Chủ đề 23 · Học kỳ 2

Quy tắc đếm

Phân biệt được quy tắc cộng và quy tắc nhân, đếm được số cách thực hiện một công việc có nhiều phương án hoặc nhiều công đoạn, và dùng đếm phần bù cho bài "có ít nhất".

Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 23

⚡ Nhớ nhanh

1Quy tắc cộng: công việc có nhiều phương án, chỉ chọn một trong các phương án, các phương án không trùng nhau ⇒ n = n₁ + n₂ + …
2Quy tắc nhân: công việc gồm nhiều công đoạn, phải làm hết các công đoạn (nối tiếp nhau) ⇒ n = n₁ · n₂ · …
3Nhận ra nhanh: đọc thấy "hoặc" (chọn loại này hoặc loại kia, xong việc) thì cộng; đọc thấy "và", "rồi" (làm việc này rồi làm việc kia) thì nhân.
4Hai phương án có phần chung thì không cộng thẳng: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B).
5Bài "có ít nhất…" thường đếm phần bù nhanh hơn: n(thoả) = n(tất cả) − n(không thoả).
6Thói quen chống sai: đọc lại đề xem công việc có mấy bước, mỗi bước có mấy cách, và các bước có nối tiếp nhau không trước khi chọn quy tắc.

👀 Nhìn là hiểu

Bật "hoặc" thấy hai nhánh rời nhau (cộng số lá), bật "và" thấy các nhánh nối tiếp (nhân số lá); hình đếm số lá ngay cho bạn kiểm. Thử bài lập số có ô chữ số, đánh dấu ô đã dùng (mẫu: lập số 3 chữ số đôi một khác nhau từ 1, 2, 3, 4, 5 ⇒ 5 · 4 · 3 = 60) trước khi đọc lý thuyết.

Mỗi tầng là một công đoạn; hình chỉ vẽ tối đa 4 nhánh cho dễ nhìn

Quy tắc NHÂN ("và")

5 — Chọn chữ số hàng trăm
4 — Chọn hàng chục (khác chữ số trước)
3 — Chọn hàng đơn vị (khác hai chữ số trước)

5 cách cho công đoạn đầu (chưa đủ công đoạn, còn tới 60)

Số 3 chữ số khác nhau từ 1–5

Lập MỘT số phải làm đủ ba công đoạn nối tiếp nhau ("và") ⇒ quy tắc NHÂN: 5 · 4 · 3 = 60. Mỗi lần chọn xong thì số lựa chọn còn lại giảm đi 1 vì các chữ số phải đôi một khác nhau.

1 ➕ Quy tắc cộng

Cần nhớ

✦Công việc có nhiều phương án, chỉ chọn một trong số đó. Ví dụ: đi Hà Nội bằng tàu hoặc máy bay.
✦n = n₁ + n₂ + … , với điều kiện các phương án không trùng nhau (rời nhau).
✦Có phần chung thì phải trừ: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B). Ví dụ: số từ 1–20 chia hết cho 2 hoặc 3: 10 + 6 − 3 = 13 (3 số chia hết cho cả 2 và 3 là 6, 12, 18).
✦Dấu hiệu nhận ra: câu hỏi có chữ "hoặc", hoặc đếm "số cách chọn một trong các loại".

Dạng bài

Đếm bằng quy tắc cộng

1 Xác định công việc có mấy phương án và các phương án có rời nhau không.
2 Đếm số cách của từng phương án: n₁, n₂, …
3 Nếu rời nhau thì cộng lại; nếu có phần chung thì trừ bớt phần chung.
4 Thử lại: liệt kê vài trường hợp cụ thể xem có khớp số đếm không.

⚠️ Bẫy hay gặp: Nếu đổi đề thành "chọn một nam và một nữ làm đôi trực nhật" thì đó là hai công đoạn nối tiếp (chọn nam rồi chọn nữ), phải dùng quy tắc nhân: 6 · 4 = 24, không phải cộng.

🚌

Làm mẫu

Một lớp có 6 bạn nam giỏi Toán và 4 bạn nữ giỏi Văn (không trùng bạn nào). Chọn một bạn đi thi, có bao nhiêu cách?

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

2 ✖️ Quy tắc nhân

Cần nhớ

✦Công việc gồm nhiều công đoạn, phải làm hết các công đoạn theo thứ tự (hoàn thành việc này rồi mới sang việc kia). Ví dụ: chọn áo rồi chọn quần.
✦n = n₁ · n₂ · … , số cách của công đoạn sau không phụ thuộc cách chọn ở công đoạn trước (độc lập) hoặc đã tính đúng số cách còn lại nếu có ràng buộc "khác nhau".
✦Dấu hiệu nhận ra: câu hỏi có chữ "và", "rồi", hoặc "lập số có … chữ số", "xếp … người".
✦Ràng buộc "đôi một khác nhau" làm số cách ở công đoạn sau giảm dần (đã dùng rồi thì bớt một lựa chọn).

