thường là .
2
Thông hiểu
Để phát hiện giá trị bất thường của một mẫu số liệu, người ta dùng khoảng [Q₁ − 1,5ΔQ; Q₃ + 1,5ΔQ], trong đó ΔQ là
3
Thông hiểu Mẫu số liệu 10; 12; 12; 14; 15; 16; 18; 18; 30. Khoảng tứ phân vị ΔQ = .
4
Thông hiểu
Với mẫu 10; 12; 12; 14; 15; 16; 18; 18; 30 (Q₁ = 12, Q₃ = 18, ΔQ = 6), giá trị 30 có phải là bất thường không?
5
Vận dụng Mẫu 8; 10; 10; 13; 15; 17; 17; 19; 35 có Q₁ = 10, Q₃ = 18. Ngưỡng dưới để phát hiện giá trị bất thường là .

⚖️

So sánh và chọn thước đo

1
Nhận biết
Hai mẫu số liệu cùng số trung bình. Để biết mẫu nào phân tán hơn, ta so sánh
2
Thông hiểu
Mẫu A: 7; 9; 11; 13. Mẫu B: 4; 4; 16; 16. Cả hai cùng số trung bình 10. Mẫu nào phân tán hơn?
3
Vận dụng
Cộng thêm 10 vào mọi số liệu của một mẫu. Độ lệch chuẩn s của mẫu mới thay đổi thế nào so với mẫu cũ?
4
Vận dụng Mẫu 10; 12; 14; 16; 18 có s ≈ 2,83. Nhân đôi mọi số liệu của mẫu. Độ lệch chuẩn mới s′ ≈ (làm tròn đến hàng phần trăm).

🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp

Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.

🅰️

Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn

1
Thông hiểu
Mẫu số liệu 4; 6; 8; 10; 12 có số trung bình x̄ = 8. Phương sai s² bằng
2
Vận dụng
Mẫu A: 7; 9; 11; 13. Mẫu B: 4; 4; 16; 16. Cùng số trung bình 10. Khẳng định nào đúng?
3
Vận dụng
Một mẫu có độ lệch chuẩn s = 3. Biến đổi mỗi số liệu x thành 2x − 5. Mẫu mới có độ lệch chuẩn s′ bằng

✅

Phần II · Đúng / sai

1
Vận dụng
Số sản phẩm 9 công nhân làm trong một ca: 8; 10; 10; 13; 15; 17; 17; 19; 35 (số trung bình x̄ = 16).

a)Số trung bình của mẫu là x̄ = 16.

b)Khoảng biến thiên của mẫu là R = 19.

c)Khoảng tứ phân vị của mẫu là ΔQ = 9.

d)Giá trị 35 là giá trị bất thường của mẫu, vì nó vượt ngưỡng Q₃ + 1,5ΔQ = 30.

🔢

Phần III · Trả lời ngắn

1
Thông hiểu Mẫu số liệu 5; 7; 9; 11; 13. Tính phương sai s². Đáp số:
2
Vận dụng Mẫu số liệu 12; 16; 20; 24. Tính độ lệch chuẩn s (làm tròn đến hàng phần trăm). Đáp số:
3
Vận dụng Mẫu số liệu 10; 12; 12; 14; 15; 16; 18; 18; 30. Tính khoảng tứ phân vị ΔQ. Đáp số:

🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?

•Phần I thường cho một mẫu số liệu nhỏ và hỏi trực tiếp R, ΔQ, s² hoặc s; bẫy hay gặp là nhầm s với s² hoặc quên bình phương độ lệch.
•Phần II hay ghép một mẫu với các ý: số trung bình, khoảng tứ phân vị, rồi hỏi một giá trị có phải bất thường không — đây là chỗ hay lẫn hệ số 1,5 với R thay vì ΔQ.
•Lên lớp 11–12, mẫu số liệu sẽ ghép nhóm (dùng giá trị đại diện) và phương sai đổi cách chia (n − 1 ở một số ngữ cảnh khác); cách đọc ý nghĩa R, ΔQ, s², s ở bài này vẫn giữ nguyên.

Làm đề thi thử trọn bộ

Chủ đề tiếp theo
Hàm số