Số gần đúng và sai số
Viết đúng khoảng chứa số đúng từ số gần đúng và độ chính xác, phân biệt sai số tuyệt đối với sai số tương đối, so sánh độ chính xác hai phép đo khác đại lượng, và quy tròn số gần đúng theo đúng hàng.
Ứng với SGK Kết nối tri thức: Bài 12
⚡ Nhớ nhanh
- 1Số gần đúng a thay cho số đúng mà ta không biết chính xác. Sai lệch giữa chúng là sai số tuyệt đối Δₐ = | − a|, nhưng ta thường chỉ biết một chặn trên d của nó, gọi là độ chính xác.
- 2Viết gọn , nghĩa là số đúng nằm trong đoạn [a − d; a + d] — đây là một đoạn, không phải một con số.
- 3Sai số tương đối δₐ = Δₐ/|a| ≤ d/|a|, không có đơn vị (thường ghi %). Đây mới là thước đo phép đo tốt hay dở, vì nó so sai số với độ lớn đại lượng.
- 4Hai phép đo khác đại lượng (hoặc khác độ lớn) không so được bằng sai số tuyệt đối — phải so sai số tương đối: d nhỏ chưa chắc chính xác hơn.
- 5Quy tròn số gần đúng a với độ chính xác d: giữ tới hàng cao hơn một bậc so với hàng của chữ số khác 0 đầu tiên (từ trái) của d, rồi làm tròn một lần duy nhất.
- 6Thói quen chống sai: viết xong luôn tự hỏi "chữ số cuối mình ghi có đúng với độ chính xác đã cho không?" — ghi thừa số lẻ là tự nhận một độ chính xác mình không có.
👀 Nhìn là hiểu
Kéo thước phóng to quanh số gần đúng a để đổi dải [a − d; a + d], xem sai số tương đối δ = d/|a| đổi theo; bấm nút mẫu a = 12,4, d = 0,05 trước (số đúng ∈ [12,35; 12,45], δ ≈ 0,40%), rồi thử cặp 1000 ± 1 và 2 ± 0,1 để thấy d nhỏ hơn chưa chắc chính xác hơn.
Dải màu: nơi có thể chứa số đúng
Số đúng ∈ [12,35; 12,45]
δ = 0,05/12,4 ≈ 0,4%
d ở hàng phần trăm ⇒ quy tròn đến hàng phần mười: a ≈ 12,4
a = 12,4, d = 0,05
Số đúng nằm trong [12,4 − 0,05; 12,4 + 0,05] = [12,35; 12,45]. Sai số tương đối δ = d/|a| = 0,05/12,4 ≈ 0,0040 = 0,40%. Ghi "≈" vì 0,05/12,4 = 0,403…%.
1 📏 Số gần đúng, sai số tuyệt đối và độ chính xác
Cần nhớ
- ✦Số đúng thường không biết được, chỉ có số gần đúng a (kết quả đo, kết quả làm tròn). Ví dụ: π ≈ 3,14 là số gần đúng của số đúng π.
- ✦Sai số tuyệt đối Δₐ = | − a|. Vì không biết nên thường chỉ ước lượng được một chặn trên d sao cho Δₐ ≤ d, gọi d là độ chính xác.
- ✦Viết a = a ± d nghĩa là a − d ≤ ≤ a + d. Ví dụ: a = 12,4 ± 0,05 nghĩa là số đúng nằm trong [12,35; 12,45].
- ✦d càng nhỏ thì khoảng chứa số đúng càng hẹp — phép đo càng "sát", nhưng đơn vị của d giống đơn vị của a nên chưa so được hai phép đo khác loại.
Dạng bài
Viết khoảng chứa số đúng từ a và d
- 1 Xác định số gần đúng a và độ chính xác d trong đề.
- 2 Tính a − d và a + d.
- 3 Kết luận số đúng ∈ [a − d; a + d].
- 4 Thử lại: a nằm chính giữa đoạn vừa viết (cách đều hai đầu mút đúng d).
⚠️ Bẫy hay gặp: Viết khoảng [a; a + d] hoặc chỉ ghi "số đúng gần bằng 12,4" là bỏ mất thông tin quan trọng nhất — số đúng có thể nhỏ hơn hoặc lớn hơn a, phải lấy cả hai phía.
Đo được a = 12,4 với độ chính xác d = 0,05. Viết khoảng chứa số đúng.