Dạng bài

Đếm bằng quy tắc nhân

1 Chia công việc thành các công đoạn nối tiếp theo đúng thứ tự thực hiện.
2 Đếm số cách của từng công đoạn — chú ý ràng buộc "khác nhau" thì số cách giảm dần.
3 Nhân các số cách lại với nhau.
4 Thử lại: thử liệt kê vài kết quả cụ thể xem có đúng dạng bài không.

⚠️ Bẫy hay gặp: Lập số có 3 chữ số đôi một khác nhau từ 0–9 (10 chữ số): KHÔNG được lấy 10 · 9 · 8, vì hàng trăm không được là 0. Hàng trăm chỉ có 9 cách (bỏ số 0), hàng chục còn 9 cách (được dùng lại số 0, bớt 1 số đã dùng), hàng đơn vị còn 8 cách ⇒ 9 · 9 · 8 = 648.

🔢

Làm mẫu

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 lập được bao nhiêu số có 3 chữ số đôi một khác nhau?

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

Cộng hay nhân — nhìn từ khoá

Từ khoá	Quy tắc	Ví dụ (3 áo, 4 quần)
"hoặc", chọn một trong các loại	Cộng	Chọn một món (áo hoặc quần): 3 + 4 = 7
"và", "rồi", làm hết các bước	Nhân	Chọn một bộ (áo và quần): 3 · 4 = 12

3 🔄 Đếm phần bù

Cần nhớ

✦Bài hỏi "có ít nhất một…" thường đếm trực tiếp rất rối (nhiều trường hợp). Đếm phần bù nhanh hơn hẳn.
✦n(thoả) = n(tất cả) − n(không thoả). "Không thoả" của "có ít nhất một" là "không có cái nào".
✦Dùng khi thấy cụm "có ít nhất", "có không quá", hoặc khi đếm trực tiếp phải chia nhiều trường hợp rối rắm.

Dạng bài

Đếm bằng phần bù

1 Tính tổng số cách của "tất cả" (không ràng buộc).
2 Tính số cách của trường hợp "không thoả" (phủ định của yêu cầu).
3 Lấy tổng trừ đi số "không thoả".
4 Thử lại: cộng số "thoả" và số "không thoả" phải bằng đúng tổng số "tất cả".

⚠️ Bẫy hay gặp: Đếm trực tiếp mà cộng "6 cặp có con xanh ra 6" với "6 cặp có con đỏ ra 6" rồi không trừ phần chung sẽ ra 6 + 6 = 12, thừa mất trường hợp (6; 6) bị đếm hai lần. Phần bù tránh được lỗi này hoàn toàn.

🎲

Làm mẫu

Gieo hai con xúc xắc (xanh và đỏ) một lần. Có bao nhiêu kết quả mà ít nhất một con ra mặt 6 chấm?

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

4 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai

⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm

✦Đọc đề, gạch chân chữ "hoặc" (cộng) hay "và"/"rồi" (nhân) trước khi tính — tránh nhầm quy tắc dù số liệu giống nhau.
✦Bài lập số có chữ số đầu ≠ 0: luôn tính riêng hàng đầu trước (bớt lựa chọn 0), các hàng sau mới tính theo ràng buộc "khác nhau".
✦Thấy cụm "ít nhất" thì nghĩ ngay tới phần bù, đừng chia trường hợp nếu không bắt buộc.
✦Đếm số các bước (công đoạn) của công việc trước khi viết phép nhân, tránh thiếu hoặc thừa bước.

⚠️ Lỗi hay sai nhất

✦Thấy hai con số là nhân luôn mà không đọc đề. Phản ví dụ: 3 áo, 4 quần — "chọn một món" phải cộng ra 7, không phải nhân ra 12.
✦Cộng hai phương án có phần chung mà không trừ phần chung. Phản ví dụ: số từ 1–20 chia hết cho 2 hoặc 3 là 13, không phải 10 + 6 = 16.
✦Lập số có chữ số đầu bằng 0. Phản ví dụ: số có 3 chữ số khác nhau từ 0–9 là 9 · 9 · 8 = 648, không phải 10 · 9 · 8 = 720.
✦Quên ràng buộc "đôi một khác nhau" (hoặc tự thêm vào khi đề không có). Phản ví dụ: có ràng buộc thì 5 · 4 · 3 = 60; không có thì 5³ = 125, chênh hơn gấp đôi.
✦Đếm trực tiếp bài "có ít nhất" rồi bỏ sót hoặc đếm trùng trường hợp. Phản ví dụ: ít nhất một mặt 6 trong hai xúc xắc là 11, đếm trực tiếp sai dễ ra 12.

🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)

✦Chế độ tính toán thường: nhân/cộng trực tiếp các số cách để kiểm kết quả cuối.
✦Chế độ Bảng (TABLE): với bài đếm theo từng hàng (chữ số), liệt kê số cách còn lại ở mỗi hàng để nhìn trực quan trước khi nhân.

✏️ Luyện tập

Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.

➕

Quy tắc cộng

1
Nhận biết
Quy tắc cộng dùng khi công việc
2
Nhận biết
Có 5 cây bút xanh và 3 cây bút đỏ (không trùng). Số cách chọn một cây bút là
3
Thông hiểu Một lớp có 20 bạn nam và 18 bạn nữ. Số cách chọn một bạn đi dự hội nghị là .
4
Thông hiểu
Trong các số từ 1 đến 10, số cách chọn một số chia hết cho 2 hoặc chia hết cho 5 là
5
Vận dụng Trong các số từ 1 đến 30, số các số chia hết cho 2 hoặc chia hết cho 3 là .
6
Nhận biết
Một hộp có 7 viên bi đỏ và 9 viên bi xanh (không trùng). Số cách chọn một viên bi bất kì là

✖️

Quy tắc nhân

1
Nhận biết
Quy tắc nhân dùng khi công việc
2
Nhận biết
Có 4 áo và 6 quần. Số cách chọn một bộ gồm một áo và một quần là
3
Thông hiểu Từ các chữ số 1, 2, 3, 4 lập được số có 4 chữ số đôi một khác nhau.
4
Thông hiểu
Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lập được bao nhiêu số có 2 chữ số khác nhau?
5
Vận dụng Có 3 tuyến đường từ A đến B và 4 tuyến đường từ B đến C. Số cách đi từ A đến C qua B là .
6
Vận dụng
Số cách xếp 4 bạn vào 4 chiếc ghế xếp thành hàng ngang là
7
Thông hiểu Có 5 tuyến đường nối A và B. Số cách đi từ A đến B rồi quay lại từ B về A (hai công đoạn nối tiếp, mỗi lượt được chọn lại trong 5 tuyến) là .
8
Vận dụng
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, lập được bao nhiêu số có 3 chữ số đôi một khác nhau?

🔄

Đếm phần bù

1
Thông hiểu
Để đếm số cách "có ít nhất một…" ta thường
2
Thông hiểu Gieo hai con xúc xắc. Số kết quả mà ít nhất một con ra mặt 6 chấm là .
3
Vận dụng Một hộp có 10 tấm thẻ đánh số 1 đến 10. Chọn ngẫu nhiên 2 thẻ (không thứ tự). Số cách chọn mà ít nhất một thẻ mang số chẵn là .
4
Thông hiểu
Tung một đồng xu 3 lần liên tiếp. Số kết quả có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa là
5
Vận dụng Một lớp 15 bạn có 6 bạn giỏi Toán. Chọn ngẫu nhiên 2 bạn. Số cách chọn mà có ít nhất 1 bạn giỏi Toán là .

🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp

Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.

🅰️

Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn

1
Thông hiểu
Có 6 nam và 4 nữ. Số cách chọn một đôi gồm một nam và một nữ là
2
Vận dụng
Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 (dùng được lặp), số các số tự nhiên có 3 chữ số là
3
Vận dụng
Một đội có 5 vận động viên nam và 3 vận động viên nữ. Số cách chọn ra 2 người sao cho có ít nhất một nữ là

✅

Phần II · Đúng / sai

1
Thông hiểu
Một hộp bút có 5 bút xanh, 3 bút đỏ, 2 bút đen (các màu không trùng nhau).

a)Số cách chọn một cây bút bất kì là 10.

b)Số cách chọn ra một bộ gồm 1 bút xanh và 1 bút đỏ là 15.

c)Số cách chọn một cây bút không phải màu đen là 8.

d)Số cách chọn ra một bộ gồm đủ 3 cây, mỗi màu một cây, là 10.
2
Vận dụng
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 (mỗi số chỉ dùng một lần trong một số).

a)Lập được 60 số có 3 chữ số đôi một khác nhau.

b)Nếu cho phép lặp chữ số thì lập được 125 số có 3 chữ số.

c)Số các số có 3 chữ số đôi một khác nhau mà chia hết cho 5 là 12.

d)Số các số có 3 chữ số đôi một khác nhau mà bắt đầu bằng 1 là 20.

🔢

Phần III · Trả lời ngắn

1
Vận dụng Có 7 quyển sách Toán khác nhau và 5 quyển sách Văn khác nhau. Số cách chọn ra một quyển sách bất kì là bao nhiêu? Đáp số:
2
Vận dụng Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập các số có 4 chữ số đôi một khác nhau. Có bao nhiêu số như vậy? Đáp số:
3
Vận dụng Gieo một con xúc xắc hai lần liên tiếp. Số kết quả mà tổng số chấm hai lần KHÔNG bằng 12 là bao nhiêu? Đáp số:

🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?

•Là nền cho hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp ở bài sau: quy tắc nhân chính là công cụ xây dựng công thức hoán vị và chỉnh hợp; sau đó lên lớp 11–12 là nền cho đếm số phần tử của không gian mẫu trong bài xác suất.
•Trong bài kiểm tra trên lớp thường có câu phân biệt cộng/nhân từ một tình huống, câu lập số có điều kiện (chữ số khác nhau, chữ số đầu khác 0), và câu đếm phần bù kiểu "có ít nhất".
•Dạng hay gặp: đổi vai "chọn một món" sang "chọn một bộ" trên cùng một bộ số liệu để kiểm xem học sinh có phân biệt đúng cộng/nhân không.

Làm đề thi thử trọn bộ

Chủ đề tiếp theo
Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp