Bài 46: Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình lập phương
Tính diện tích xung quanh (cạnh × cạnh × 4) và diện tích toàn phần (cạnh × cạnh × 6) của hình lập phương, biết cạnh gấp lên k lần thì diện tích gấp k × k lần, tính vật thiếu mặt (hộp không nắp), tìm cạnh khi biết diện tích, giải toán thực tế: hộp quà, khối rubik, sơn thùng.
Sơ đồ tư duy · bấm nhánh để xem
1 🧊 Diện tích xung quanh
Trải bốn mặt bên của hình lập phương
Kéo thanh "Gập", đổi độ dài cạnh a, xem bốn hình vuông xanh bằng nhau.
Một mặt = 4 × 4 = 16 cm² · Sxq = 16 × 4 = 64 cm²
Bốn mặt bên (xanh) là bốn hình vuông bằng nhau nối thành dải.
Điều cần nhớ
- ✦Hình lập phương có 6 mặt là các hình vuông bằng nhau. Bốn mặt bên tạo thành mặt xung quanh; tổng diện tích bốn mặt bên là diện tích xung quanh (Sxq).
- ✦Diện tích một mặt là cạnh × cạnh. Vì có bốn mặt bên bằng nhau nên Sxq = cạnh × cạnh × 4 (diện tích một mặt nhân với 4).
- ✦Cách của hình hộp chữ nhật vẫn đúng: chu vi đáy × chiều cao. Cạnh 5 cm thì chu vi đáy 5 × 4 = 20 (cm), rồi 20 × 5 = 100 (cm²); cách mới 5 × 5 × 4 = 100 (cm²) cho cùng kết quả.
Hộp đựng đồ chơi hình lập phương cạnh 20 cm. Cô giáo dán giấy màu quanh bốn mặt bên của hộp. Diện tích giấy màu là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Dạng bài
Tính diện tích xung quanh hình lập phương
- 1 Tính diện tích một mặt: cạnh × cạnh.
- 2 Nhân với 4 (bốn mặt bên).
- 3 Ghi đơn vị vuông (cm², dm², m²…).
⚠️ Bẫy hay gặp: Viết 15 × 4 = 60 (đó là chu vi một mặt, đơn vị cm, chưa phải diện tích), hoặc quên nhân 4 và ghi 225 (mới một mặt). Tự kiểm: chu vi đáy 60 × chiều cao 15 = 900.
Hộp sữa hình lập phương cạnh 15 cm, nhãn quấn vừa đủ quanh bốn mặt bên. Tính diện tích nhãn.
Hướng dẫn giải
2 🎁 Diện tích toàn phần
Kiến thức cần nhớ
- ✦Diện tích toàn phần (Stp) là tổng diện tích cả 6 mặt. Sáu mặt bằng nhau nên Stp = cạnh × cạnh × 6 (diện tích một mặt nhân với 6).
- ✦Vẫn là Sxq cộng hai đáy: cạnh 4 cm thì Sxq 4 × 4 × 4 = 64 (cm²), hai đáy 4 × 4 × 2 = 32 (cm²), Stp 64 + 32 = 96 (cm²) và 4 × 4 × 6 = 96 (cm²).
- ✦Bọc kín cả khối thì dùng Stp; chỉ quấn quanh bốn mặt bên thì dùng Sxq.
Một mặt × 4. Dùng khi dán nhãn, quấn băng keo vòng quanh khối.
Một mặt × 6. Dùng khi bọc kín khối bằng giấy gói, sơn kín mọi mặt.
Hộp quà hình lập phương cạnh 10 cm. Mai gói kín hộp bằng giấy (phần gấp mép không đáng kể). Cần ít nhất bao nhiêu xăng-ti-mét vuông giấy?
Hướng dẫn giải
Dạng bài
Tính diện tích toàn phần hình lập phương
- 1 Tính diện tích một mặt: cạnh × cạnh.
- 2 Nhân với 6 (đủ sáu mặt).
- 3 Tự kiểm: Stp phải lớn hơn Sxq đúng hai mặt.
⚠️ Bẫy hay gặp: Nhân 4 như Sxq: 49 × 4 = 196 (cm²), thiếu hai mặt trên và dưới. Tự kiểm: Sxq cộng hai đáy 196 + 49 × 2 = 294.
Khối rubik hình lập phương cạnh 7 cm. Người ta dán giấy màu kín cả sáu mặt. Tính diện tích giấy màu.
Hướng dẫn giải
3 🔍 Cạnh gấp lên thì diện tích gấp mấy lần
Kiến thức cần nhớ
- ✦Cạnh hình lập phương gấp lên k lần thì diện tích một mặt gấp lên k × k lần (mặt hình vuông dài k lần, rộng k lần).
- ✦Cả sáu mặt đều gấp k × k lần nên Sxq và Stp cũng gấp k × k lần.
- ✦Ví dụ: cạnh 2 cm tăng thành 6 cm (gấp 3 lần). Stp lúc đầu 2 × 2 × 6 = 24 (cm²), lúc sau 6 × 6 × 6 = 216 (cm²); 216 : 24 = 9, đúng bằng 3 × 3.
Cạnh gấp lên, diện tích gấp lên
| Cạnh gấp | Diện tích gấp | Vì sao |
|---|---|---|
| 2 lần | 4 lần | 2 × 2 = 4 |
| 3 lần | 9 lần | 3 × 3 = 9 |
| 5 lần | 25 lần | 5 × 5 = 25 |
| 10 lần | 100 lần | 10 × 10 = 100 |
Dạng bài
So sánh diện tích hai hình lập phương
- 1 Tìm cạnh lớn gấp cạnh bé mấy lần: lấy cạnh lớn chia cạnh bé.
- 2 Diện tích gấp số lần đó nhân với chính nó.
- 3 Tự kiểm bằng cách tính trực tiếp diện tích hai hình rồi chia.
⚠️ Bẫy hay gặp: Nghĩ cạnh gấp 4 lần thì diện tích cũng gấp 4 lần. Tự kiểm: nếu chỉ gấp 4 thì 54 × 4 = 216 (cm²), nhưng diện tích thật là 864 cm².
Hộp nhỏ hình lập phương cạnh 3 cm, hộp lớn cạnh 12 cm. Diện tích toàn phần hộp lớn gấp mấy lần hộp nhỏ?
Hướng dẫn giải
4 🐠 Vật thiếu mặt: hộp không nắp
Kiến thức cần nhớ
- ✦Hộp lập phương không nắp (bể cá, hộp mở nắp) chỉ có 5 mặt: bốn mặt bên và một đáy ⇒ diện tích = cạnh × cạnh × 5.
- ✦Mất hai mặt (không nắp, không đáy) thì chỉ còn 4 mặt = Sxq.
- ✦Cách chung: đếm số mặt thật sự cần tính rồi nhân diện tích một mặt với số mặt đó.
Cần tính mấy mặt?
| Vật | Số mặt | Cách tính |
|---|---|---|
| Hộp quà gói kín | 6 mặt | Một mặt × 6 |
| Bể cá không nắp | 5 mặt | Một mặt × 5 |
| Quấn nhãn quanh hộp | 4 mặt | Một mặt × 4 |
Bể cá hình lập phương không nắp, cạnh 40 cm, làm bằng kính. Cần bao nhiêu xăng-ti-mét vuông kính?
Hướng dẫn giải
Dạng bài
Tính diện tích khi thiếu mặt
- 1 Đọc đề, đếm số mặt cần tính (6 trừ số mặt bị mất).
- 2 Tính diện tích một mặt rồi nhân với số mặt đó.
- 3 Tự kiểm: thiếu mặt thì kết quả phải nhỏ hơn Stp.
⚠️ Bẫy hay gặp: Nhân 6 như hộp kín: 64 × 6 = 384 (cm²), hoặc quên đáy và ghi 64 × 4 = 256. Tự kiểm: thiếu một mặt thì phải bớt đúng 64: 384 − 64 = 320.
Hộp đựng bút hình lập phương cạnh 8 cm đã bỏ nắp. Bạn Nam dán giấy kín các mặt còn lại của hộp. Tính diện tích giấy.
Hướng dẫn giải
5 🛠️ Tìm cạnh và toán thực tế
Kiến thức cần nhớ
- ✦Biết Stp thì diện tích một mặt là Stp : 6; biết Sxq thì diện tích một mặt là Sxq : 4.
- ✦Biết diện tích một mặt thì cạnh là số nhân với chính nó ra diện tích đó: diện tích 49 cm² thì cạnh 7 cm vì 7 × 7 = 49.
- ✦Bài thực tế: đổi cùng đơn vị trước; tính tiền thì nhân diện tích với giá một đơn vị diện tích; tính số tờ giấy thì chia, phần dư vẫn cần thêm một tờ.
Dạng bài
Tìm cạnh khi biết diện tích toàn phần
- 1 Chia Stp cho 6 để được diện tích một mặt.
- 2 Tìm số nhân với chính nó ra diện tích đó, đó là cạnh.
- 3 Thử lại: cạnh × cạnh × 6 có đúng bằng Stp không.
⚠️ Bẫy hay gặp: Chia nhầm cho 4 như Sxq: 864 : 4 = 216 (cm²), hoặc lấy luôn 144 làm độ dài cạnh. 144 là diện tích một mặt, còn cạnh là số nhân với chính nó ra 144.
Hộp quà hình lập phương được gói kín hết đúng 864 cm² giấy. Tìm độ dài cạnh hộp.
Hướng dẫn giải
Chiếc thùng đựng đồ hình lập phương cạnh 5 dm, người ta sơn kín mặt ngoài cả sáu mặt. Tiền sơn là 2 000 đồng mỗi đề-xi-mét vuông. Hỏi tiền sơn cả thùng?
Hướng dẫn giải