Chủ đề 27 · Học kỳ 2 ⭐ Hay ra thi tốt nghiệp

Thực hành tính xác suất theo định nghĩa cổ điển

Chọn đúng cách đếm (tổ hợp khi không thứ tự, quy tắc nhân/chỉnh hợp khi có thứ tự) để tính xác suất trong bài rút bi, chọn người, lập số, xếp chỗ; dùng biến cố đối cho dạng "ít nhất một"; tự kiểm lại kết quả.

Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 27

⚡ Nhớ nhanh

1Mọi bài xác suất cổ điển quy về hai phép đếm: n(Ω) và n(A), rồi P(A) = n(A)/n(Ω).
2Phải đếm hai vế theo cùng một kiểu — cùng có thứ tự hoặc cùng không thứ tự. Trộn hai kiểu là sai.
3Rút bi, chọn người, chọn nhóm: không quan tâm thứ tự ⇒ dùng tổ hợp C(n, k).
4Xếp chỗ, phân vai, lập số: mỗi vị trí khác nhau ⇒ dùng quy tắc nhân hoặc chỉnh hợp A(n, k). Lập số thì chữ số hàng cao nhất không được bằng 0.
5Bài "ít nhất" hoặc "không quá" tính qua biến cố đối cho nhanh và ít sót hơn chia trường hợp.
6Kiểm lại trước khi chốt đáp số: P(A) ∈ [0; 1] và n(A) ≤ n(Ω). Sai hai điều này là chắc chắn đã đếm nhầm kiểu.

👀 Nhìn là hiểu

Đặt số bi mỗi màu và số viên rút k: hình hiện n(Ω) = C(n, k), liệt kê cách đếm n(A) theo từng trường hợp màu. Thử mẫu "6 nam, 4 nữ, chọn 3 người đúng 2 nam" trước (C(6,2)·C(4,1)/C(10,3) = 1/2), rồi bấm nút "ít nhất một" để thấy hình chuyển sang tính qua biến cố đối.

Rút 3 viên từ 10 viên ⇒ n(Ω) = C(10, 3) = 120

Hàng trên: 6 viên đỏ · hàng dưới: 4 viên xanh · rút một lần 3 viên (không kể thứ tự)

đỏ 6

xanh 4

rút 3

m = 2 viên đỏ

n(A) = C(6, 2) · C(4, 1) = 15 · 4 = 60

P(A) = 60/120 = 1/2

Tử và mẫu phải đếm CÙNG kiểu: mẫu không kể thứ tự thì tử cũng dùng tổ hợp.

6 nam 4 nữ, chọn 3, đúng 2 nam

n(Ω) = C(10, 3) = 120 (chọn 3 người, không kể thứ tự). Chọn đúng 2 nam thì phải chọn thêm 1 nữ: C(6, 2) · C(4, 1) = 15 · 4 = 60 ⇒ P = 60/120 = 1/2. Bẫy: đếm tử CÓ thứ tự trong khi mẫu không thứ tự.

1 🎱 Rút bi, chọn người — không thứ tự

Cần nhớ

✦"Rút", "chọn", "lấy ra" mà không phân vai ⇒ không quan tâm thứ tự, dùng tổ hợp C(n, k) cho cả n(Ω) lẫn n(A).
✦Chọn "a cái loại 1 và b cái loại 2" là hai công đoạn liên tiếp ⇒ nhân: n(A) = C(loại 1, a) · C(loại 2, b).
✦Không được cộng hai tổ hợp khi đề nối bằng "và" — cộng chỉ dùng khi hai phương án rời nhau (hoặc cái này, hoặc cái kia), không phải khi cả hai cùng xảy ra.
✦Ví dụ: 6 nam, 4 nữ, chọn 3 người đúng 2 nam: n(A) = C(6,2) · C(4,1) = 15 · 4 = 60, n(Ω) = C(10,3) = 120 ⇒ P = 60120 = 12.

Dạng bài

Tính xác suất khi chọn không thứ tự

1 Nhận ra bài không phân biệt thứ tự (rút bi, chọn người, chọn nhóm).
2 Đếm n(Ω) = C(tổng số, số lượng lấy).
3 Đếm n(A): nếu A có nhiều điều kiện theo từng loại thì nhân các tổ hợp của từng loại.
4 Tính P(A) = n(A)/n(Ω), rút gọn. Thử lại: kiểm n(A) ≤ n(Ω).

⚠️ Bẫy hay gặp: Tính n(A) = C(6,2) + C(4,1) = 15 + 4 = 19 (cộng thay vì nhân) là sai: chọn 2 nam và 1 nữ là hai công đoạn của cùng một việc, phải nhân. Cộng chỉ đúng khi "hoặc 2 nam, hoặc 1 nữ" — hai phương án rời nhau, không có "và".

🎱

Làm mẫu

Một tổ có 6 nam và 4 nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 người. Tính xác suất chọn được đúng 2 nam.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

2 🔢 Lập số, xếp chỗ — có thứ tự

Cần nhớ

✦"Xếp chỗ", "phân vai", "lập số" ⇒ mỗi vị trí là một công đoạn khác nhau, dùng quy tắc nhân (hoặc chỉnh hợp A(n, k)).
✦Số có 3 chữ số chạy từ 100 đến 999 ⇒ n(Ω) = 900.
✦Lập số có chữ số khác nhau: hàng cao nhất không được là 0. Số có 3 chữ số đôi một khác nhau: 9 (hàng trăm, khác 0) · 9 (hàng chục, được là 0 nhưng khác hàng trăm) · 8 (hàng đơn vị, khác 2 chữ số trước) = 648.
✦Gặp điều kiện "số chẵn / số lẻ" thì xét chữ số hàng đơn vị trước, các hàng còn lại tính sau.

Dạng bài

Tính xác suất khi lập số, xếp chỗ

1 Xác định n(Ω): số cách chọn mọi phần tử của không gian mẫu (có thứ tự).
2 Đếm n(A) theo từng vị trí: vị trí nào bị ràng buộc (khác 0, chẵn, lẻ…) đếm trước.
3 Nhân số cách của từng vị trí để ra n(A).
4 Tính P(A) = n(A)/n(Ω). Thử lại: kết quả có hợp lí với đề không (P quá gần 0 hay 1 thì xem lại).

⚠️ Bẫy hay gặp: Cho hàng trăm 10 cách (tính cả chữ số 0) sẽ ra n(Ω) hoặc n(A) sai: số như "012" chỉ là số có 2 chữ số, không phải số có 3 chữ số. Hàng trăm của số có 3 chữ số luôn chỉ có 9 lựa chọn.

🔢

Làm mẫu

Chọn ngẫu nhiên một số có 3 chữ số. Tính xác suất số đó có ba chữ số đôi một khác nhau.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

3 🔁 "Ít nhất một" — dùng biến cố đối

Cần nhớ

✦Gặp "ít nhất một" hoặc "không quá" thì nghĩ ngay đến biến cố đối: P(A) = 1 − P(Ā).
✦Đối của "ít nhất một loại X" là "không có loại X nào" — thường chỉ một trường hợp, đếm nhanh hơn hẳn.
✦Vẫn phải đếm Ā theo cùng kiểu với Ω (cùng tổ hợp hoặc cùng có thứ tự).
✦Ví dụ: 5 bi đỏ, 3 bi xanh, lấy 2 bi, xác suất có ít nhất một bi xanh: Ā = "cả hai đều đỏ" ⇒ n(Ā) = C(5,2) = 10, n(Ω) = C(8,2) = 28, P(Ā) = 1028 = 514 ⇒ P(A) = 1 − 514 = 914.

Dạng bài

Tính xác suất "ít nhất một" qua biến cố đối

1 Đặt A là biến cố "ít nhất một…", xác định Ā = "không có cái nào".
2 Đếm n(Ω) và n(Ā) theo cùng một kiểu (tổ hợp nếu không thứ tự).
3 Tính P(Ā) = n(Ā)/n(Ω).
4 Suy ra P(A) = 1 − P(Ā). Thử lại: P(A) + P(Ā) = 1.

⚠️ Bẫy hay gặp: Chia thành "đúng 1 xanh" cộng "đúng 2 xanh" rồi tính riêng từng trường hợp: ra đúng kết quả nhưng mất nhiều bước và dễ sót trường hợp. Đi qua biến cố đối "cả hai đều đỏ" chỉ cần một phép tính.

🔁

Làm mẫu

Một hộp có 5 bi đỏ và 3 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 bi. Tính xác suất có ít nhất một bi xanh.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

4 🔍 Kiểm tra kết quả trước khi chốt đáp số

Dấu hiệu đếm sai

Dấu hiệu	Nghĩa là
P > 1 hoặc P < 0	Chắc chắn sai — đếm nhầm ở đâu đó
n(A) > n(Ω)	Đếm hai vế theo hai cách khác nhau (thứ tự khác không thứ tự)
P rất gần 0 hoặc gần 1	Nên kiểm lại xem có hợp lí với đề không

Dạng bài

Phát hiện bài đếm sai kiểu

1 Xem lại n(Ω) và n(A) đã đếm theo cùng kiểu (cùng thứ tự hoặc cùng không thứ tự) chưa.
2 Nếu không cùng kiểu, chọn lại một kiểu cho cả hai vế rồi đếm lại.
3 Tính P(A) và so với [0; 1].
4 So kết quả với trực giác (ví dụ xác suất một người cụ thể có mặt trong nhóm nhỏ phải nhỏ, không thể gần 1).

⚠️ Bẫy hay gặp: Đếm n(Ω) có thứ tự nhưng n(A) không thứ tự (hoặc ngược lại) là lỗi phổ biến nhất, thường cho kết quả nhìn hợp lí (vẫn trong [0; 1]) nên khó phát hiện nếu không kiểm lại bằng cách đếm lại đúng kiểu.

🔍

Làm mẫu

Chọn ngẫu nhiên 2 người từ 5 người A, B, C, D, E. Tính xác suất để A có mặt trong nhóm được chọn.

Hướng dẫn giải

Thử tự giải trước nhé!

5 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai

⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm

✦Thấy "chọn", "rút", "lấy ra" không phân vai ⇒ tổ hợp C(n, k) ngay, không cần nghĩ thêm.
✦Thấy "xếp", "phân vai", "lập số" ⇒ quy tắc nhân, nhớ chữ số hàng cao nhất khác 0.
✦Thấy "ít nhất", "không quá" ⇒ nghĩ ngay biến cố đối, thường chỉ mất một phép tính.
✦Chọn "loại 1 và loại 2" ⇒ nhân hai tổ hợp. "Hoặc trường hợp này, hoặc trường hợp kia" (rời nhau) ⇒ cộng.

⚠️ Lỗi hay sai nhất

✦Đếm n(Ω) có thứ tự nhưng n(A) không thứ tự (hoặc ngược lại). Phản ví dụ: chọn 2 người từ 5, n(Ω) phải là C(5,2) = 10, không phải A(5,2) = 20.
✦Cộng hai tổ hợp khi đề nối bằng "và". Phản ví dụ: chọn 2 nam và 1 nữ phải nhân C(6,2)·C(4,1) = 60, không phải cộng ra 19.
✦Cho chữ số hàng cao nhất của số có n chữ số là 0. Phản ví dụ: số có 3 chữ số thì hàng trăm chỉ có 9 cách, không phải 10.
✦Chia bài "ít nhất một" thành nhiều trường hợp rồi cộng, dễ sót. Dùng biến cố đối gọn hơn.
✦Quên kiểm P(A) ∈ [0; 1] và n(A) ≤ n(Ω) sau khi tính — đây là cách bắt lỗi đếm sai kiểu nhanh nhất.
✦Nhầm xác suất "một phần tử cụ thể có mặt trong nhóm được chọn" với tỉ lệ sai. Phản ví dụ: chọn 2 từ 5 người, xác suất một người cụ thể có mặt là 25 (= k/n), không phải 15.

🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)

✦Dùng chức năng tính tổ hợp/chỉnh hợp (nếu máy có) để kiểm nhanh C(n, k), A(n, k) thay vì liệt kê tay.
✦Dùng máy để rút gọn phân số n(A)/n(Ω) và kiểm phép nhân khi đếm nhiều công đoạn.
✦Tính ngược P(A) · n(Ω) xem có ra đúng n(A) không, để chắc chưa tính nhầm hoặc rút gọn sai.

✏️ Luyện tập

Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.

🎱

Rút bi, chọn người

1
Nhận biết
Chọn ngẫu nhiên 2 người từ 5 người. Số phần tử không gian mẫu là
2
Thông hiểu
Hộp có 4 bi đỏ, 6 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 1 bi. Xác suất được bi đỏ là
3
Thông hiểu Một tổ có 6 nam và 4 nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 người, n(Ω) = .
4
Thông hiểu
Một tổ có 6 nam và 4 nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 người. Xác suất chọn được đúng 2 nam là
5
Vận dụng Một hộp có 5 bi đỏ và 3 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 bi. Xác suất cả hai bi đều đỏ là .

🔢

Lập số, xếp chỗ

1
Nhận biết
Chọn ngẫu nhiên một số có 3 chữ số. Số phần tử không gian mẫu là
2
Thông hiểu
Với số có 3 chữ số, chữ số hàng trăm có bao nhiêu cách chọn?
3
Thông hiểu Số các số có 3 chữ số đôi một khác nhau là .
4
Thông hiểu
Chọn ngẫu nhiên một số có 3 chữ số. Xác suất số đó có ba chữ số đôi một khác nhau là
5
Vận dụng Chọn ngẫu nhiên một số có 3 chữ số. Xác suất số đó là số chẵn là .

🔁

"Ít nhất một" — biến cố đối

1
Nhận biết
Với biến cố A, biến cố đối Ā, công thức nào đúng?
2
Thông hiểu
Bài hỏi "xác suất có ít nhất một bi đỏ" thì nên
3
Thông hiểu Một hộp có 5 bi đỏ và 3 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 bi. Xác suất có ít nhất một bi xanh là .
4
Vận dụng
Một tổ có 6 nam và 4 nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 người. Xác suất có ít nhất một nữ là
5
Vận dụng Một hộp có 4 bi đỏ và 6 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 bi. Xác suất có ít nhất một bi đỏ là .

🔍

Kiểm tra kết quả

1
Nhận biết
Nếu tính ra P(A) = 1,5 thì
2
Thông hiểu
Nếu khi tính được n(A) > n(Ω) thì
3
Thông hiểu Chọn ngẫu nhiên 2 người từ 5 người A, B, C, D, E (không thứ tự). Xác suất để A có mặt trong nhóm được chọn là .
4
Thông hiểu
Nếu đếm n(Ω) theo chỉnh hợp A(5,2) = 20 nhưng đếm n(A) theo tổ hợp C(4,1) = 4 thì kết quả P = 420 = 15 so với cách đếm đúng (cả hai cùng tổ hợp, P = 25) sẽ
5
Vận dụng Một hộp có 3 bi đỏ và 2 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 bi. Xác suất hai bi cùng màu là .

🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp

Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.

🅰️

Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn

1
Thông hiểu
Một tổ có 6 nam và 4 nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 người. Xác suất chọn được đúng 1 nam và 2 nữ là
2
Vận dụng
Chọn ngẫu nhiên một số có 3 chữ số. Xác suất số đó có ít nhất một chữ số 0 là
3
Vận dụng
Một hộp có 5 bi đỏ và 3 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 3 bi. Xác suất cả 3 bi đều xanh là

✅

Phần II · Đúng / sai

1
Thông hiểu
Một tổ có 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh.

a)n(Ω) = 120.

b)Xác suất chọn được đúng 2 nam là 12.

c)Xác suất chọn được cả 3 đều nữ là 110.

d)Xác suất chọn được ít nhất một nam là 130.
2
Vận dụng
Chọn ngẫu nhiên một số có 3 chữ số.

a)n(Ω) = 900.

b)Xác suất số đó có ba chữ số đôi một khác nhau là 0,8.

c)Xác suất số đó là số chẵn là 0,5.

d)Có 10 cách chọn chữ số hàng trăm.

🔢

Phần III · Trả lời ngắn

1
Vận dụng Một hộp có 5 bi đỏ và 3 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 3 bi. Xác suất cả 3 bi đều đỏ là bao nhiêu? Đáp số:
2
Vận dụng Một tổ có 6 nam và 4 nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 người. Xác suất cả 3 đều là nữ là bao nhiêu? Đáp số:
3
Vận dụng Một tổ có 6 nam và 4 nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 người. Xác suất cả 3 đều là nam là bao nhiêu? Đáp số:

🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?

•Là bài luyện tập tổng hợp cho cả chương IX: nền trực tiếp cho xác suất có điều kiện, biến cố độc lập ở lớp 11–12 (những dạng bài rút bi, chọn người sẽ gặp lại với công thức nhân xác suất).
•Trong đề thường có câu đòi phân biệt thứ tự hay không thứ tự (rút bi/chọn người so với lập số/xếp chỗ), và câu dùng biến cố đối cho "ít nhất một".
•Phần III hay cho đáp số là phân số tối giản hoặc số thập phân ngắn: cần rút gọn, và luôn kiểm P ∈ [0; 1] trước khi điền.

Làm đề thi thử trọn bộ