Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm
Tính số trung bình, trung vị, tứ phân vị và mốt của mẫu số liệu không ghép nhóm; biết số nào bị giá trị bất thường kéo lệch và chọn đúng số đại diện cho từng tình huống.
Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 13
⚡ Nhớ nhanh
- 1Ba số "ở giữa" của một mẫu: số trung bình x̄, trung vị Mₑ (cùng Q₁, Q₃) và mốt Mₒ. Mỗi số trả lời một câu hỏi khác nhau.
- 2x̄ = tổng tất cả giá trị chia cho n (bảng tần số thì nhân giá trị với tần số rồi cộng). Dùng mọi số liệu nên bị giá trị lạ kéo lệch.
- 3Mₑ chỉ tính được sau khi sắp xếp tăng dần: n lẻ lấy số chính giữa, n chẵn lấy trung bình cộng hai số giữa.
- 4Q₁, Q₃ chia mẫu (đã sắp xếp) thành bốn phần: bỏ Mₑ nếu n lẻ, lấy trung vị của nửa dưới làm Q₁ và nửa trên làm Q₃.
- 5Mₒ là giá trị có tần số lớn nhất — có thể có nhiều mốt, hoặc không có mốt nào nếu mọi giá trị xuất hiện như nhau.
- 6Giá trị bất thường kéo x̄ lệch mạnh nhưng gần như không ảnh hưởng Mₑ: mẫu thu nhập, lương hay chọn trung vị làm đại diện.
👀 Nhìn là hiểu
Kéo một chấm trên biểu đồ chấm: x̄, Mₑ, Mₒ, Q₁, Q₂, Q₃ dời theo ngay. Thêm hoặc bớt một số liệu để thấy trung vị đổi cách tính giữa n lẻ (lấy 1 số) và n chẵn (trung bình 2 số giữa) — nút mẫu đầu tiên là mẫu 3; 3; 5; 6; 7; 8; 9.
Chạm một chấm để chọn · ● chấm thuộc mốt
Đã sắp xếp: 3; 3; 5; 6; 7; 8; 9 (n = 7)
| Số trung bình x̄ | 41/7 ≈ 5,86 |
| Trung vị Mₑ | 6 |
| Tứ phân vị Q₁, Q₂, Q₃ | 3; 6; 8 |
| Mốt Mₒ | 3 |
n lẻ: Mₑ là số thứ 4
6; 3; 8; 5; 3; 9; 7
Sắp xếp: 3; 3; 5; 6; 7; 8; 9 (n = 7 lẻ). Mₑ là số đứng giữa (thứ 4) = 6. x̄ = 41/7 ≈ 5,86. Mₒ = 3 (xuất hiện 2 lần). Q₁ = trung vị nửa dưới 3; 3; 5 = 3, Q₃ = trung vị nửa trên 7; 8; 9 = 8. Bẫy: lấy số đứng giữa khi CHƯA sắp xếp (ra 5).
1 ⚖️ Số trung bình x̄
Cần nhớ
- ✦Mẫu n số liệu x₁, x₂, …, xₙ: x̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ)/n.
- ✦Mẫu cho dưới dạng bảng tần số (giá trị x₁, …, xₖ với tần số n₁, …, nₖ, tổng tần số n): x̄ = (x₁n₁ + x₂n₂ + … + xₖnₖ)/n.
- ✦x̄ luôn nằm giữa giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của mẫu. Ra ngoài khoảng ấy là tính sai.
- ✦x̄ dùng mọi giá trị nên một số liệu lệch hẳn (quá lớn hoặc quá nhỏ) kéo x̄ theo rất mạnh.
Dạng bài
Tính số trung bình
- 1 Xác định n (số số liệu, hoặc tổng tần số nếu là bảng tần số).
- 2 Cộng tất cả giá trị (hoặc nhân mỗi giá trị với tần số rồi cộng).
- 3 Chia tổng cho n.
- 4 Thử lại: x̄ nằm giữa giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của mẫu.
⚠️ Bẫy hay gặp: Với bảng tần số điểm kiểm tra 5; 6; 7; 8; 9 (tần số 2; 5; 8; 3; 2, n = 20), cộng các giá trị rồi chia cho số loại giá trị: 5 + 6 + 7 + 8 + 95 = 7 là sai. Phải nhân từng giá trị với tần số rồi chia cho n = 20: đúng là 6,9.
Cho mẫu số liệu: 6; 3; 8; 5; 3; 9; 7. Tính số trung bình.
Hướng dẫn giải
Dạng bài
Tính số trung bình từ bảng tần số
- 1 Nhân mỗi giá trị với tần số tương ứng.
- 2 Cộng tất cả các tích lại, và cộng tần số để ra n.
- 3 x̄ = (tổng các tích)/n.
- 4 Thử lại: x̄ gần giá trị có tần số lớn nhất, và nằm trong khoảng các giá trị.
Điểm kiểm tra của 20 học sinh: 5; 6; 7; 8; 9 điểm với tần số lần lượt 2; 5; 8; 3; 2. Tính điểm trung bình.
Hướng dẫn giải
2 ✂️ Trung vị và tứ phân vị
Cần nhớ
- ✦Sắp xếp mẫu tăng dần trước, luôn luôn. Lấy luôn số giữa danh sách gốc (chưa sắp xếp) gần như chắc chắn sai.
- ✦n lẻ: trung vị Mₑ là số đứng chính giữa (vị trí n+12). n chẵn: Mₑ là trung bình cộng của hai số ở giữa (vị trí n/2 và n/2 + 1).
- ✦Q₂ chính là Mₑ. Để tìm Q₁, Q₃: nếu n lẻ thì bỏ Mₑ, chia phần còn lại thành nửa dưới và nửa trên bằng nhau; nếu n chẵn thì chia mẫu làm hai nửa bằng nhau ngay. Q₁ = trung vị nửa dưới, Q₃ = trung vị nửa trên.
- ✦Q₁ < Mₑ < Q₃ (trừ khi nhiều giá trị trùng nhau).
Dạng bài
Tính trung vị
- 1 Sắp xếp mẫu tăng dần.
- 2 Đếm n, xét n lẻ hay chẵn.
- 3 n lẻ lấy số chính giữa; n chẵn lấy trung bình cộng hai số giữa.
- 4 Thử lại: khoảng một nửa số liệu ≤ Mₑ, một nửa ≥ Mₑ.
⚠️ Bẫy hay gặp: Lấy số thứ 4 trong dãy gốc chưa sắp xếp (6; 3; 8; 5; 3; 9; 7) sẽ ra 5 — một con số trông hợp lí nhưng sai, vì trung vị chỉ định nghĩa trên mẫu đã sắp xếp. Với 2; 4; 6; 8 (n = 4, đã sắp xếp), lấy luôn số thứ 2 (= 4) thay vì trung bình số thứ 2 và 3 cũng sai: đúng là Mₑ = 4 + 62 = 5.
Cho mẫu số liệu: 6; 3; 8; 5; 3; 9; 7. Tính trung vị.
Hướng dẫn giải
Dạng bài
Tính tứ phân vị
- 1 Sắp xếp mẫu tăng dần và tìm Mₑ.
- 2 n lẻ: bỏ Mₑ, chia phần còn lại thành nửa dưới và nửa trên. n chẵn: chia mẫu làm hai nửa luôn.
- 3 Q₁ = trung vị của nửa dưới, Q₃ = trung vị của nửa trên.
- 4 Thử lại: Q₁ < Mₑ < Q₃.
⚠️ Bẫy hay gặp: Khi n lẻ, không bỏ Mₑ mà gộp vào cả hai nửa: nửa dưới thành {3; 3; 5; 6} cho Q₁ = 3 + 52 = 4, nửa trên thành {6; 7; 8; 9} cho Q₃ = 7 + 82 = 7,5 — cả hai đều sai so với 3 và 8 đúng.
Với mẫu 6; 3; 8; 5; 3; 9; 7 ở trên (đã sắp xếp 3; 3; 5; 6; 7; 8; 9, Mₑ = 6), tính Q₁ và Q₃.
Hướng dẫn giải
Chia nửa để tìm Q₁, Q₃ (so sánh n lẻ và n chẵn)
| Mẫu đã sắp xếp | n | Nửa dưới → Q₁ | Nửa trên → Q₃ |
|---|---|---|---|
| 3; 3; 5; 6; 7; 8; 9 | 7 (lẻ, bỏ Mₑ = 6) | 3; 3; 5 → Q₁ = 3 | 7; 8; 9 → Q₃ = 8 |
| 2; 4; 6; 8 | 4 (chẵn, chia đôi) | 2; 4 → Q₁ = 3 | 6; 8 → Q₃ = 7 |
3 📍 Mốt
Cần nhớ
- ✦Mốt Mₒ là giá trị xuất hiện nhiều lần nhất (tần số lớn nhất), không phải bản thân tần số đó.
- ✦Có thể có nhiều mốt nếu từ hai giá trị trở lên cùng đạt tần số lớn nhất.
- ✦Có thể không có mốt nếu mọi giá trị xuất hiện với tần số bằng nhau (ví dụ mỗi giá trị chỉ xuất hiện đúng một lần).
- ✦Với bảng tần số: nhìn cột tần số, giá trị ứng với tần số lớn nhất chính là mốt.
Dạng bài
Tìm mốt
- 1 Đếm số lần xuất hiện (tần số) của từng giá trị.
- 2 Tìm tần số lớn nhất.
- 3 Mốt là (các) giá trị đạt tần số lớn nhất đó.
- 4 Thử lại: mốt phải là một giá trị có mặt trong mẫu, không phải con số tần số.
⚠️ Bẫy hay gặp: Trả lời "mốt bằng 2" (lấy đúng con số tần số) là nhầm tần số với giá trị: mốt của mẫu này là 3, còn 2 chỉ là số lần giá trị 3 xuất hiện. Với bảng cỡ giày 38; 39; 40; 41 (tần số 3; 7; 5; 2), tần số lớn nhất là 7 nhưng mốt là 39, không phải 7.
Cho mẫu số liệu: 6; 3; 8; 5; 3; 9; 7. Tìm mốt.
Hướng dẫn giải
Mẫu 1; 2; 2; 3; 3; 4: giá trị 2 và 3 cùng xuất hiện 2 lần, nhiều nhất trong mẫu ⇒ mẫu có hai mốt: Mₒ = 2 và Mₒ = 3.
Mẫu 150; 152; 155; 158; 160: mỗi giá trị xuất hiện đúng 1 lần, tần số bằng nhau hết ⇒ mẫu không có mốt.
4 🧭 Chọn số đại diện và ảnh hưởng của giá trị bất thường
Ba số "ở giữa" trả lời ba câu hỏi khác nhau
| Số trung bình | Trung vị | Mốt | |
|---|---|---|---|
| Câu hỏi | Chia đều thì mỗi phần bao nhiêu? | Ngưỡng chia đôi mẫu ở đâu? | Giá trị nào hay gặp nhất? |
| Dùng | Mọi số liệu | Chỉ vị trí giữa (sau khi sắp xếp) | Chỉ tần số |
| Giá trị bất thường | Bị kéo lệch mạnh | Gần như không ảnh hưởng | Không ảnh hưởng |
| Hay dùng cho | Điểm trung bình, năng suất | Thu nhập, giá nhà | Cỡ giày, màu bán chạy |
Dạng bài
Chọn số đại diện cho mẫu có giá trị bất thường
- 1 Tính số trung bình và trung vị của mẫu.
- 2 So sánh: nếu hai số gần nhau, mẫu khá đều, dùng số nào cũng được.
- 3 Nếu x̄ và Mₑ lệch nhau nhiều, mẫu có giá trị bất thường, nên báo cáo trung vị.
- 4 Thử lại: bỏ giá trị bất thường, tính lại x̄ — nếu thay đổi nhiều hơn hẳn Mₑ thì chọn trung vị là đúng.
⚠️ Bẫy hay gặp: Cho rằng "số trung bình luôn tiêu biểu hơn" là sai: với mẫu 20; 21; 22; 23; 90, x̄ = 35,2 lớn hơn hẳn 4 trong 5 giá trị (20; 21; 22; 23), trong khi trung vị Mₑ = 22 mô tả đúng mức phổ biến hơn.
Lương tháng (triệu đồng) của 5 nhân viên: 8; 9; 10; 11; 62. Nên dùng số nào để mô tả mức lương tiêu biểu?
Hướng dẫn giải
Ghi nhớ khi so sánh hai mẫu
- ✦Hai mẫu có cùng x̄ vẫn có thể khác Mₑ, Mₒ hẳn nhau — phải tính đủ cả ba số mới so sánh được.
- ✦Thêm một giá trị rất lớn hoặc rất nhỏ vào mẫu: x̄ đổi ngay, Mₑ chỉ đổi rất ít (vì chỉ phụ thuộc vị trí giữa sau khi sắp xếp).
- ✦Nhân mọi giá trị của mẫu với cùng một số k > 0: x̄, Mₑ, Mₒ đều nhân với k.
5 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai
⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm
- ✦Luôn sắp xếp mẫu trước tiên khi đề hỏi trung vị hoặc tứ phân vị, kể cả khi đề đã liệt kê theo thứ tự khác.
- ✦n lẻ thì Mₑ là một giá trị có sẵn trong mẫu; n chẵn thì Mₑ thường là số không có sẵn (trung bình hai số giữa) — nếu đáp án trùng khít một giá trị trong mẫu khi n chẵn, nên kiểm lại.
- ✦x̄ và Mₑ lệch nhau nhiều ⇒ mẫu có giá trị bất thường, câu hỏi "số nào đại diện tốt hơn" gần như luôn chọn trung vị.
- ✦Mẫu nhân đôi lại y hệt (lặp lại toàn bộ danh sách) thì x̄, Mₑ, Mₒ không đổi, chỉ n đổi.
⚠️ Lỗi hay sai nhất
- ✦Lấy số ở giữa danh sách gốc chưa sắp xếp làm trung vị. Phản ví dụ: mẫu 6; 3; 8; 5; 3; 9; 7 cho 5 thay vì 6.
- ✦n chẵn mà chỉ lấy một số ở giữa thay vì trung bình cộng hai số. Phản ví dụ: mẫu 2; 4; 6; 8 cho Mₑ = 4 thay vì 5.
- ✦Tìm Q₁, Q₃ mà không bỏ trung vị khi n lẻ, gộp nhầm vào cả hai nửa. Phản ví dụ: Q₁ = 4 thay vì 3 với mẫu 3; 3; 5; 6; 7; 8; 9.
- ✦Trả lời mốt là tần số lớn nhất thay vì giá trị. Phản ví dụ: mốt của cỡ giày 38; 39; 40; 41 (tần số 3; 7; 5; 2) là 39, không phải 7.
- ✦Tính x̄ của bảng tần số bằng cách cộng các giá trị rồi chia cho số loại giá trị, quên nhân tần số. Phản ví dụ: 5+6+7+8+95 = 7 thay vì 6,9.
- ✦Cho rằng số trung bình luôn là số đại diện tốt nhất dù mẫu có giá trị bất thường.
🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)
- ✦Chế độ Thống kê (STAT), nhập từng giá trị vào cột x (bảng tần số thì thêm cột tần số), máy cho ngay x̄ và n — dùng để kiểm lại số trung bình.
- ✦Máy không tính sẵn trung vị, tứ phân vị hay mốt cho mẫu không ghép nhóm: vẫn phải tự sắp xếp và xác định vị trí bằng tay.
- ✦Luôn đếm lại n sau khi nhập để chắc chắn không bỏ sót hoặc nhập trùng số liệu.
✏️ Luyện tập
Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.
Số trung bình
- 1Nhận biết
Số trung bình của mẫu n số liệu bằng
- 2Thông hiểu
Mẫu số liệu 6; 3; 8; 5; 3; 9; 7. Số trung bình bằng
- 3Thông hiểu Điểm | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 Tần số | 2 | 5 | 8 | 3 | 2 Điểm trung bình của 20 học sinh là .
- 4Thông hiểu
Cỡ giày | 38 | 39 | 40 | 41 Tần số | 3 | 7 | 5 | 2 Cỡ giày trung bình của 17 bạn gần nhất với
- 5Vận dụng Mẫu 2; 5; 8; m có số trung bình bằng 6. Tìm m = .
Trung vị và tứ phân vị
- 1Nhận biết
Trước khi tính trung vị, việc đầu tiên phải làm là
- 2Thông hiểu
Mẫu đã sắp xếp: 2; 5; 7; 9; 12. Trung vị bằng
- 3Thông hiểu
Mẫu 6; 3; 8; 5; 3; 9; 7. Trung vị bằng
- 4Thông hiểu Với mẫu 6; 3; 8; 5; 3; 9; 7 ở trên, tứ phân vị thứ nhất Q₁ = .
- 5Thông hiểu
Với mẫu 6; 3; 8; 5; 3; 9; 7 ở trên, tứ phân vị thứ ba Q₃ bằng
- 6Vận dụng Mẫu 2; 4; 6; 8 (đã sắp xếp, n chẵn). Tứ phân vị thứ nhất Q₁ = .
- 7Vận dụng Mẫu 3; 7; m; 11; 15 (đã sắp xếp tăng dần, 7 < m < 11) có trung vị bằng 9. Tìm m = .
Mốt
- 1Nhận biết
Mốt của một mẫu số liệu là
- 2Thông hiểu Mẫu 6; 3; 8; 5; 3; 9; 7. Mốt của mẫu là .
- 3Thông hiểu
Cỡ giày | 38 | 39 | 40 | 41 Tần số | 3 | 7 | 5 | 2 Mốt của mẫu cỡ giày trên là
- 4Vận dụng
Mẫu 1; 2; 2; 3; 3; 4. Số mốt của mẫu là
Chọn số đại diện, giá trị bất thường
- 1Nhận biết
Mẫu số liệu có một giá trị bất thường rất lớn. Số nào ít bị ảnh hưởng nhất?
- 2Thông hiểu Mẫu lương (triệu đồng) 8; 9; 10; 11; 62. Trung vị của mẫu là .
- 3Thông hiểu
Mẫu 20; 21; 22; 23; 90. So sánh x̄ và Mₑ:
- 4Vận dụng
Thêm một số liệu lớn bất thường vào một mẫu đang có sẵn. Khi đó
🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp
Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.
Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn
- 1Thông hiểu
Mẫu 6; 3; 8; 5; 3; 9; 7. Trung vị, Q₁ và Q₃ của mẫu lần lượt là
- 2Thông hiểu
Điểm | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 Tần số | 2 | 5 | 8 | 3 | 2 Mốt của mẫu điểm kiểm tra trên là
- 3Vận dụng
Mẫu 8; 9; 10; 11; 62. Nên dùng số nào để mô tả mức lương tiêu biểu?
Phần II · Đúng / sai
- 1Thông hiểu
Cho mẫu số liệu: 6; 3; 8; 5; 3; 9; 7
a)Sắp xếp tăng dần của mẫu là 3; 3; 5; 6; 7; 8; 9.
b)Số trung bình của mẫu bằng 6.
c)Mốt của mẫu bằng 3.
d)Tứ phân vị thứ ba Q₃ của mẫu bằng 7,5.
- 2Vận dụng
Cho mẫu lương (triệu đồng) của 5 nhân viên: 8; 9; 10; 11; 62
a)Số trung bình của mẫu bằng 20 triệu đồng.
b)Trung vị của mẫu bằng 20 triệu đồng.
c)Giá trị 62 làm số trung bình lớn hơn hẳn trung vị.
d)Nên dùng số trung bình để mô tả mức lương tiêu biểu của 5 người.
Phần III · Trả lời ngắn
- 1Thông hiểu Tính số trung bình của mẫu 6; 3; 8; 5; 3; 9; 7, làm tròn đến hàng phần trăm. Đáp số:
- 2Thông hiểu Cỡ giày | 38 | 39 | 40 | 41 Tần số | 3 | 7 | 5 | 2 Tính Q₃ của mẫu cỡ giày trên. Đáp số:
- 3Vận dụng Mẫu 4; 6; m; 10 (đã sắp xếp tăng dần) có số trung bình bằng 7. Tìm m. Đáp số:
🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?
- •Bài kiểm tra trên lớp thường cho một dãy số liệu hoặc bảng tần số rồi hỏi x̄, Mₑ, Q₁, Q₃ hoặc Mₒ; điểm hay mất ở chỗ quên sắp xếp trước khi lấy trung vị, hoặc quên bỏ trung vị khi chia nửa tìm tứ phân vị.
- •Hay có câu hỏi "nên dùng số nào làm đại diện" khi mẫu có giá trị bất thường: câu trả lời thường là trung vị.
- •Chủ đề là nền cho bài 14 (độ phân tán) ngay sau: khoảng tứ phân vị dùng lại đúng cách tính Q₁, Q₃ của bài này, và phương sai, độ lệch chuẩn cũng xuất phát từ số trung bình x̄ vừa học.
Các số đặc trưng đo độ phân tán