Học liệu STEAM
Toán lớp 10
Chủ đề 22 · Học kỳ 2

Ba đường conic

Nhận biết elip, hypebol, parabol qua phương trình chính tắc, xác định được các yếu tố a, b, c, tiêu điểm, đường chuẩn và nêu được ứng dụng thực tế của mỗi đường.

Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 22

⚡ Nhớ nhanh

  • 1Elip: x²/a² + y²/b² = 1 (a > b > 0), là tập điểm M có tổng khoảng cách tới hai tiêu điểm không đổi: MF₁ + MF₂ = 2a. Quan hệ: c² = a² − b².
  • 2Hypebol: x²/a² − y²/b² = 1, là tập điểm M có trị tuyệt đối của hiệu khoảng cách tới hai tiêu điểm không đổi: |MF₁ − MF₂| = 2a. Quan hệ: c² = a² + b² — dấu cộng, ngược với elip.
  • 3Parabol: y² = 2px (p > 0), là tập điểm M có khoảng cách tới tiêu điểm F(p/2; 0) bằng khoảng cách tới đường chuẩn Δ: x = −p/2, tức MF = d(M, Δ).
  • 4Nhận ra nhanh qua dấu: elip có dấu cộng giữa hai phân số, hypebol có dấu trừ, parabol chỉ có một biến bậc hai (biến còn lại bậc nhất).
  • 5Khi a = b thì elip trở thành đường tròn bán kính a, lúc đó c = 0, hai tiêu điểm trùng vào tâm.

👀 Nhìn là hiểu

Chọn một trong ba đường rồi kéo điểm M chạy trên đường: với elip hình hiện MF₁ + MF₂ luôn bằng 2a dù M ở đâu; với hypebol hiện |MF₁ − MF₂| luôn bằng 2a; với parabol hiện MF bằng đúng khoảng cách từ M đến đường chuẩn. Bảng bên cạnh liệt kê a, b, c của từng loại. Mẫu đầu: elip x²/25 + y²/9 = 1 có a = 5, b = 3, c = 4, thử trước khi đọc lý thuyết.

xyO−8−6−4−22468−6−4−2246F₁F₂M

Kéo chỗ nào thì M nhảy về điểm gần nhất TRÊN đường · ● tiêu điểm

a = 5
b = 3

x²/25 + y²/9 = 1

c² = a² − b² = 25 − 9 = 16 ⇒ c = 4

MF₁ + MF₂ = 9 + 1 = 10 = 2a

Elip x²/25 + y²/9 = 1

Elip: a = 5, b = 3 và c² = a² − b² = 25 − 9 = 16 ⇒ c = 4, hai tiêu điểm F₁(−4; 0), F₂(4; 0). Kéo M vòng quanh: MF₁ + MF₂ luôn bằng 2a = 10, không đổi.

1 🥚 Elip

Cần nhớ

  • ✦Phương trình chính tắc: x²/a² + y²/b² = 1, với a > b > 0.
  • ✦Định nghĩa bằng tiêu điểm: MF₁ + MF₂ = 2a (không đổi với mọi M trên elip).
  • ✦Quan hệ: c² = a² − b², với c là nửa tiêu cự. Hai tiêu điểm F₁(−c; 0), F₂(c; 0) nằm trên trục lớn (trục Ox vì a² ở mẫu x²).
  • ✦Mẫu số dưới x² luôn là a² (mẫu lớn hơn, vì a > b); lấy căn mẫu số mới ra a, b — không lấy thẳng số ở mẫu làm a hay b.

Dạng bài

Tìm a, b, c và hai tiêu điểm của một elip

  1. 1 Đọc hai mẫu số: mẫu của x² là a², mẫu của y² là b² (a > b).
  2. 2 Lấy căn hai mẫu để ra a và b.
  3. 3 Tính c² = a² − b², rồi lấy căn ra c.
  4. 4 Viết hai tiêu điểm F₁(−c; 0), F₂(c; 0) trên trục Ox.

⚠️ Bẫy hay gặp: Lấy a = a² = 25 (quên lấy căn). Mẫu số dưới x² là a², phải lấy căn mới ra a = 5.

🥚
Làm mẫu

Cho elip x²/25 + y²/9 = 1. Tìm a, b, c và hai tiêu điểm.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

2 🦋 Hypebol

Cần nhớ

  • ✦Phương trình chính tắc: x²/a² − y²/b² = 1 (dấu trừ giữa hai phân số).
  • ✦Định nghĩa bằng tiêu điểm: |MF₁ − MF₂| = 2a (không đổi với mọi M trên hypebol).
  • ✦Quan hệ: c² = a² + b² — dấu cộng, ngược hẳn với elip (c² = a² − b²). Đây là chỗ lẫn nhiều nhất giữa hai đường.
  • ✦Hypebol gồm hai nhánh rời nhau, không khép kín như elip.

Dạng bài

Tìm a, b, c của một hypebol

  1. 1 Đọc mẫu số của x² là a², mẫu số của y² là b² (ở dạng x²/a² − y²/b² = 1).
  2. 2 Lấy căn hai mẫu để ra a và b.
  3. 3 Tính c² = a² + b² (dấu cộng, khác elip), rồi lấy căn ra c.
  4. 4 Viết hai tiêu điểm F₁(−c; 0), F₂(c; 0).

⚠️ Bẫy hay gặp: Dùng c² = a² − b² (công thức của elip) cho hypebol. Hypebol bắt buộc dùng c² = a² + b², vì hai tiêu điểm hypebol luôn xa tâm hơn hai đỉnh (c > a), còn elip thì c < a.

🦋
Làm mẫu

Cho hypebol x²/16 − y²/9 = 1. Tìm a, b, c.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

So sánh elip và hypebol

ElipHypebol
Dấu phương trìnhx²/a² + y²/b² = 1x²/a² − y²/b² = 1
Quan hệ a, b, cc² = a² − b²c² = a² + b²
Định nghĩaMF₁ + MF₂ = 2a|MF₁ − MF₂| = 2a
Hình dạngĐường khép kínHai nhánh rời nhau

3 🛰️ Parabol

Cần nhớ

  • ✦Phương trình chính tắc: y² = 2px, với p > 0.
  • ✦Tiêu điểm F(p/2; 0), đường chuẩn Δ: x = −p/2.
  • ✦Định nghĩa: với mọi điểm M(x_M; y_M) trên parabol, MF = d(M, Δ) = x_M + p/2 (vì M luôn có x_M ≥ 0).
  • ✦Nhận ra parabol vì phương trình chỉ có một biến bậc hai (y²), biến còn lại (x) bậc nhất — khác hẳn elip và hypebol đều có cả x² lẫn y².

Dạng bài

Tìm tiêu điểm, đường chuẩn và MF của một điểm trên parabol

  1. 1 Từ y² = 2px, suy ra p = hệ số của x2.
  2. 2 Viết tiêu điểm F(p/2; 0) và đường chuẩn Δ: x = −p/2.
  3. 3 Với điểm M(x_M; y_M) trên parabol, tính MF = x_M + p/2.
  4. 4 Thử lại: tính trực tiếp khoảng cách MF bằng công thức khoảng cách hai điểm, phải ra cùng kết quả.

⚠️ Bẫy hay gặp: Viết tiêu điểm F(p; 0) thay vì F(p/2; 0). Hệ số p trong phương trình y² = 2px không phải là hoành độ tiêu điểm, phải chia đôi.

🛰️
Làm mẫu

Cho parabol y² = 8x. Tìm tiêu điểm, đường chuẩn, và MF với M(2; 4) trên parabol.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

4 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai

⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm

  • ✦Nhìn dấu giữa hai phân số trước tiên: cộng là elip, trừ là hypebol; chỉ một biến bậc hai là parabol.
  • ✦Elip và hypebol đều có mẫu dưới x² là a² (quy ước a đứng trước, a > 0 cho hypebol, a > b > 0 cho elip).
  • ✦Nhớ công thức bằng câu "ê-líp trừ, hy-pe cộng" để không lẫn dấu c².
  • ✦Hai mẫu số bằng nhau trong phương trình elip ⇒ đó thực ra là đường tròn, c = 0.

⚠️ Lỗi hay sai nhất

  • ✦Dùng c² = a² − b² cho hypebol. Phản ví dụ: x²/16 − y²/9 = 1 phải dùng c² = 16 + 9 = 25, không phải 16 − 9 = 7.
  • ✦Lấy a, b, c thẳng từ mẫu số mà quên lấy căn. Phản ví dụ: mẫu x²/25 cho a = 5, không phải 25.
  • ✦Cho rằng mẫu lớn hơn luôn là mẫu của x². Với elip, nếu mẫu của y² lớn hơn thì trục lớn nằm dọc, hai tiêu điểm nằm trên trục tung, không phải trục hoành.
  • ✦Viết tiêu điểm parabol là F(p; 0) thay vì F(p/2; 0).
  • ✦Nhầm hai mẫu bằng nhau trong elip (x²/9 + y²/9 = 1) vẫn gọi là elip "dẹt", trong khi đó chính là đường tròn, c = 0.
  • ✦Quên điều kiện a > b > 0 của elip khi đọc đề, dẫn tới lấy nhầm số nào là a.

🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)

  • ✦Dùng chế độ tính căn bậc hai để kiểm lại a, b, c từ a², b², c² cho chắc dấu cộng/trừ.
  • ✦Chế độ giải phương trình: thay toạ độ điểm M nghi ngờ vào phương trình conic để kiểm M có thật sự thuộc đường đó không trước khi tính MF, MF₁, MF₂.
  • ✦Tính tay MF₁ + MF₂ (elip) hoặc |MF₁ − MF₂| (hypebol) tại một điểm cụ thể để đối chiếu với 2a đã tính.

✏️ Luyện tập

Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.

🥚

Elip

  1. 1
    Nhận biết

    Phương trình x²/9 + y²/4 = 1 là phương trình của

  2. 2
    Thông hiểu

    Elip x²/25 + y²/9 = 1 có a, b lần lượt bằng

  3. 3
    Thông hiểu Elip x²/25 + y²/9 = 1 có tiêu cự c = .
  4. 4
    Thông hiểu

    Elip x²/16 + y²/7 = 1 có tiêu cự 2c bằng

  5. 5
    Vận dụng

    Với elip x²/25 + y²/9 = 1 và điểm M trên elip, MF₁ + MF₂ bằng

🦋

Hypebol

  1. 1
    Nhận biết

    Phương trình x²/16 − y²/9 = 1 là phương trình của

  2. 2
    Thông hiểu

    Với hypebol x²/a² − y²/b² = 1 thì

  3. 3
    Thông hiểu Hypebol x²/16 − y²/9 = 1 có c = .
  4. 4
    Thông hiểu

    Hypebol x²/9 − y²/16 = 1 có a, b lần lượt bằng

  5. 5
    Vận dụng

    Với hypebol x²/9 − y²/16 = 1 và điểm M trên hypebol, |MF₁ − MF₂| bằng

🛰️

Parabol

  1. 1
    Nhận biết

    Phương trình y² = 4x là phương trình của

  2. 2
    Thông hiểu Parabol y² = 4x có tiêu điểm F(; 0).
  3. 3
    Thông hiểu

    Parabol y² = 8x có đường chuẩn là

  4. 4
    Vận dụng

    Với parabol y² = 8x và điểm M(2; 4) trên parabol, MF bằng

  5. 5
    Vận dụng Với parabol y² = 4x và điểm N(4; 4) trên parabol, MF = NF = .
🔎

Nhận biết và so sánh ba đường

  1. 1
    Nhận biết

    Chảo thu sóng vệ tinh có mặt cắt dạng

  2. 2
    Thông hiểu

    Phương trình x²/9 + y²/9 = 1 là

  3. 3
    Thông hiểu

    Quỹ đạo các hành tinh quay quanh Mặt Trời gần đúng là đường

  4. 4
    Vận dụng

    Phương trình x²/100 + y²/36 = 1 có c bằng

🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp

Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.

🅰️

Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn

  1. 1
    Thông hiểu

    Elip x²/36 + y²/20 = 1 có tiêu cự 2c bằng

  2. 2
    Vận dụng

    Hypebol x²/a² − y²/b² = 1 có a = 3 và c = 5. Khi đó b² bằng

  3. 3
    Vận dụng

    Parabol y² = 2px đi qua điểm M(2; 4). Giá trị p bằng

✅

Phần II · Đúng / sai

  1. 1
    Thông hiểu

    Cho hypebol (H): x²/16 − y²/9 = 1.

    a)(H) có a = 4, b = 3.

    b)(H) có c = 1 (tính theo c² = a² − b²).

    c)Hai tiêu điểm của (H) là F₁(−5; 0), F₂(5; 0).

    d)Với điểm M trên (H), |MF₁ − MF₂| luôn bằng 8.

  2. 2
    Vận dụng

    Cho elip (E): x²/25 + y²/9 = 1 và điểm M(5; 0) nằm trên (E).

    a)(E) có a = 5, b = 3, c = 4.

    b)Hai tiêu điểm của (E) là F₁(−4; 0), F₂(4; 0).

    c)Tại M(5; 0): MF₁ = 9 và MF₂ = 1.

    d)MF₁ + MF₂ tại M bằng 25 vì bằng a².

🔢

Phần III · Trả lời ngắn

  1. 1
    Vận dụng Elip x²/a² + y²/b² = 1 có a = 10, c = 8. Giá trị b² = .
  2. 2
    Vận dụng Hypebol x²/9 − y²/16 = 1 có hai tiêu điểm F₁, F₂. Với điểm M trên hypebol, |MF₁ − MF₂| = .
  3. 3
    Vận dụng Parabol y² = 6x có tiêu điểm F(x₀; 0). Giá trị x₀ = .

🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?

  • •Là nền cho phương pháp toạ độ trong không gian ở lớp 12, nơi mặt cầu và các mặt bậc hai cũng xác định bằng khoảng cách không đổi tới một điểm hoặc một tập điểm cố định.
  • •Trong bài kiểm tra trên lớp thường có câu nhận ra loại đường qua dấu của phương trình, câu tìm a, b, c từ phương trình chính tắc, và câu tính MF, MF₁, MF₂ tại một điểm cụ thể trên đường.
  • •Dễ mất điểm nhất là nhầm công thức c² giữa elip và hypebol — luôn kiểm lại dấu của phương trình (cộng hay trừ) trước khi chọn công thức.
Làm đề thi thử trọn bộ
Chủ đề tiếp theo
Quy tắc đếm