Hướng dẫn giải
Phân biệt số đúng — số gần đúng — độ chính xác
| Đại lượng | Kí hiệu | Biết được không? |
|---|---|---|
| Số đúng | Thường KHÔNG biết | |
| Số gần đúng | a | Biết (kết quả đo/tính) |
| Độ chính xác | d (chặn trên của Δₐ) | Biết (do dụng cụ/đề cho) |
2 ⚖️ Sai số tương đối — so sánh độ chính xác
Cần nhớ
- ✦Sai số tương đối δₐ = Δₐ/|a| ≤ d/|a|. Vì là tỉ số của hai đại lượng cùng đơn vị nên δₐ không có đơn vị, thường ghi bằng %.
- ✦Chỉ sai số tương đối mới so sánh được hai phép đo khác đại lượng hoặc khác độ lớn. Sai số tuyệt đối chỉ so được khi hai phép đo cùng độ lớn.
- ✦δₐ càng nhỏ thì phép đo càng chính xác (δₐ nhỏ ⇔ sai lệch chiếm tỉ lệ nhỏ so với giá trị đo).
- ✦Muốn δₐ nhỏ: hoặc d nhỏ, hoặc |a| lớn — nên đo đại lượng lớn mà sai lệch tuyệt đối không tăng tương ứng thì δₐ sẽ rất nhỏ.
Dạng bài
Tính sai số tương đối và so sánh hai phép đo
- 1 Với mỗi phép đo, xác định a (hoặc giá trị đo) và d.
- 2 Tính δ = d/|a|, đổi ra phần trăm.
- 3 So sánh hai giá trị δ: δ nhỏ hơn ⇒ phép đo đó chính xác hơn.
- 4 Thử lại: không dùng d để kết luận trực tiếp, chỉ dùng δ.
⚠️ Bẫy hay gặp: Thấy d_A = 1 m > d_B = 0,1 m rồi kết luận "B chính xác hơn" là sai — phải so sai số tương đối, vì 1 m lệch trên quãng đường 1000 m rất nhỏ, còn 0,1 m lệch trên 2 m là khá lớn.
Phép đo A cho chiều dài cầu 1000 ± 1 (m), phép đo B cho chiều dài bàn 2 ± 0,1 (m). Phép đo nào chính xác hơn?
Hướng dẫn giải
Hai loại sai số — dùng khi nào
| Loại | Đặc điểm | Dùng để |
|---|---|---|
| Tuyệt đối Δₐ, d | Có đơn vị, cho biết lệch bao nhiêu | Biết khoảng chứa số đúng |
| Tương đối δₐ | Không đơn vị (ghi %), tỉ lệ với |a| | So sánh độ chính xác hai phép đo |
3 🔢 Quy tròn số gần đúng
Cần nhớ
- ✦Quy tròn a với độ chính xác d: tìm hàng của chữ số khác 0 đầu tiên (từ trái) của d, rồi quy tròn a đến hàng cao hơn một bậc so với hàng đó.
- ✦Ví dụ: d = 0,01 có chữ số khác 0 đầu tiên ở hàng phần trăm ⇒ quy tròn a đến hàng phần mười.
- ✦Quy tròn đúng một lần, dựa vào chữ số ngay sau hàng cần giữ (≥ 5 thì tăng, < 5 thì giữ nguyên) — không quy tròn nhiều bước liên tiếp.
- ✦Số gần đúng viết ra chỉ nên giữ đến đúng hàng của độ chính xác; ghi thêm số lẻ là tự nhận sai một độ chính xác mình không có.
Dạng bài
Quy tròn số gần đúng theo độ chính xác
- 1 Xác định hàng của chữ số khác 0 đầu tiên trong d.
- 2 Lùi lên một hàng — đó là hàng cần giữ lại khi quy tròn a.
- 3 Nhìn chữ số ngay sau hàng đó trong a để quyết định làm tròn lên hay giữ nguyên (quy tròn một lần).
- 4 Thử lại: số vừa quy tròn phải cách a không quá d.
⚠️ Bẫy hay gặp: Quy tròn hai lần: 1,45 → 1,5 (làm tròn đến hàng phần mười) → 2 (làm tròn tiếp đến hàng đơn vị) là sai. Nếu độ chính xác đòi quy tròn đến hàng đơn vị thì phải nhìn thẳng chữ số hàng phần mười của số gốc 1,45: chữ số đó là 4 < 5 ⇒ kết quả đúng là 1, không phải 2.
Quy tròn số gần đúng a = 2,3456 với độ chính xác d = 0,01.
Hướng dẫn giải
Hàng của d — hàng cần giữ khi quy tròn
| Hàng của chữ số khác 0 đầu tiên trong d | Hàng cần giữ khi quy tròn a |
|---|---|
| Phần trăm (d = 0,0x) | Phần mười |
| Phần mười (d = 0,x) | Đơn vị |
| Đơn vị (d = x) | Hàng chục |
| Hàng chục (d = x0) | Hàng trăm |
4 💡 Mẹo làm nhanh và lỗi hay sai
⚡ Mẹo làm nhanh trắc nghiệm
- ✦Thấy hỏi "khoảng chứa số đúng" ⇒ chỉ cần a − d và a + d, không cần tính gì thêm.
- ✦Thấy hỏi "chính xác hơn" / "tốt hơn" giữa hai phép đo ⇒ lập tức tính sai số tương đối của cả hai rồi so, đừng so d.
- ✦δ = d/|a| — nhớ mẫu là |a| (giá trị đo), không phải d của phép đo kia.
- ✦Quy tròn: xác định hàng của d trước, cộng thêm một bậc, rồi mới nhìn vào a — làm ngược thứ tự dễ quy tròn sai hàng.
⚠️ Lỗi hay sai nhất
- ✦So sánh độ chính xác bằng d thay vì δ. Phản ví dụ: 1000 ± 1 (δ = 0,1%) chính xác hơn 2 ± 0,1 (δ = 5%) dù d = 1 lớn hơn 0,1.
- ✦Quên δ không có đơn vị, viết "δ = 1 m" — δ là tỉ số nên không kèm đơn vị, chỉ ghi số hoặc %.
- ✦Viết khoảng chứa số đúng thiếu một phía, ví dụ chỉ ghi [a; a + d]. Đúng phải là cả hai phía [a − d; a + d].
- ✦Quy tròn hai lần liên tiếp. Phản ví dụ: 1,45 → 1,5 → 2 là sai; quy tròn một lần đến hàng đơn vị cho ngay kết quả 1.
- ✦Nhầm hàng cần giữ với hàng của d. d = 0,01 (hàng phần trăm) thì giữ đến hàng phần mười, chứ không phải giữ đến hàng phần trăm.
- ✦Ghi số gần đúng với quá nhiều số lẻ so với độ chính xác, ví dụ a = 12,4 ± 0,05 mà ghi kết quả cuối là 12,4000 — tự nhận một độ chính xác không có thật.
🧮 Máy tính cầm tay (dùng để thử lại)
- ✦Dùng phép tính thường để ra a − d, a + d và δ = d/|a|, kiểm δ bằng cách đổi ra phần trăm (×100).
- ✦So hai số thập phân nhỏ (dạng %) dễ nhầm — có thể quy về cùng mẫu số hoặc bấm trừ hai δ, kết quả âm/dương cho biết bên nào nhỏ hơn.
- ✦Quy tròn: bấm phép chia d để xác định hàng trước khi quy tròn a bằng tay, tránh đếm nhầm số 0.
✏️ Luyện tập
Làm xong mỗi nhóm bấm Kiểm tra. Câu sai có lời giải ngắn và nút quay lại phần kiến thức.
Số gần đúng, sai số tuyệt đối
- 1Nhận biết
Viết a = 7,2 ± 0,3 nghĩa là số đúng nằm trong
- 2Nhận biết
Độ chính xác d trong a = a ± d chính là
- 3Thông hiểu Cho a = 5,2 với độ chính xác d = 0,1. Số đúng nằm trong ; .
- 4Thông hiểu
Đo chiều cao một cây được 8,45 ± 0,05 (m). Khoảng chứa chiều cao đúng là
- 5Thông hiểu
Biết số đúng ∈ [3,96; 4,04]. Có thể viết gọn dưới dạng a ± d với
- 6Thông hiểu
Đo thể tích một bể nước được 250 ± 2,5 (lít). Khoảng chứa thể tích đúng là
Sai số tương đối, so sánh độ chính xác
- 1Nhận biết
Sai số tương đối δₐ
- 2Thông hiểu Đo a = 200 với độ chính xác d = 2. Sai số tương đối δ = (%).
- 3Thông hiểu
Đo khối lượng một vật được 68 ± 0,34 (kg). Sai số tương đối (làm tròn 2 chữ số sau dấu phẩy) bằng
- 4Thông hiểu
Muốn so sánh độ chính xác của hai phép đo khác đại lượng, ta dùng
- 5Vận dụng
Phép đo C: 500 ± 2 (m); phép đo D: 50 ± 0,3 (m). Phép đo nào chính xác hơn?
- 6Vận dụng Một khoản tiết kiệm ghi 3 500 000 ± 20 000 (đồng). Sai số tương đối (làm tròn đến hàng phần trăm của %) bằng (%).
- 7Vận dụng Đo khối lượng một mẫu thuốc được 620 ± 3,1 (mg). Sai số tương đối δ = (%).
Quy tròn số gần đúng
- 1Nhận biết
Độ chính xác d = 0,01 thì hàng cần giữ khi quy tròn số gần đúng a là
- 2Thông hiểu Quy tròn a = 2,3456 với độ chính xác d = 0,01 được số .
- 3Thông hiểu
Quy tròn a = 7,362 với độ chính xác d = 0,005 được số
- 4Thông hiểu
Quy tròn a = 374,1 với độ chính xác d = 5 được số
- 5Thông hiểu
Quy tròn a = 9,273 với độ chính xác d = 0,004 được số
- 6Vận dụng Quy tròn a = 1,45 với độ chính xác d = 0,5 (giữ đến hàng đơn vị) được số .
- 7Vận dụng Quy tròn a = 562,8 với độ chính xác d = 50. Đáp số:
🏆 Luyện theo dạng đề tốt nghiệp
Đề Toán có 3 phần: 12 câu 4 lựa chọn, 4 câu đúng/sai (mỗi câu 4 ý) và 6 câu trả lời ngắn (đáp số tối đa 4 ký tự, kể cả dấu − và dấu phẩy). Dưới đây là đủ 3 dạng, chỉ dùng kiến thức của chủ đề này.
Phần I · Trắc nghiệm 4 lựa chọn
- 1Thông hiểu
Cho a = 15,2 ± 0,2. Sai số tương đối của a (làm tròn 2 chữ số sau dấu phẩy) bằng
- 2Vận dụng
Hai phép đo: E cho 80 ± 0,8 (cm), F cho 500 ± 4 (cm). So sánh độ chính xác.
- 3Vận dụng
Quy tròn số gần đúng a = 15,318 với độ chính xác d = 0,03 được số
Phần II · Đúng / sai
- 1Thông hiểu
Một phép đo chiều dài cho kết quả a = 24,6 (m) với độ chính xác d = 0,2 (m).
a)Số đúng nằm trong đoạn [24,4; 24,8].
b)Sai số tương đối của phép đo xấp xỉ 0,81%.
c)Có thể khẳng định chắc chắn số đúng bằng đúng 24,6.
d)Nếu đo lại và được độ chính xác d = 0,05 thì phép đo sau chính xác hơn.
- 2Vận dụng
So sánh hai phép đo: khối lượng một bao gạo G = 25 ± 0,25 (kg) và khối lượng một xe tải H = 2500 ± 20 (kg).
a)Sai số tương đối của G bằng 1%.
b)Sai số tương đối của H bằng 0,8%.
c)Phép đo G chính xác hơn phép đo H vì d_G = 0,25 nhỏ hơn d_H = 20.
d)Phép đo H chính xác hơn phép đo G.
Phần III · Trả lời ngắn
- 1Vận dụng Đo quãng đường được a = 1250 (m) với độ chính xác d = 15 (m). Sai số tương đối (làm tròn đến hàng phần mười của %) bằng bao nhiêu %? Đáp số:
- 2Vận dụng Quy tròn số gần đúng a = 68,247 với độ chính xác d = 0,08. Đáp số:
- 3Vận dụng Hai phép đo P: 12 ± 0,6 (kg), Q: 150 ± 6 (kg). Phép đo nào chính xác hơn? Đáp số (ghi P hoặc Q):
🎯 Chủ đề này vào đề tốt nghiệp ở đâu?
- •Là nền cho cách đánh giá độ chính xác của số liệu thống kê ở hai bài sau (số đặc trưng xu thế trung tâm, độ phân tán) và cho việc đọc sai số dụng cụ đo ở Vật lí.
- •Trong bài kiểm tra trên lớp thường có câu viết khoảng chứa số đúng từ a và d, câu tính và so sánh sai số tương đối của hai phép đo, và câu quy tròn số gần đúng theo độ chính xác cho trước.
- •Phần đúng/sai hay khai thác đúng chỗ dễ nhầm: lấy d so d thay vì so δ, hoặc quy tròn hai lần liên tiếp.
Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm