Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất
Nêu được phép thử, không gian mẫu và biến cố; tính được xác suất theo định nghĩa cổ điển P(A) = n(A)/n(Ω); dùng được biến cố đối cho bài "ít nhất một".
Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 26
⚡ Nhớ nhanh
- 1Phép thử ngẫu nhiên là hành động không đoán trước được kết quả nhưng biết trước mọi kết quả có thể xảy ra.
- 2Không gian mẫu Ω là tập mọi kết quả có thể, n(Ω) là số phần tử của Ω. Biến cố A là một tập con của Ω, n(A) là số kết quả thuận lợi cho A.
- 3Định nghĩa cổ điển: P(A) = n(A)/n(Ω), chỉ dùng khi các kết quả đồng khả năng (khả năng xảy ra như nhau).
- 4Biến cố đối Ā xảy ra khi A không xảy ra: P(Ā) = 1 − P(A). Bài "ít nhất một" thường tính qua Ā cho nhanh.
- 5Lớp 10 chưa có công thức cộng, công thức nhân xác suất, chưa có xác suất có điều kiện: mọi bài đều quy về đếm n(Ω), n(A) rồi chia.
- 6Thói quen chống sai: P(A) luôn nằm trong [0; 1]. Tính ra ngoài khoảng đó là chắc chắn đếm sai, phải quay lại kiểm.
👀 Nhìn là hiểu
Chọn một biến cố ở danh sách (gieo hai xúc xắc hoặc tung đồng xu): hình tô các ô thuộc A trên lưới 6 × 6, đếm n(A) và n(Ω), hiện P(A) đã rút gọn. Thử mẫu "tổng bằng 7" trước (6 ô trên đường chéo, P = 6/36 = 1/6), rồi bấm nút "biến cố đối" để thấy phần còn lại bị tô ngược.
Hàng = con thứ nhất · cột = con thứ hai · số trong ô là tổng số chấm
A: tổng bằng 7
n(Ω) = 6 · 6 = 36 · n(A) = 6
P(A) = 6/36 = 1/6
Hai ô khác nhau luôn ĐỒNG KHẢ NĂNG nên mới được chia thẳng n(A) cho n(Ω).
Tổng bằng 7
Sáu ô nằm trên một đường chéo: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) ⇒ P = 6/36 = 1/6. Bẫy: nghĩ tổng chạy từ 2 tới 12 nên có 11 kết quả rồi ghi 1/11 — các tổng KHÔNG đồng khả năng, tổng 7 nhiều ô hơn tổng 2.
1 🎲 Phép thử, không gian mẫu, biến cố
Cần nhớ
- ✦Phép thử ngẫu nhiên: không đoán trước kết quả, nhưng biết trước tập mọi kết quả có thể. Ví dụ: gieo một xúc xắc cân đối.
- ✦Không gian mẫu Ω: tập mọi kết quả có thể. Gieo 1 xúc xắc: Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}, n(Ω) = 6.
- ✦Biến cố A ⊂ Ω: một tập con của Ω. Ví dụ: A = "xuất hiện mặt chẵn" = {2; 4; 6}, n(A) = 3.
- ✦Hai xúc xắc (hay hai đồng xu) tung cùng lúc vẫn là hai vật phân biệt: (1; 6) và (6; 1) là hai kết quả khác nhau, không được gộp lại.
Dạng bài
Xác định Ω và một biến cố A
- 1 Đọc đề, xác định phép thử (gieo mấy xúc xắc, tung mấy đồng xu, chọn mấy phần tử…).
- 2 Liệt kê hoặc đếm Ω bằng quy tắc nhân (nhiều công đoạn liên tiếp) hoặc tổ hợp (chọn không thứ tự).
- 3 Đọc kỹ điều kiện của A, liệt kê hoặc đếm n(A).
- 4 Thử lại: kiểm n(A) ≤ n(Ω), lấy một kết quả cụ thể thử vào điều kiện của A.
⚠️ Bẫy hay gặp: Gộp (1; 6) và (6; 1) thành một kết quả rồi nói Ω có 21 kết quả: 21 kết quả này không còn đồng khả năng (tổng 7 có 6 cách ra nhưng tổng 2 chỉ có 1 cách), nên không dùng được công thức cổ điển nữa.
Gieo đồng thời hai xúc xắc cân đối. Xác định n(Ω) và n(A) với A = "tổng số chấm bằng 7".
Hướng dẫn giải
Gieo một xúc xắc cân đối — vài biến cố
| Biến cố A | n(A) | n(Ω) |
|---|---|---|
| Xuất hiện mặt 6 chấm | 1 | 6 |
| Xuất hiện mặt chẵn | 3 | 6 |
| Số chấm lớn hơn 4 | 2 | 6 |
| Số chấm nhỏ hơn 7 (chắc chắn) | 6 | 6 |
2 📐 Định nghĩa cổ điển của xác suất
Cần nhớ
- ✦P(A) = n(A)/n(Ω), chỉ đúng khi mọi kết quả trong Ω đồng khả năng. Xúc xắc cân đối, đồng xu cân đối thì dùng được.
- ✦P(A) luôn nằm trong [0; 1]: P = 0 là biến cố không thể, P = 1 là biến cố chắc chắn.
- ✦Ba bước: đếm n(Ω) → đếm n(A) → chia. Hai vế phải đếm theo cùng một kiểu (cùng có thứ tự hoặc cùng không thứ tự).
- ✦Kết quả tính ra ngoài [0; 1], hoặc n(A) > n(Ω), là dấu hiệu chắc chắn đã đếm sai.
Dạng bài
Tính P(A) theo định nghĩa cổ điển
- 1 Đếm n(Ω) bằng quy tắc nhân hoặc tổ hợp.
- 2 Đếm n(A): liệt kê nếu ít kết quả, dùng quy tắc đếm nếu nhiều.
- 3 Tính P(A) = n(A)/n(Ω), rút gọn phân số.
- 4 Thử lại: P(A) ∈ [0; 1] và con số có hợp lí với đề không.
⚠️ Bẫy hay gặp: Gieo hai xúc xắc có 11 giá trị tổng có thể (từ 2 đến 12) nên nói P(tổng = 7) = 111 là sai: 11 giá trị tổng này không đồng khả năng (tổng 7 có 6 cách, tổng 2 chỉ có 1 cách). Phải đếm trên không gian mẫu 36 kết quả đồng khả năng, không đếm trên 11 giá trị tổng.
Gieo đồng thời hai xúc xắc cân đối. Tính xác suất để tổng số chấm bằng 7.
Hướng dẫn giải
Vài xác suất khi gieo hai xúc xắc (n(Ω) = 36)
| Biến cố | n(A) | P(A) |
|---|---|---|
| Tổng bằng 2 | 1 | 136 |
| Tổng bằng 7 | 6 | 16 |
| Tổng bằng 8 | 5 | 536 |
| Tổng bằng 9 | 4 | 19 |
| Tổng chia hết cho 3 (3, 6, 9, 12) | 12 | 13 |
3 🔁 Biến cố đối
Cần nhớ
- ✦Biến cố đối Ā của A: Ā xảy ra ⇔ A không xảy ra. Ví dụ: A = "có mặt 6", Ā = "không có mặt 6 nào".
- ✦P(Ā) = 1 − P(A). Ví dụ: P(A) = 0,3 ⇒ P(Ā) = 0,7.
- ✦Bài hỏi "ít nhất một" hoặc "không quá" thường tính qua Ā nhanh hơn hẳn chia nhiều trường hợp rồi cộng.
- ✦Biến cố đối của "A và B cùng xảy ra" không phải là "Ā và B̄ cùng xảy ra" — lớp 10 chỉ dùng biến cố đối của một biến cố đơn, không ghép nhiều biến cố.
Dạng bài
Tính xác suất "ít nhất một" qua biến cố đối
- 1 Đặt A là biến cố đề hỏi ("ít nhất một…").
- 2 Xác định Ā ("không có cái nào"), thường dễ đếm hơn A.
- 3 Tính P(Ā) = n(Ā)/n(Ω).
- 4 Suy ra P(A) = 1 − P(Ā). Thử lại bằng cách kiểm P(A) + P(Ā) = 1.
⚠️ Bẫy hay gặp: Liệt kê trực tiếp các cặp có ít nhất một mặt 6 (6 cặp dạng (6; k), 6 cặp dạng (k; 6), trùng nhau tại (6; 6)) rồi cộng nhầm sẽ dễ đếm thiếu hoặc đếm lặp (6; 6). Đi qua biến cố đối "không có mặt 6" (5 · 5 = 25) chỉ mất một phép tính và không lo đếm lặp.
Gieo đồng thời hai xúc xắc cân đối. Tính xác suất có ít nhất một mặt 6 chấm.
Hướng dẫn giải
4 🪙 Không gian mẫu khi tung đồng xu
Cần nhớ
- ✦Tung k đồng xu cân đối (hoặc một đồng xu k lần): n(Ω) = 2ᵏ (mỗi đồng xu 2 khả năng Sấp/Ngửa, k công đoạn).
- ✦Kết hợp xúc xắc và đồng xu (gieo xúc xắc rồi tung đồng xu…) vẫn dùng quy tắc nhân: nhân số khả năng của từng công đoạn.
- ✦Tung 3 đồng xu: liệt kê được cả 8 kết quả (SSS, SSN, SNS, NSS, SNN, NSN, NNS, NNN) để đếm n(A) khi cần.
- ✦Số mặt ngửa trong k đồng xu (0, 1, …, k) không đồng khả năng — mỗi giá trị ứng với số kết quả khác nhau, không được chia đều.
Dạng bài
Tính xác suất khi tung nhiều đồng xu
- 1 Đếm n(Ω) = 2ᵏ với k là số đồng xu (hoặc số lần tung).
- 2 Liệt kê các kết quả thoả điều kiện của A (dùng kí hiệu N/S cho từng đồng xu).
- 3 Tính P(A) = n(A)/n(Ω).
- 4 Thử lại: cộng P(A) với các biến cố "phần bù" xem có ra 1 không (nếu dễ kiểm).
⚠️ Bẫy hay gặp: Nghĩ số mặt ngửa có thể là 0, 1, 2, 3 nên mỗi giá trị xác suất 14 là sai: 4 giá trị này ứng với 1, 3, 3, 1 kết quả (không bằng nhau), nên không đồng khả năng. Phải đếm trên 8 kết quả gốc.
Tung đồng thời ba đồng xu cân đối. Tính xác suất có đúng hai mặt ngửa.
Hướng dẫn giải
5 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai
⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm
- ✦Thấy đề hỏi "ít nhất một" hoặc "không quá" ⇒ nghĩ ngay đến biến cố đối, thường chỉ cần một phép đếm.
- ✦Gieo k xúc xắc: n(Ω) = 6ᵏ. Tung k đồng xu: n(Ω) = 2ᵏ. Nhớ hai công thức này để không phải liệt kê lại mỗi lần.
- ✦Tính xong P(A), kiểm nhanh bằng P(A) + P(Ā) = 1 nếu đề cho sẵn cả hai, hoặc chỉ cần xem P có nằm trong [0; 1] không.
- ✦Bài "tổng hai xúc xắc" hay gặp: nhớ sẵn số cặp của vài tổng quen thuộc (tổng 7 có 6 cặp, tổng 2 hoặc 12 chỉ có 1 cặp) để đối chiếu nhanh.
⚠️ Lỗi hay sai nhất
- ✦Coi hai xúc xắc (hay hai đồng xu) tung cùng lúc là "giống nhau", gộp (1; 6) và (6; 1) thành một kết quả. Phản ví dụ: làm vậy thì 36 kết quả còn 21, không còn đồng khả năng.
- ✦Dùng định nghĩa cổ điển khi các kết quả không đồng khả năng. Phản ví dụ: "ngày mai mưa hoặc không mưa" có 2 khả năng nhưng không phải mỗi khả năng xác suất 12.
- ✦Đếm n(Ω) theo tổng số giá trị có thể (như 11 giá trị tổng của hai xúc xắc) thay vì theo số kết quả đồng khả năng. Phản ví dụ: P(tổng = 7) = 111 là sai, đúng phải là 16.
- ✦Chia bài "ít nhất một" thành nhiều trường hợp rồi cộng, dễ đếm sót hoặc đếm lặp. Dùng biến cố đối gọn và chắc hơn.
- ✦Quên kiểm P(A) ∈ [0; 1] sau khi tính — đây là cách bắt lỗi nhanh nhất, chỉ mất vài giây.
- ✦Coi số mặt ngửa (0, 1, …, k) khi tung k đồng xu là đồng khả năng. Phản ví dụ: tung 3 đồng xu, P(đúng 2 ngửa) = 38 ≠ 14.
🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)
- ✦Không có phím tính xác suất riêng: dùng máy chỉ để rút gọn phân số n(A)/n(Ω) và kiểm phép nhân, phép cộng khi đếm.
- ✦Chế độ thống kê/bảng có thể dùng để liệt kê nhanh các cặp (x; y) thoả điều kiện tổng/tích khi số lượng ít.
- ✦Luôn tính ngược P(A) · n(Ω) xem có ra đúng n(A) không, để chắc chưa rút gọn nhầm.
✏️ Luyện tập
Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.
Không gian mẫu, biến cố
- 1Nhận biết
Gieo một xúc xắc cân đối. Số phần tử của không gian mẫu là
- 2Nhận biết
Biến cố A liên quan đến một phép thử là
- 3Thông hiểu
Gieo đồng thời hai xúc xắc cân đối. Số phần tử của không gian mẫu là
- 4Thông hiểu Gieo đồng thời hai xúc xắc cân đối, biến cố A = "tổng số chấm bằng 7" có n(A) = .
Định nghĩa cổ điển của xác suất
- 1Nhận biết
Theo định nghĩa cổ điển, xác suất của biến cố A là
- 2Thông hiểu
Gieo một xúc xắc cân đối. Xác suất xuất hiện mặt chẵn là
- 3Thông hiểu
Gieo đồng thời hai xúc xắc cân đối. Xác suất để tổng số chấm bằng 7 là
- 4Thông hiểu Gieo đồng thời hai xúc xắc cân đối, xác suất để tổng số chấm bằng 2 là .
- 5Thông hiểu Gieo một xúc xắc cân đối, xác suất để số chấm lớn hơn 4 là .
- 6Vận dụng
Gieo đồng thời hai xúc xắc cân đối. Xác suất để tổng số chấm bằng 8 là
- 7Vận dụng Gieo đồng thời hai xúc xắc cân đối, xác suất để tổng số chấm bằng 9 là .
Biến cố đối
- 1Nhận biết
Nếu Ā là biến cố đối của A thì
- 2Thông hiểu
Biết P(A) = 0,3. Khi đó P(Ā) bằng
- 3Thông hiểu
Gieo đồng thời hai xúc xắc cân đối. Biến cố đối của "có ít nhất một mặt 6 chấm" là
- 4Vận dụng Gieo đồng thời hai xúc xắc cân đối, xác suất để có ít nhất một mặt 6 chấm là .
- 5Vận dụng Gieo đồng thời hai xúc xắc cân đối, xác suất để tổng số chấm khác 7 là .
Tung đồng xu
- 1Nhận biết
Tung đồng thời hai đồng xu cân đối. Số phần tử của không gian mẫu là
- 2Thông hiểu
Tung đồng thời ba đồng xu cân đối. Số phần tử của không gian mẫu là
- 3Thông hiểu Tung đồng thời ba đồng xu cân đối, xác suất để có đúng hai mặt ngửa là .
- 4Vận dụng
Tung đồng thời ba đồng xu cân đối. Xác suất để cả ba đều ngửa là
- 5Vận dụng Tung đồng thời hai đồng xu cân đối, xác suất để có ít nhất một mặt ngửa là .
🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp
Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.
Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn
- 1Thông hiểu
Gieo đồng thời hai xúc xắc cân đối. Xác suất để tổng số chấm bằng 9 là
- 2Vận dụng
Tung đồng thời ba đồng xu cân đối. Xác suất để có đúng một mặt ngửa là
- 3Vận dụng
Gieo đồng thời hai xúc xắc cân đối. Xác suất để tích hai số chấm là số chẵn là
Phần II · Đúng / sai
- 1Thông hiểu
Gieo đồng thời hai xúc xắc cân đối.
a)n(Ω) = 36.
b)Xác suất để tổng số chấm bằng 7 là 16.
c)Xác suất để tổng số chấm bằng 12 là 16.
d)Biến cố "tổng bằng 7" và biến cố "tổng bằng 2" có cùng xác suất.
- 2Vận dụng
Tung đồng thời ba đồng xu cân đối.
a)n(Ω) = 8.
b)Xác suất để cả ba đều ngửa là 13.
c)Xác suất để có đúng hai mặt ngửa là 38.
d)Xác suất để có ít nhất một mặt sấp là 18.
Phần III · Trả lời ngắn
- 1Vận dụng Gieo đồng thời hai xúc xắc cân đối. Xác suất để tổng số chấm chia hết cho 3 là bao nhiêu? Đáp số:
- 2Vận dụng Tung đồng thời ba đồng xu cân đối. Xác suất để có ít nhất một mặt ngửa là bao nhiêu? Đáp số:
- 3Vận dụng Gieo đồng thời hai xúc xắc cân đối. Xác suất để tích hai số chấm bằng 12 là bao nhiêu? Đáp số:
🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?
- •Là nền cho xác suất có điều kiện và biến cố độc lập ở lớp 11–12: bài này chỉ dừng ở đếm trực tiếp n(Ω), n(A), chưa có công thức nhân hay cộng xác suất.
- •Trong đề thường có câu đếm n(Ω) khi gieo xúc xắc hoặc tung đồng xu nhiều lần, và câu dùng biến cố đối cho dạng "ít nhất một".
- •Phần III hay cho đáp số là phân số tối giản: cần rút gọn trước khi điền, vì ô trống chỉ nhận đúng dạng đã rút gọn.
Thực hành tính xác suất theo định nghĩa cổ điển